一種基于Ｄｕｆｆｉｎｇ時(shí)間序列的信噪比的估計(jì)方法

摘 要：為了在含有噪聲的短時(shí)間Duffing時(shí)間序列中較快地估計(jì)出其信噪比，采用建立基于Duffing時(shí)間序列的重構(gòu)相空間，計(jì)算與含噪時(shí)間序列有關(guān)的軌跡平均分離距離這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，研究含噪信號(hào)的信噪比(SNR)與軌跡平均分離距離(ADD)的關(guān)系，找出一種有效的估計(jì)方法。通過數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)ADD隨SNR指數(shù)衰減，經(jīng)仿真驗(yàn)證，估計(jì)出的信噪比相對(duì)誤差不超過1%，這對(duì)于微弱信號(hào)的檢測(cè)具有積極的意義。

關(guān)鍵詞：Duffing時(shí)間序列；信噪比；軌跡平均分離距離；估計(jì)方法

中圖分類號(hào)：TN911 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1004373X(2008)0502203

A Method of Evaluating the Signal to Noise Ratio (SNR) Based on Duffing Time Sequence

LV Ke，F(xiàn)U Yongqing

(Information and Communication Engineering College，Harbin Engineering University，Harbin，150001，China)

Abstract：In order to evaluate the Signal to Noise Ratio (SNR) quickly in the Duffing time sequence which contains noise，reconstructed phase space，which is based on Duffing time sequence，is adopted to overcome the difficulty.Calculate the statistics which is got from Average Divergencing Distance (ADD)，then studing the relationship between SNR and ADD，finding a kind of effective evaluated method.Through the data imitation，the result is that ADD attenuates with SNR in the style of exponent.Through the simulation verification，proportional error of the evaluated SNR is no more than 1%.It is very important to detect weak signal in the field of signal disposal.

Keywords：Duffing time sequence;signal to noise ratio;average divergence distance;estimate method

1 引 言

混沌理論的發(fā)展為信號(hào)處理開拓了一個(gè)全新的領(lǐng)域，混沌時(shí)間序列在信號(hào)檢測(cè)、跳頻通信中有著廣泛的應(yīng)用。在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，存在著各種各樣的混沌時(shí)間序列，這些時(shí)間序列的形態(tài)是多樣的，他們表面上看起來是毫無規(guī)律、雜亂無章，但卻蘊(yùn)含著十分豐富的結(jié)構(gòu)。關(guān)于混沌時(shí)間序列大部分文獻(xiàn)是研究Logistic映射和Henon系統(tǒng)^[1-7]，基于Duffing系統(tǒng)的時(shí)間序列的研究卻未見報(bào)導(dǎo)。

目前人們研究混沌時(shí)間序列主要有兩種方法，一種是以概率統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)，用隨機(jī)過程理論建立其線性關(guān)系模型；另一種利用非線性動(dòng)力學(xué)方法，研究較多的是低自由度的混沌動(dòng)力系統(tǒng)^[8]。離散的時(shí)間序列表面上好像隨機(jī)性，但在重構(gòu)相空間后存在著奇怪吸引子，體現(xiàn)出一種偽隨機(jī)的性質(zhì)。實(shí)際采集到的時(shí)間序列中難免會(huì)混有噪聲，因此混沌時(shí)間序列的信噪比會(huì)影響最大Laypunov指數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，本文就Duffing系統(tǒng)的時(shí)間序列信噪比的估計(jì)問題進(jìn)行研究并加以證實(shí)。

2 相空間重構(gòu)

分析混沌時(shí)間序列通常采用相空間重構(gòu)的方法，因?yàn)闀r(shí)間序列是許多物理因子相互作用的結(jié)果，他蘊(yùn)含著參與運(yùn)動(dòng)的全部變量的痕跡，而只有把時(shí)間序列重構(gòu)到多維相空間中，才能把時(shí)間序列的混沌性充分體現(xiàn)出來。由系統(tǒng)中一個(gè)可觀測(cè)的時(shí)間序列{xi|i=1，2，…，N}重構(gòu)m維相空間，得到一組相空間矢量:

在混沌運(yùn)動(dòng)特征的計(jì)算中，通常所需要的嵌入空間的最小維數(shù)取決于我們要從時(shí)間序列中提取什么樣的物理量。在計(jì)算Laypunov指數(shù)、分維數(shù)時(shí)，只是計(jì)算沿軌道的平均性質(zhì)，這時(shí)取所計(jì)算時(shí)間序列維數(shù)的2倍就可以了。雖然關(guān)于延遲時(shí)間τ的選擇有多種方案，但不能保證重構(gòu)出一個(gè)理想的相空間，延遲時(shí)間τ的選擇仍需多次試驗(yàn)。實(shí)際中如果τ值過小，則相空間軌跡趨于一條直線，反之如果τ值過大，會(huì)使數(shù)據(jù)點(diǎn)集中在相空間的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)，不能從相空間重構(gòu)圖中得到吸引子的局部結(jié)構(gòu)。

這里采用長度演化法計(jì)算Laypunov指數(shù)。計(jì)算方法是：由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的混沌時(shí)間序列X(t)，利用時(shí)間延遲重構(gòu)m維相空間，相空間中某一點(diǎn)的坐標(biāo)由{X(t)，X(t+τ)，…，X(t+(m-1)τ)}確定。首先找出距離初始點(diǎn){X(t0)，X(t0+τ)，…，X(t0+(m-1)τ)}最近的點(diǎn)，用L(t0)表示這兩點(diǎn)間的距離。到t1時(shí)刻，L(t0)已經(jīng)演化成L′(t1)，再找一個(gè)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，使他與演化后的基準(zhǔn)點(diǎn)的距離L(t1)最小，依此原則重復(fù)該過程，直至窮盡所有數(shù)據(jù)點(diǎn)^[9]。則最大Laypunov指數(shù)λ為:

實(shí)際我們采集的信號(hào)往往多為有限長的時(shí)間序列，有時(shí)這種時(shí)間序列可能還比較短。這里選用Duffing混沌時(shí)間序列和高斯白噪聲序列作為研究對(duì)象。

對(duì)Duffing混沌時(shí)間序列和高斯白噪聲序列截取N=50的短序列，在m=2和τ=1的重構(gòu)空間中，應(yīng)用長度演化法計(jì)算距離基點(diǎn)距離最小值L0和距離變化率ΔL，將L0和ΔL按L0的由小到大地排列(分布曲線見圖2)，比較二者的變化規(guī)律。

從圖中可以看出Duffing時(shí)間序列的L0和ΔL基本同步線性增長，而高斯白噪聲序列L0和ΔL則沒有此關(guān)系。實(shí)際我們采集的時(shí)間序列是很短的有限值，因此引入軌道的平均分離距離這個(gè)統(tǒng)計(jì)量^[10]:

對(duì)于圖2的Duffing序列和高斯白噪聲序列分別計(jì)算ADD，混沌序列ADD=0.069 3，高斯白噪聲序列ADD=0.358 4，二者有著明顯差別。

3 含噪Duffing時(shí)間序列ADD與SNR的關(guān)系

在不含噪聲的混沌Duffing時(shí)間序列，在m=2和τ=1的重構(gòu)空間中，可以清晰地觀察到吸引子(見圖3)。含有噪聲的Duffing時(shí)間序列，由于受噪聲的干擾，重構(gòu)相空間軌跡有一定發(fā)散(見圖4)。

實(shí)際采集到的信號(hào)不可避免地含有一定的噪聲，這里我們截取3個(gè)N=50的不同時(shí)段的樣本序列，研究其信噪比SNR與ADD的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)關(guān)系如圖5所示。

序列的SNR和ADD的關(guān)系

在圖5中，可以明顯地看出ADD隨SNR呈衰減趨勢(shì)，并且在信噪比小于10 dB時(shí)，3個(gè)樣本趨于一致，在信噪比大于10 dB時(shí)，樣本有一定的離散。從以上分析可以看出，對(duì)于檢測(cè)信噪比小于10 dB的微弱信號(hào)時(shí)，有著很大的可信度。從3個(gè)樣本中，分離出一條線性性較好的，對(duì)其進(jìn)行擬和，得到擬合曲線和殘差分布如圖6所示。

擬合后的方程為f(x)=0.585 2*exp(-0.039 08*x)，根據(jù)其擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量SSE=0.066 64，均方誤差R2=0-975 8，可以評(píng)價(jià)其擬合效果良好。

4 驗(yàn) 證

擬合后曲線上信噪比SNR與平均分離距離ADD的對(duì)應(yīng)關(guān)系見表1。

表1 擬合后曲線上SNR與ADD的對(duì)應(yīng)關(guān)系

得到擬合曲線后，不妨加以驗(yàn)證。可以預(yù)先設(shè)置一定信噪比Duffing混沌時(shí)間序列，計(jì)算該序列的平均分離距離ADD，然后由擬合曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得出估計(jì)的信噪比，并加以比較。

表2 Duffing時(shí)間序列信噪比的估計(jì)結(jié)果

從估計(jì)結(jié)果看，在信噪比-10 dB以下的估計(jì)偏差沒有超過0.1 dB，相對(duì)誤差不足1%，因此，估計(jì)可信度較高，效果良好。

5 結(jié) 語

此種信噪比的估計(jì)方法需要的時(shí)間序列較短，符合通常信號(hào)的實(shí)際采集情況。通過數(shù)據(jù)擬合出的曲線可以作為一般經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過仿真驗(yàn)證后，在信噪比為-10 dB以下，可以得出較為精確的結(jié)論。該方法在信噪比大于-10 dB時(shí)，擬合誤差較大，故期待對(duì)這種估計(jì)方法做進(jìn)一步完善。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”