因子分析在學生成績綜合評價中的應用

摘 要：在教學管理中，需要科學合理地對學生成績進行綜合評價。目前，應用較多的如簡單相加法和標準分法都存在各種缺點。運用主成分分析的方法對學生成績進行因子分析，并通過分析的結果做出一個綜合評價，這樣可以比較有效地解決其他分析方法存在的問題。通過對學生在校期間各科成績進行因子分析的具體實例研究，找出影響學生知識和能力的主要方面因子，并據此對學生成績做出一個客觀、綜合的評價。

關鍵詞：因子分析；各科成績；綜合評價；實例分析

中圖分類號：TP391；O212 文獻標識碼：B 文章編號：1004-373X(2008)06-137-04

Application of Factor Analysis to Comprehensive Evaluation on Students′ Grade

ZHANG Yongfu ZHAO Hongzhang MU Yang2

(1.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi′an，710072，China；

2.School of Educational Experimentation，Northwestern Polytechnical University，Xi′an，710072，China)

Abstract：We need to have a comprehensive evaluation on the students′ grade scientifically and reasonably in the field of teaching management.At present，the methods which are mostly used in the aspect include simple addition and standard marks which both have their own limitations.Making use of the method of factor analysis in evaluating the students′ grade by using the principal component analysis can give us a more comprehensive evaluation from the analytical results than before-mentioned methods.In this paper，we find out the primary factors which can have an influence on the students′ knowledge and ability by studying on an example and then make an objective and comprehensive assessment on the students′ grade.

Keywords：factor analysis；grade of various subjects；comprehensive evaluation；example analysis

1 引 言

在各大專院校中經常遇到評定各類獎學金，擇優分配，推薦研究生等問題。解決這些問題的關鍵是如何對學生在學校期間的表現給予科學的評價，而評價的基礎是學生在校期間各門課程學習所獲得的多方面的知識和能力。在現行的教學體制中，這些能力和知識具體表現在對課程的掌握上，即各科成績。本文通過對學生在校期間各科成績進行因子分析，找出影響知識和能力的主要方面，并據此對學生成績評價提供合理方法。

2 因子分析法

2.1 因子分析法基本思想

因子分析是主成分分析的推廣與發展，他是將具有錯綜復雜關系的變量(或樣品)綜合為數量較少的幾個因子，以再現原始變量和因子之間相互關系，同時根據不同因子還可以對變量進行分類，屬于多元分析中處理降維的一種統計方法^[1，2]。

對于給定的n個樣本(學生)，m個原始調查變量(評價指標)原始數據矩陣如下：

式(3)即為因子模型，其中各因子的系數bij稱為因子載荷系數。當初始負載不易解釋時，常對負載做變換，即旋轉，以便得到更簡單的結構，便于因子解釋。

因子分析的核心問題有2個：如何構造因子變量；如何對因子變量進行命名解釋^[3]。

因此，因子分析的基本步驟和解決思路就是圍繞這2個核心問題展開的。因子分析常有以下4個基本步驟：

(1) 確認待分析的原有干變量是否適合作因子分析；

(2) 構造因子變量；

(3) 利用旋轉方法使因子變量更具有可解釋性；

(4) 計算因子變量得分。

2.2 應用因子分析法進行綜合評價應注意問題

(1) 原始指標是否需要轉換處理

若原始指標的量綱或經濟意義不同，將原始指標直接求得綜合得分，將很難給予一個合理的經濟解釋；若原始指標變量數量級差異較大，則變量值大的對綜合指標(公共因子)的影響也大。因此，在用因子分析法時，通常需要對原始指標進行無量綱化處理。

(2) 什么評價指標適合運用因子分析方法

因子分析法在多元統計中屬于降維思想中的一種，其目的在于簡化數據，通過較少的公共因子反映復雜現象的基本結構。原始評價指標少，意義明確，能較好地反映評價對象，這時不一定要使用因子分析。如果強行運用，不僅加大計算量，而且意義不大。

此處，使用因子分析法進行綜合評價目的之一是為了避免評價指標之間的相關性所引起權重的偏倚。因此其中一個前提條件是評價指標之間應該有較強的相關關系。如果指標之間的相關程度很小，指標不可能共享公共因子，公共因子對于指標的綜合能力就偏低。一般來說，可以通過對指標的相關矩陣進行檢驗，如果相關矩陣的大部分系數都小于0.3，則不適合做因子分析。

(3) 因子模型應選取幾個因子進行分析

因子分析的目的是尋求用少數的幾個公共因子解釋協方差結構的因子模型。選取的因子過多，應用因子分析方法就失去原有的意義；但選取的因子過少，又可能造成原始信息量的大量損失。通常有以下3種準則：

以主成分的特征值為標準選取公共因子。原始評價指標標準化后，由于每個指標的方差為1，假如主成分所對應的特征值小于1，意味著該主成分連一個指標的方差都無法解釋，所以應選取特征值大于或接近于1的主成分作為公共因子，舍棄特征值遠小于1的其他主成分。

以主成分的方差累計貢獻率為標準來選取公共因子。方差累積貢獻率反映了主成分保留原始信息量的多少。一般而言，主成分累積貢獻率達到 85%以上就可以說明和解釋問題，因此可以以此為標準選取累積貢獻率達到85%以上的那些主成分作為公共因子。

根據分析問題的需要或具體問題的專業理論來選取公共因子。在多維數據中，當維數大于3時便不能畫出幾何圖形，但通過因子分析法選取主要的2個公共因子，畫出正交因子得分圖，以反映評價對象在二維平面上的分布情況，從而直觀地找出各評價對象在公共因子中的地位，進而還可以對評價對象進行分類處理。

(4) 初始公共因子是否需要旋轉

建立因子分析模型的目的不僅是要找出主因子，更重要的是要知道每個主因子的意義，以便對實際問題進行分析。通過式(2)、式(3)，只是確立初始公共因子，這些初始因子是否具有明確意義，需要進一步分析因子載荷陣才能得出。如果從每個初始因子能較好地找出所代表的原始指標，就可以直接賦予這些因子合理的經濟解釋，進行下一步的分析研究。但如果因子載荷量較為平均，難以判別哪些指標與哪因子聯系較為密切，無法從原始指標中尋求評價對象在各個因子上得分差異的原因，這時就需要進行因子旋轉。

因子旋轉的直觀意義是經過旋轉后，公共因子的貢獻越散越好，使指標僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在余公共因子上的載荷比較小。因子旋轉的方法很多，如正交旋轉、斜交旋轉等，正交旋轉又包括方差最大化旋轉、4次方最大化旋轉等，但基本思路就是在尋求極值的前提下，用一個正交陣(對正交旋轉)或非正交陣(對斜交旋轉)右乘因子載荷陣，達到簡化因子載荷陣結構的目的。

3 實例分析

3.1 學生成績評價方法現狀

目前，對大學生成績評價方法主要有：比例制、考查制、學分制、德育考評等^[4]。

(1) 比例制

例：學期成績由平時考查、期中、期末考試成績按折合計算。有期中、期末考試的課程的成績，按平時20%、期中30%，期末50%計算。無期中考試的課程按平時30%、期末70%計算。比例制引入了對學生平時的學習態度、學習狀況等方面的考查，打破了只看期末考試成績的僵局。

(2) 考查制

例：體育課等不宜集中考試的課程的成績，參照有關標準制訂評定辦法。考查課成績用優、良、及格、不及格4級評定。

(3) 學分制

例：學生最終成績按照以下公式計算：(學分×分數)之和/總學分，這種方法體現課程的重要程度，學分即是權重。

(4) 德育考評制

例：學生操行成績作為學生每學期必修課納入學生學籍管理，畢業后裝入學生檔案。學生基準分為80分，實行加分、扣分制度。

以上方法都從一個方面比較客觀地評價一個學生的成績，但無法對一個學生做出綜合客觀的評價。下面將采用因子分析法對學生成績進行綜合評價。

3.2 基本資料

表1是某學校25位學生的工作成績資料，以此為基本資料進行分析。本數據經檢驗符合因子分析法要求。

3.3 因子分析過程及結果

本例數據使用Minitab1 3.31軟件來做。

(1) 對表1中的原始據計算其相關系數陣如表2所示：

表1 基本資料[STBZ][HT6K]

表2 相關系數矩陣[STBZ][HT6K]

10.SS]

對表2，3進行分析可知：

① 因子1，因子2所構成的信息量為原有各變量信息量的83.0%；

② 因子1，2，3所構成的信息量為原有各變量信息量的95.5%。因此，可以只取前2個或者前3個因子進行分析。

(3) 選取少量因子進行分析

首先選取用2個因子(1，2)進行分析，分析結果是：用2個進行分析，2個因子所代表的意義不是很明確，不容易做出解釋(具體過程略)。因此選取3個因子進行分析。選取第1，2，3個因子。分析結果如表5，表6所示：

表5 因子載荷矩陣[STBZ][HT6K]

表6 因子的特征值及貢獻率[STBZ][HT6K]

從表5，6可以看出，雖然3個因子所包含的信息量大，但還是不易做出解釋。為克服這一問題，將因子旋轉一個角度，本次分析使用方差最大(Varimax)旋轉法，旋轉后各因子的意義更加明確。旋轉后的具體結果如表7，表8所示：

表7 旋轉后因子載荷矩陣[STBZ][HT6K]

表8 旋轉后因子的特征值及貢獻率[STBZ][HT6K]

從表7可以看出，第1因子解釋C3，C4，C5的比例比較大且各自的比例接近；第2因子解釋C1的比例比較大；第3因子解釋C2的比例比較大。C3，C4，C5分別代表“歷史成績指數”，“語文成績指數”，“工作成績指數”，所以F1(第1因子)可以定性為“文科因子”；C1代表“數學成績指數”，所以F2可以定性為“理科因子”；C2代表“表達力指數”，所以F3可以定性為“綜合因子”即學生的綜合能力。在以后的分析中可以根據此對學生做出比較客觀的評價。以達到好的的效果。

從下面的3D-PLOT圖中可以比較清楚地看出他們的分組情況。如圖1所示。

4 結 語

從以上的分析中可以看出，傳統的總成績公布公式，既沒有考慮到各科成績的不可比性，又沒有考慮學生在總體中的位置，并簡單認為各科成績的權重是相等的，忽視了課程對能力和素質培養的差異，這是不科學的。

用主成分分析法對學生成績進行因子分析就比較有效地解決了上述問題。因為這種方法是概括原始成績的

圖1 主成分3D-PLOT圖

最佳線性函數，他不但對原始數據進行了標準化處理，而且考慮到了由指標變異程度帶來的差異。在教育管理中，使用本方法尋找綜合因子，對學生的成績進行綜合排序，為擇優分配，評定獎學金，推薦研究生等提供比較合理的標準。此外，在大力推行素質教育的今天，不應該僅看分數，應該從數據中找出本質的東西，轉變重分數，輕能力的觀念，使教育能夠培養出更多更好具有較高素質和能力的人才。

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作者簡介 張永福 男，1980年出生，陜西韓城人，助教，碩士。主要從事遙感和地理信息系統應用研究。

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