柔性基座上隔振系統(tǒng)的能量分析

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(中船重工第七○一研究所，武漢 430064)

關(guān)于振動(dòng)隔離的研究主要是基于將多個(gè)隔振器疊加等效為一個(gè)隔振器的數(shù)學(xué)模型，激勵(lì)力也只考慮垂向作用，基座則被處理成剛性。但這些簡(jiǎn)化均太粗糙，與船舶的實(shí)際情況有較大差別，因而有必要對(duì)模型進(jìn)行更為精細(xì)的動(dòng)力學(xué)分析。

船用設(shè)備安裝的一個(gè)重要特點(diǎn)是其基座是柔性的。如果將設(shè)備安裝基座處理成剛性，則會(huì)與實(shí)際相悖，因?yàn)閯傂曰粫?huì)產(chǎn)生變形，沒有能量向下傳遞，也就不存在由于機(jī)械激勵(lì)而產(chǎn)生船體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。因此對(duì)船體基座建立適合的數(shù)學(xué)模型非常關(guān)鍵，實(shí)際船舶上的基座面板多為矩形，因此本文采用板結(jié)構(gòu)來(lái)模擬。

由于設(shè)備重心和幾何中心不重合，激勵(lì)力矩不平衡，機(jī)械振源的激勵(lì)力在有垂向力Fz作用的同時(shí)，往往還有橫向力Fx，F(xiàn)y和力矩Mx，My，Mz的共同作用。除了Mz外，其他3種力和2種力矩都有軸向和回轉(zhuǎn)振動(dòng)能量往下傳播，這些復(fù)雜的激勵(lì)力源使得隔振器的受力和變形不盡相同。此外隔振器在復(fù)雜激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)還與其在基座面板上的安裝位置有關(guān)，具體表現(xiàn)各不相同，因此對(duì)每個(gè)隔振器都需要獨(dú)立建模，而不應(yīng)簡(jiǎn)單地將所有隔振器等效為一個(gè)處理。

1 建立模型

船舶典型動(dòng)力隔振設(shè)備示意見圖1[1-3]。

圖1 船舶典型動(dòng)力設(shè)備隔振系統(tǒng)的模型示意

圖中剛體表示被隔振的動(dòng)力設(shè)備，設(shè)作用在剛體上的外激勵(lì)用一個(gè)力向量F0=(F0x,F0y,F0z)·eiωt和一個(gè)力矩向量M0=(M0x,M0y,M0z)×eiωt表示。通過(guò)幾何坐標(biāo)轉(zhuǎn)換外激勵(lì)可以表示為一個(gè)作用在剛體質(zhì)心的激勵(lì)Q0=[F0x,F0y,F0z,M0x,M0y,M0z]T·eiωt，為了方便起見，以后的討論中省略寫出時(shí)間項(xiàng)eiωt。剛體通過(guò)N個(gè)隔振器連接到表示船體基座的簡(jiǎn)支板上，設(shè)第J個(gè)隔振器的頂端與剛體的連接點(diǎn)的坐標(biāo)為r0J=(x0J,y0J,z0J);第J個(gè)隔振器的底端與簡(jiǎn)支板上表面的連接點(diǎn)的坐標(biāo)為σJ=(xJ,yJ)。

1.1 振源設(shè)備數(shù)學(xué)模型

由于機(jī)械振源的激勵(lì)力中的M0z不向下傳遞能量，因此僅考慮三向諧振力F0x、F0y、F0z，和二向諧振力矩M0x、M0y的共同作用。設(shè)諧振頻率為ω(以下省略時(shí)間項(xiàng)eiωt)。 由于機(jī)械設(shè)備所受到的任何位置的外激勵(lì)力都可利用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換成作用在其質(zhì)心的激勵(lì)力，為了討論方便，假設(shè)機(jī)械振源激勵(lì)僅為作用在其質(zhì)心的Q0，且有：

Q0=[F0x,F0y,F0z,M0x,M0y]T

(1)

同樣僅考慮剛體5個(gè)自由度上的位移，則剛體的運(yùn)動(dòng)可用其質(zhì)心的位移向量Sc=(uc,vc,wc)和繞X0，Y0軸的轉(zhuǎn)角θcx，θcy表示。 即剛體的運(yùn)動(dòng)可以表示為：

dc=[uc,vc,wc,θcx,θcy]T

(2)

相應(yīng)的剛體的質(zhì)量矩陣Mc為：

(3)

式中：mc——?jiǎng)傮w的總質(zhì)量；

Ixx、Iyy、Ixy、Iyx——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ixy=Iyx。

如果將機(jī)械設(shè)備簡(jiǎn)化為矩形剛體，且當(dāng)其坐標(biāo)系0X0Y0Z0建立在其質(zhì)心時(shí)，則僅有Ixx、Iyy不為零，其計(jì)算公式如下：

(4)

式中：bx、by、bz——?jiǎng)傮w的長(zhǎng)度、寬度及厚度。

圖2 隔振器上下端的位移示意

(5)

(6)

則剛體的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(7)

即有：

(8)

1.2 支座數(shù)學(xué)模型

船體基座可以簡(jiǎn)化為矩形薄板，邊界條件根據(jù)基礎(chǔ)面板與腹板、肘板的厚度關(guān)系可以等效為簡(jiǎn)支或者剛固。為了建模方便，這里討論最具代表性的簡(jiǎn)支情況。

從圖1中可以看到，彈性基礎(chǔ)所受到的激勵(lì)為N個(gè)隔振器下端對(duì)它的共同作用， 設(shè)第J個(gè)隔振器安裝在彈性基礎(chǔ)的σJ(xJ,xJ) 處，利用δ函數(shù)，薄板的彎曲變形量W(σ,ω)滿足如下的微分方程[4-5]：

(10)

式中：ρ——薄板的面密度；

h——基座板材的厚度；

D——薄板的復(fù)抗彎曲剛度；

E——基座材料的楊氏彈性模量；

μ——泊松比；

η——材料的阻尼損耗因子。

應(yīng)用模態(tài)分析法，薄板彎曲變形量W(σ,ω)可表示為各階模態(tài)SI(σ)和其模態(tài)主坐標(biāo)wI乘積的疊加，而振動(dòng)能量主要集中在前幾階模態(tài)，這樣只考慮前p階模態(tài)，對(duì)其后的模態(tài)進(jìn)行截?cái)嗖粫?huì)帶來(lái)很大的誤差。于是W(σ,ω)又可表示為：

[S1(σ),S2(σ)…,Sp(σ)]T·

[w1,w2,…,wp]=

[Spσ]T·Wp

(11)

式中：SI(σ)——薄板的第I階模態(tài)振型函數(shù)。

對(duì)于簡(jiǎn)支板有：

(12)

式中：Lx,Ly——薄板的長(zhǎng)度與寬度；

m,n——薄板第I階模態(tài)對(duì)應(yīng)的橫縱方向的半波數(shù)。

將式(11)代入到式(10)中，可得：

(13)

(14)

式中：MI——船體基座的第I階模態(tài)質(zhì)量；

ωI——第I階模態(tài)圓頻率。

(15)

式中：SI(σJ)——薄板的第I階模態(tài)振型函數(shù)；

SIx(σJ),SIy(σJ)——對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)σJ(xJ,yJ)的值。

(17)

(18)

由式(13)可得船體基座振動(dòng)阻抗表達(dá)式：

(19)

式中：Zp——矩形薄板的非耦合特征值矩陣，

(20)

1.3 隔振器數(shù)學(xué)模型

隔振器計(jì)算模型采用離散彈簧模型，其原理是根據(jù)胡克定律得出隔振器受力的大小與位移變形和隔振器的彈性成正比，且隔振器上下端的作用力相同[1-2]。

2 振動(dòng)功率流法模型求解

振動(dòng)功率流不僅考慮了傳播到結(jié)構(gòu)上的“力”和“速度”的數(shù)值大小，而且考慮了二者的相位信息。功率流方法考慮到了傳到結(jié)構(gòu)的阻抗特性，功率作為一個(gè)單一的量值，可以給出振動(dòng)傳輸?shù)囊环N絕對(duì)度量，使結(jié)果的疊加和比較顯得簡(jiǎn)單直觀。

前面的分析表明，在外激勵(lì)Q0的作用下，有能量流輸入到隔振系統(tǒng)，從輸入端沿各個(gè)隔振器向下傳遞，最后輸出到船體基座上，在傳遞過(guò)程中，能量損耗的絕大部分發(fā)生在每個(gè)隔振器中。由于安裝彈性阻尼就是通過(guò)隔振器的能量消耗而實(shí)現(xiàn)振動(dòng)能量衰減來(lái)起到隔振作用的，因此對(duì)隔振器上下端振動(dòng)功率流的計(jì)算就特別有意義。

通過(guò)隔振器上下端的力聯(lián)系剛體質(zhì)量和彈性基座的運(yùn)動(dòng)方程可以構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，然后按照如上振動(dòng)功率流的定義便可得到各個(gè)隔振器上下端的振動(dòng)功率流。

3 結(jié)果分析

解出剛體響應(yīng)Dc與彈性基礎(chǔ)響應(yīng)Wp，進(jìn)而可求出振動(dòng)隔振系統(tǒng)中各個(gè)隔振器上下端的振動(dòng)功率流。

采用的計(jì)算模型為最常見的4個(gè)隔振器的隔振模型見圖1，主要參數(shù)見表1。

表1 柔性隔振系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)

由于在中低頻段機(jī)械設(shè)備可以處理成剛體，因此在模型中被隔離的振源設(shè)備簡(jiǎn)化為等效矩形剛體質(zhì)量塊，其下方布置4個(gè)隔振器，船舶基礎(chǔ)則處理成柔性基礎(chǔ)，簡(jiǎn)化為4邊簡(jiǎn)支矩形薄板，隔振器簡(jiǎn)化為相互獨(dú)立的離散單元，分別在矩形剛體的質(zhì)心建立右手局部坐標(biāo)系X0Y0Z0，在矩形薄板的左下角建立右手局部坐標(biāo)系XYZ。

隔振器居中對(duì)成布置，X向間距600 mm，Y向間距240 mm。

圖3為外激勵(lì)Q0=[1 1 1 1 0]T時(shí)，4個(gè)隔振器上下端的振動(dòng)功率流曲線。此時(shí)的外激勵(lì)有力和力矩的共同作用，但是以力作用為主。

4 結(jié)論

1) 隔振器的能量消耗使得隔振系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)能量的衰減，從而實(shí)現(xiàn)減振，表現(xiàn)為隔振器下端的振動(dòng)功率流通常小于隔振器上端。

2) 隔振器上端的振動(dòng)功率流曲線較平滑，而下端的振動(dòng)功率流曲線上存在有多個(gè)波峰波谷。其中最先出現(xiàn)的峰值是整個(gè)隔振系統(tǒng)的耦合共振峰，隔振器下端振動(dòng)功率流曲線上后出現(xiàn)的峰值則是柔性基礎(chǔ)的激發(fā)模態(tài)，即柔性基礎(chǔ)的波動(dòng)效應(yīng)，其模態(tài)頻率與基礎(chǔ)自身的尺寸和物理特性有關(guān)。

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