基于Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ的移動機器人軌跡跟蹤控制

摘 要：對于由運動學模型描述的二自由度輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題進行討論。采用積分Backstepping思想，通過構造一種簡單的中間虛擬反饋變量同時結合Lyapunov直接法設計出時變反饋控制律，并且證明其控制效果能夠達到全局漸近穩定。仿真結果驗證了該控制律的正確性和有效性。

關鍵詞：輪式移動機器人;軌跡跟蹤;Backstepping;Lyapunov函數;全局穩定

中圖分類號：TP24文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)24-113-03

Trajectory Tracking Control of Mobile Robots Based on Backstepping

WANG Chuan1，2，WU Huaiyu1，2，WANG Fen1，2，3 ，CHENG Lei1，2

(1.Engineering Research Center of Metallurgical Automation and Measurement Technology，Ministry of Education，Wuhan，430081，China;

2.College of Information Science and Engineering，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan，430081，China;

3.College of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan，430081，China)

Abstract：The trajectory tracking control problem of the kinematic model of a two-degree-of-freedom wheeled mobile robot is discussed.Using the idea of integral Backstepping，a simple virtual feedback variable is proposed and a global asymptotically stable control law is designed via Lyapunov direct method.A simulation verifies the correctness and effectiveness of the control law.

Keywords：wheeled mobile robot;trajectory tracking;Backstepping;Lyapunov function;global stability

1 引 言

通過差動驅動(Differential Drive)的輪式移動機器人屬于典型的非完整系統^［1］，近年來依據非完整系統運動學模型和動力學模型^［2］來對它進行有效的反饋控制一直是研究的熱點。由于移動機器人并不滿足Brockett光滑反饋鎮定必要條件^［3］，這使得它的軌跡跟蹤系統比一般的非線性系統更難控制。文獻［4］針對移動機器人運動學誤差模型采用泰勒線性化的思想完成了軌跡跟蹤反饋鎮定控制器的設計，這種方法只能得到局部的穩定性。文獻［5-7］利用積分Backstepping思想結合Lyapunov直接法設計了軌跡跟蹤控制器，并且對滿足特定條件軌跡的跟蹤可以達到全局穩定。

根據二自由度輪式移動機器人的運動學模型，在文獻［7］的基礎上利用積分Backstepping設計思想構造出更加簡單的虛擬反饋變量，同時結合Lyapunov直接法設計出時變反饋控制律，并證明其控制效果能夠達到全局漸近穩定。仿真結果表明機器人在控制律的作用下，能夠迅速且有效地跟蹤期望軌跡。

2 軌跡跟蹤問題

研究的移動機器人擁有2個同軸的分別由獨立電機進行驅動的前輪，前輪為固定標準輪(Fixed Standard Wheel)，后輪為一個起支撐作用的全向小腳輪(Conventional Off-centered Orientable Wheel)，由文獻［8］可知小腳輪并不影響機器人的運動學模型。這種機器人的活動性程度(Degree of Mobility)δm=2，可操作度(Degree of Steerability)δs=0，機動程度(Degree of Maneuverability)δM=δm+δs=2，即可操縱的總自由度為2，它受到如下非完整約束：

sin θ－cos θ=0(1)

如圖1所示，機器人在二維全局坐標系(XIOIYI)下的位姿用它的3個空間定位自由度組成的廣義坐標向量p=（x，y，θ）T來表示，同時參考位姿表示為pr=(xr，yr，θr)T，其中θ以逆時針方向為正。

機器人的運動狀態由它的線速度v及角速度ω決定，表示為向量形式q=(v，ω)T，同時參考速度表示為qr=(vr，ωr)T。機器人的運動學模型為^［4］：

==Jq=cos θ0

sin θ0

01q(2)

其中J為雅可比矩陣。定義機器人局部坐標系(XRORYR)下的位姿誤差為pe=(xe，ye，θe)T，則位姿誤差方程為：

pe=xe

ye

θe=cos θsin θ0

－sin θcos θ0

001(pr－p)

=Tθ(pr－p)(3)

圖1 機器人運動示意圖

其中Tθ為正交旋轉矩陣，對式(3)求時間導數并化簡得到如下微分方程：

e=e

e

e=ωye－v+vrcos θe

－ωxe+vrsin θe

ωr－ω(4)

根據上述運動學方程，移動機器人軌跡跟蹤的問題轉化為設計輸入控制量q=(v，ω)T，使得它和式(4)組成的閉環系統位姿誤差全局一致有界，并且當t→∞，vr和ωr不同時收斂于零時，系統在任意初始跟蹤誤差下有limt→∞［|xe(t)|+|ye(t)|+|θe(t)|］=0。

3 控制律設計

機器人軌跡跟蹤控制系統結構圖如圖2所示。

圖2 軌跡跟蹤控制系統結構框圖

設計全局跟蹤控制律時引入積分Backstepping思想，在式(3)中，針對誤差分量xe，構造虛擬反饋變量：

e=xe－k1sin(arctan(ω))ye(5)

其中k1為大于零的常數，顯然當ω=0時，k1sin(arctan(ω))ye=0，且k1sin(arctan(ω))關于ω的一階導數有界。由式(4)中e分量的方程可知，如果控制作用使得誤差分量limt→∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye，并且limt→∞θe=0，那么limt→∞e=－k1ωsin(arctan(ω))ye。同時對部分Lyapunov函數Vy=12y2e求時間導數，得y=yee，又因為ωsin(arctan(ω))≥0，當且僅當ω=0時等號成立。所以根據Barbalat引理^［9］得到，當t→∞時，ye收斂于零，由此可以看出誤差分量ye是間接受控量。綜上所述，設計控制律的實質就是尋求輸入控制量q=(v，ω)T使得limt→∞xe=k1sin(arctan(ω))ye，limt→∞θe=0。按照上述思路構造Lyapunov純量函數：

V=122e+12y2e+2k3(1－cos(θe2))(6)

其中k3為大于零的常數。考慮到θe為實際角度誤差，即可以忽略角度的周期性，定義θe∈［0，2π)。很明顯，函數V≥0，當且僅當(e，ye，θe)T=0時，V=0。

將虛擬反饋變量e的方程(5)轉化為：

x·-e=e－k1cos(arctan(ω))11+ω2ye－

k1sin(arctan(ω))e(7)

將Lyapunov函數對時間求導數，并確定閉環系統的控制律：

=ex·-e+yee+1k3sin(θe2)e

=ee－k1cos(arctan(ω))11+ω2ye－k1·sin(arctan(ω))e〗+ye(－ωxe+vrsin θe)+1k3sin(θe2)(ωr－ω)

=e11+ω2ye－k1sin(arctan(ω))e〗+

yee+k1sin（arctan ω） ye)+vrsin θe〗+1k3sin(θe2)(ωr－ω)

=e11+ω2ye－k1sin(arctan(ω))(－ωxe+vrsin θe)〗－

k1y2eωsin(arctan(ω))+1k3sin(θe2)θe2)〗(8)

設t∈［0，+∞)，vr，ωr，r，r有界且vr，ωr不同時收斂于零，取系統的控制律為：

v=vrcos θe+k1sin11+ω2ye+

k2

ω=ωr+2k3yevrcos(θe2)+k4sin(θe2)

(9)

其中k2，k4為大于零的常數，且有如下方程：

=r+2k3(evr+yer)cos(θe2)－

k3vryesin(θe2)e+12k4cos(θe2)e(10)

e=－θe2)+k4sin(θe2)〗xe+vrsin θe(11)

e=－2k3yevrcos(θe2)－k4sin(θe2)(12)

將控制律式(9)代入式(8)并整理得：

=－k22e－k1y2eωsin(arctan(ω))－k4k3sin2(θe2)(13)

因為t∈［0，+∞)，vr，ωr，r，r有界，所以t∈［0，+∞)，xe，ye，θe一致有界^［5］。由于k1，k2，k3，k4均為大于零的常數，并且ωsin(arctan(ω))≥0，所以≤0。可以看到V為正定連續可微函數且有界，為半負定一致連續函數，那么根據Barbalat引理^［9］可知，t→∞時，→0，從而得到2e，y2eωsin(arctan(ω))，sin2(θe/2)分別收斂于零。進一步，由limt→∞ 2e=0得到limt→∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye。由t→∞時，vr，ωr不同時收斂于零推得ω不收斂于零，結合limt→∞ y2eωsin(arctan(ω))=0可知，limt→∞ ye=0，同時有limt→∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye，所以limt→∞xe=0。因為limt→∞sin2(θe/2)=0，所以可以得到limt→∞ θe=0。綜合上面的分析可以得出結論，閉環系統位姿誤差全局一致有界，且有limt→∞［|xe(t)|+|ye(t)|+|θe(t)|］=0。

4 仿真實驗

在Matlab環境下通過控制機器人對直線軌跡和圓周軌跡的跟蹤驗證上述控制算法的有效性。控制律式(9)中的參數k1，k2，k3，k4為指數衰減時間常數相關的正常數，它們共同作用決定機器人跟蹤軌跡收斂的速度與穩定性。其中k1，k2用來調節xe，k3，k4用來調節ye及θe。

4.1 跟蹤直線

給定直線期望軌跡的參考輸入為vr=0.2 m/s，ωr=0，在全局坐標系下的初始位姿為xr(0)=1 m，yr(0)=0，θr(0)=π/3rad。同時移動機器人在全局坐標系下的初始位姿為x(0)=1.2 m，y(0)=－2 m，θ(0)=π/2rad。取控制參數的值k1=k2=3，k3=10，k4=3。直線跟蹤效果如圖3所示。

圖3 直線軌跡跟蹤

4.2 跟蹤圓周

給定圓周期望軌跡的參考輸入為vr=0.2 m/s，ωr=0.2 rad/s，在全局坐標系下的初始位姿為xr(0)=1 m，yr(0)=0，θr(0)=π/2 rad。同時移動機器人在全局坐標系下的初始位姿為x(0)=1.2 m，y(0)=－0.3 m，θ(0)=2π/3rad。取控制參數的值k1=k2=1.5，k3=25，k4=5.2。圓周跟蹤效果如圖4所示。

圖4 圓周軌跡跟蹤

從圖3和圖4的仿真結果可以看出，在本文設計的控制器作用下，機器人實際行走的軌跡迅速而且平滑地收斂于期望軌跡。

5 結 語

本文討論了受非完整約束輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題，并且利用積分Backstepping設計方法構造出全局軌跡跟蹤控制器。此控制器算法簡單，計算量小，可以方便地以程序的形式移植到機器人上位機的Windows系統平臺或者Linux系統平臺上，而且不用擔心執行程序的實時性問題。對不同軌跡跟蹤的仿真結果驗證了控制器的有效性。

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［11］Siegwart R，Nourbakhsh I R.Introduction to Autonomous Mobile Robots ［M］.Cambridge，Massachusetts，USA:The MIT Press，2004.

作者簡介 王 川 男，1984年出生，碩士研究生。主要研究方向為微光機電系統集成與控制，機器人運動控制。

吳懷宇 男，1961年出生，博士，教授，博導。主要研究方向為智能控制，微光機電系統集成與控制。

王 芬 女，1980年出生，博士研究生，助教。主要研究方向為智能控制。

程 磊 男，1976年出生，博士，講師。主要研究方向為多機器人協作。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文