突破填空題的難關

沈新權　劉　舸

考生最頭痛失分最嚴重

很多同學覺得數學考試中填空題最令人頭痛．選擇題有得選，解答題還有步驟可以得分，可是填空題需按題意一步步求解，要的卻只是最后的答案，一點點失誤就會前功盡棄．分析歷年高考數學卷答題情況發現，填空題確實是考生失分最嚴重的部分．從2007年開始,浙江省高考數學卷中的填空題已由4小題增至7小題，分值比例大大上升，做好填空題就顯得更為重要了．

計算要細心思維不定勢

做好填空題首先要非常細心．有時，一道題目你明明會做，可是因為計算差錯的緣故導致結果錯了，分數也就全沒有了.閱卷老師無法知道也不會管你究竟會不會做這個題.有時，從草稿紙往答卷上抄答案抄錯了，這樣的失分就更冤枉了．

其次，還要突破思維定勢．填空題的答案不一定是唯一的．比如題目要求寫出函數的解析式，如果這個函數是分段函數，那就需要寫出各段的表達式；又比如要求求數列的通項公式，有可能需要對項數n分奇數和偶數兩種情況進行討論．當然，也有的時候滿足條件的答案有很多個，但題目只要求寫出其中的一個．

解題找捷徑難題不再難

要答對填空題雖然有一定的難度，但它畢竟不是大題，所以題目本身不會很難．有些同學習慣把所有的填空題都當成解答題來做，導致某些題的解題過程過于煩瑣，反而使出錯的可能性增大．其實填空題最忌“小題大做”．在筆者看來，解答許多題目都是有捷徑可走的．要充分抓住題目本身的特點，找到巧妙的方法，盡量避免繁雜的計算推理過程，降低解題難度，節約解題時間．

一、 特征分析法

分析題目的隱含條件、內在特征，通過推理分析，尋找正確答案．

例1設F（ｘ）=ｆ（ｘ）+ｆ（-ｘ），x∈R，若-π，-是函數F（ｘ）的單調遞增區間，將F（ｘ）的圖像按a=（π，0） 平移得到一個新的函數G（ｘ）的圖像，則G（ｘ）的單調遞減區間為

．

解析： 雖然F（ｘ）是抽象函數，無法求出其具體的解析式，但由條件F（ｘ）=f（ｘ）+f（-ｘ）我們可以發現F（ｘ）是偶函數，結合-π，-是函數F（ｘ）的單調遞增區間，可知，π是F（ｘ）的單調遞減區間．將F（ｘ）的圖像按a=（π，0） 平移得到新函數G（ｘ）的圖像，則G（ｘ）的單調遞減區間必定為+π，π+π，即，2π．

點評： 解題時，我們由F（ｘ）是偶函數這個隱含條件入手，根據圖像的對稱性，得到了F（ｘ）的單調遞減區間．請同學考慮：如果F（ｘ）為奇函數，能否用類似的方法求出G（ｘ）的單調區間？

二、 特殊化法

如果命題的一般情況為真，則特殊情況也必定為真．當填空題的結論唯一或其值為定值時，我們常可把題中的參變量用特殊值代替，即可得到一般結論．解題時可取特殊值、特殊位置、特殊函數、特殊數列、特殊圖像等．

例2設a>b>1，則log a b，log b a，log ab b的大小關系是．

解析： 考慮到三個數的大小關系是確定的，不妨取特殊值a=4，b=2，則log a b=，log b a=2，log ab b=， ∴ log ab b

例3如果函數ｆ（ｘ）=x2+bx+c對任意實數x都有ｆ（2+t）=ｆ（2-t），那么ｆ（1）， ｆ（2）， ｆ（4） 的大小關系是．

解析： 由ｆ（2+t）=ｆ（2-t） ，可知ｆ（x）的圖像的對稱軸是x=2．故不妨考慮構造特殊函數ｆ（x）=（x-2）2，即可求得ｆ（1）＝1，ｆ（2）＝0，ｆ（4）＝4， ∴ ｆ（2）< ｆ（1）< ｆ（4）．

例４已知SA，SB，SC兩兩所成的角均為60°，則平面SAB與平面SAC所成的二面角為．

解析： 將SA，SB，SC作為正四面體同一頂點引出的三條棱，不難得平面SAB與平面SAC所成的二面角為arccos．

三、 發現規律法

由于填空題不需要有詳細的證明過程，無須對所發現的規律進行求證，因此我們可以根據一些特殊的數據、情況，利用發散思維去聯想、類比、推廣、轉化，總結出其中蘊涵的一般規律，并以此規律解決問題．但在總結規律時需非常謹慎．

例５如圖1所示，把橢圓+=1的長軸AB分成8等份，過每個分點分別作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，已知F是橢圓的一個焦點，則P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F=．

解析： 設F2是橢圓的另一個焦點，首先我們發現P4F=a．另外，根據橢圓的對稱性可知，Pi（ｉ＝1，2，

3，5，6，7）到F，F2的距離之和有同樣的規律，即P1F+P1F2=P1F+P7F＝2ａ． ∴ P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F=7a=35．

例6將楊輝三角中的每一個數都換成分數，就得到一個如圖2所示的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形．從此三角形可以看出+＝，其中ｘ=．令ａｎ＝++++…++（ｎ≥3且n∈N），則ａｎ=．

解析： 在題目中有“看出”二字，所以我們可以直接觀察圖2中的三角形，發現三角形中任意一個數是它“腳下”兩數之和．如=+．由這個規律可得x=r+1．而an=++++…++=-+-+-+-=-， ∴ ａｎ=-=．

四、 構造新模型法

根據題目的具體情況設計新的模型，可以幫助我們方便地解決一些情形較復雜的問題．

構造新模型時要注意從整體考慮．如果要構造函數，則需注意觀察所給函數的結構特征，要建立在對函數的性質的深刻理解的基礎上．

在立體幾何中，正方體是最基本的幾何體之一，其中蘊涵著大量的空間線線、線面、面面的位置關系，因此在求解三棱錐、三棱柱等問題時，經常可根據幾何體的結構特征構造相應的正方體，將問題轉化為正方體中的問題進行求解．

例7已知函數ｆ（ｘ）=

的最大值為M，最小值為m，則M+m＝．

解析： 函數ｆ（ｘ）可以化為ｆ（ｘ）=1+，令g（ｘ）=ｆ（ｘ）-1=． ∵ g（ｘ）為奇函數， ∴ m-1=

-（M-1），即M+ｍ＝2．

例8在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中點，則OM與平面ABC所成角的大小是

（用反三角函數表示）．

解析： 求OM與平面ABC所成角的大小時，我們可以有三種思考方法：①利用體積變換求出三棱錐的高，然后通過解OM與高構成的三角形進行求解；②建立空間直角坐標系，通過求解向量與平面ABC的法向量的夾角進行求解；③構造正方體，將三棱錐置放在正方體中，利用正方體的性質進行求解．對于填空題來說，方法③最為簡便．

將三棱錐O-ABC放進如圖3所示的棱長為a的正方體中，由正方體的性質知，三棱錐O-ABC的高為a，而OM=a，所以本題的答案為arcsin．

五、 數形結合法

借助圖形的直觀性，結合數據迅速作出判斷．文氏圖、三角函數曲線、函數的圖像及方程的曲線等，都是常用的圖形．

利用數形結合思想解題時，要學會“構造圖形”，精心聯想“數”與“形”，從而使代數問題幾何化，或使幾何問題代數化．要熟知以下代數式所表示的幾何意義：①表示動點P（ｘ，ｙ）與點M（ａ，ｂ）連線的斜率；②z＝ax+by表示一動直線；③（ｘ-ａ）2+（ｙ-ｂ）2表示動點P（ｘ，ｙ）與點M（ａ，ｂ）間的距離的平方．

例9若關于x的方程＝ｋ（ｘ-2）有兩個不等實根，則實數ｋ的取值范圍是．

解析： 令y1=，y2=k（ｘ-2）．方程有不等實根，即兩函數圖像有兩交點.由圖4可知ｋAB＜ｋ≤0，其中AB為半圓的切線，計算得ｋAB＝

-， ∴ -＜ｋ≤0．

例10已知向量a=（1，1），ｂ=（1，-1），ｃ=（cosα，sinα）（α∈R），實數ｍ，ｎ滿足ｍａ+ｎｂ＝ｃ，則（ｍ-3）2+ｎ2的最大值為．

解析： 由已知可得m2+n2=1，則（ｍ-3）2+ｎ2表示單位圓上的點到點（3，0）的距離的平方，結合圖形可知，其最大值為16．

六、 類比轉化法

類比轉化法是指比較兩個（類）對象，找出它們在某一方面（特征、屬性）的相似點，進而把其中一個對象的有關性質移植到另一個對象中去進行解題．類比推理是從特殊到特殊的思維方法．

類比轉化法是編制新命題、發現新定理以及開拓解題思路的重要方法．類比轉化主要包括不同知識結論間的類比（見例11），以及解題思想方法間的類比（見例12）兩大類．

例11已知命題：平面上一矩形ABCD的對角線AC與邊AB和AD所成的角分別為α，β，則cos2α+cos2β=1．若把它推廣到空間長方體中，試寫出相應的命題形式：

．

解析： 在平面圖形中，此命題是關于矩形的對角線與矩形的邊所成角之間的余弦關系的，把它類比到空間，我們可以考慮長方體的對角線與長方體的棱或者是與長方體的面所成的角度之間的余弦（正弦）關系：

①長方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角分別為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=1，sin2α+sin2β+sin2γ=2；②長方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與平面A1B，A1C1，A1D所成的角分別為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2，sin2α+sin2β+sin2γ=1；③長方體ABCD-A1B1C1D1中，對角面A1ACC1與平面A1ABB1，A1ADD1所成的二面角分別為α，β，則cos2α+cos2β=1．

例12從裝有n+1個球（其中n個白球，1個黑球）的口袋中取出m個球（1

解析： 由題意，我們可以把左邊的式子歸納為從n+k個球（n個白球，k個黑球）中取出m個球，分為：沒有黑球，1個黑球，……，k個黑球，共k+1類，類比題目中的解題思想，這樣的取法共有種，即+·+…+·=．

總結： 從以上方法中我們可以看到，填空題的解答確實是有一定的捷徑可走的．但這個捷徑是建立在數學概念清晰、算法合理、運算熟練的基礎上的，同時還要能進行合理的分析和判斷．在具體應用時，既要看到上述解題方法的優勢，也要看到各類常規題的解題思想的指導作用．優化思路、正確推理、少算多思是快速、準確地解答填空題的基本要領．