向量錯解診斷

陳定昌

從概念看：向量知識中的概念較多，且給出概念的角度交叉而多變，容易因概念模糊而發生錯誤．

例1給出下列命題：

①零向量與任意向量平行，且與任意向量的數量積為零向量；

②零向量和單位向量均只有一個；

③設A，B，C為不同的三點，且存在實數λ，μ，λ+μ＝1，＝λ+μ，則A，B，C三點共線；

④若a＝ｂ＝1，ｃ＝2ａ+3ｂ，ｄ＝3ａ-2ｂ，則ｃ⊥ｄ．

其中正確命題的序號是

（填上所有正確命題的序號）．

錯解： ①②③④

正解： ③

診斷： 在“平行向量”的定義中，有“零向量”與任一向量平行的規定.而在“向量數量積”的概念中規定：零向量與任一向量的數量積為零，而不是零向量.故命題①的前半部分是正確的，但后半部分是錯誤的，故①為假命題．

課本對“相等向量”的定義中，有“零向量與零向量相等”的規定，即所有的零向量都是相同的，故零向量只有一個.我們知道，單位向量是指“長度等于1個單位的向量”，方向不受限制，所以單位向量有無數個.②也為假命題．

由=λ+μ，λ+μ＝1，得=λ+（1-λ），進而有=λ，且由已知得≠0，≠0，故根據共線向量定理可知A，B，C三點共線.所以③是真命題．

對于命題④，錯解誤以為兩單位向量是兩坐標軸正方向上的單位向量：若ａ，ｂ分別是ｘ軸與ｙ軸方向上的單位向量，則ｃ＝（2，3），ｄ＝（3，-2）， ∵ 2×3+3×（-2）＝0， ∴ c⊥d．但已知中并未給出類似條件，故不能用此結論來判斷，因而④又是一個假命題．

預防措施： 從給出向量有關概念的四個角度來梳理概念，可大大減少此類錯誤的發生．

角度一：大小（模）與方向．弄清概念是只針對大小定義的，還是對大小和方向都有定義的．如單位向量僅有關于大小的定義，而實數與向量的積既有關……