構造輔助元素在數學中的應用

摘 要：構造輔助元素是構造思想中一個很重要的分支，用此方法解題，巧妙新穎，簡捷獨到，有利于培養創新能力和數學素質。構造輔助元素可整理為構造方程、構造函數、構造幾何圖形等十一類，在數學領域中有廣泛的應用。

關鍵詞：構造輔助元素 數學 應用

構造思想是一種很重要的數學思想，它是以問題的已知元素或條件為“元件”，數學中的某些關系為“支架”，在思維中構建一種新的“構造物”，從而使問題變得簡單易解的解題思想。其關鍵是根據題設條件和結論的特征適當地構建新的“構造物”，而這“構造物”的表現形式是多種多樣的：有的是溝通問題條件和結論的“輔助元素”；有的是問題的“結論”所敘述的數學對象；有的是從否定問題的結論出發，而出現的“矛盾”；有的是符合問題的條件，但不符合其結論的“反例”。其中，以溝通題目條件和結論為目的的構造輔助元素的應用最為廣泛，且其構造獨特、方式比較多，在許多數學問題的解題過程中顯示著令人矚目的特殊作用。

所謂構造輔助元素就是適當增加輔助條件，以此為中介，架起一座連接問題的條件和結論的橋梁，從而使問題得到解決。數學中列方程解應用題、幾何中添置輔助線等實際上應用了此方法。構造輔助元素的過程模式是：

通過構造輔助元素求解問題的方式常見的有構造方程、構造函數、構造幾何變換等。下面我們將結合一些數學題目分別給予討論。

一、構造方程

方程是解決數學問題的重要工具。在解題時，我們可通過對題意的分析，構造出方程，應用其理論達到解決問題的目的，方程可以是一元的，也可以是多元的，還可以是方程組。

例1 已知b=- - c(a≠0，b≠0)。求證：b ≥4ac。

分析：本題乍看起來無從下手，由題中待證式b ≥4ac的外形結構聯想到Δ=b -4ac≥0，再構造一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0，b≠0)，證題途徑便初顯端倪。

以方程作為聯想出發點進行構造，常見的有下面幾種方式：

（1）方程的根與系數的關系（韋達定理）；

（2）一元二次方程的判別式Δ=b -4ac；

（3）方程組的解的結構關系，特別是適當地選擇自由未知量作為基本量，把其他未知量用基本量表示。

二、構造函數

如果借助函數的有關性質有利于分析原始問題時，則可根據題意構造出相應的函數，從而轉化問題、解決問題。構造函數是構造輔助元素中比較抽象的構造性思維，應用時除了要對問題條件的特點分析之外，還要求熟悉典型的函數及其特點。

中聯賽試題）

分析：已知的兩個等式中既含有代數式x 和y ，又含有三角函數式sinx和sinycosy，因此要想將x與y解出很困難。仔細分析發現，通過a可以將x、y聯系在一起，由題設消去a，得x +sinx=(-2y) +sin(-2y)，此式的兩邊具有相同的表現形式，所以，可構造函數f(t)=t +sint。

解：設函數f(t)=t +sint，易知f(t)在[- ， ]上是嚴格遞增函數，又由題設消去a得到x +sinx=(-2y) +sin(-2y)，即f(x)=f(-2y)。

由單調函數性質知：x=-2y，這樣x+2y=0，所以cos(x+2y)=1。

三、構造幾何圖形

當題設中的數量關系有比較明顯的幾何意義，或以某種方式與幾何圖形相聯結時，則可以根據已知條件構造出符合要求的特殊或一般圖形，從而直觀、快速地解決問題。

例3已知a、b、c、m、n、p均為正數，且滿足a+m=b+n=c+p=k。求證：an+bp+cm＜k 。（第21屆江蘇數學競賽試題）

分析：根據“a+m=b+n=c+p=k”的信息特征，構造出以k為邊長的正三角形，并借助面積公式和圖形的性質布列出不等式，使問題獲得巧妙解決。

證明：構造邊長為k的正三角形ABC，在邊AB、BC、AC上分別截取一點D、E、F，使AD=a，BD=m，BE=c，EC=p，

構造幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標系而得到的解析幾何圖形，我們常應用的數形結合思想中代數問題通過構圖轉化為幾何問題的方式也可視為構造幾何圖形內容。

四、構造幾何變換

如果幾何問題的已知條件和結論比較分散，此時可通過反射、旋轉、平移、相似等幾何變換，將其中某些部分移到新的位置，使原來聯系不密切的圖形聚集在一起產生聯系，從而使問題解決。

例4 △ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，D為斜邊BC上任一點，求證： 。

分析：這是平方和的問題，我們發現AD、BD、CD比較分散，彼此關系不明顯。我們可使AD、BD、CD歸于某一個三角形中。

證明：將△ABD繞著點A逆時針旋轉90°，則點B落在點C，點D落在點E。連結AE、CE、DE。

易知CE=BD，AE=AD，∠ACE=∠B，

則△ADE為直角三角形，

五、構造方差

六、構造向量

向量的內積在數學中有廣泛的應用。根據題目所給的條件和結論，構造向量，并利用向量內積去證明，方法簡單易行。

七、構造數列

由已知條件分析，若其某些特征與數列的通項、求和、中項等公式相似時，可構造相應的數列求解。另外，在研究某些數列問題時，如果僅僅對原數列周旋，問題會孤立無援，但適當地構造一個新數列，通過新舊數列之間的關系，問題就會得解。

分析：由已知數列構造新的數列，在高考試卷里經常出現，這里將兩數列相除，構造兩個新數列，利用比較原理進行證明。

八、構造錯排模式

錯排問題：n個數，分別為1，2，3，…，n，排成一個長度為n的排列。若每一個數的位置都與數的本身不相等，則稱這個排列是一個錯排。例如，n=3，則錯排有231，312。

設f(n)是n個數的錯排個數，則f(1)=0，f(2)=1，

f(n)=(n-1)·f(n-1)+(n-1)·f(n-2)(n＞2)。

例8 同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后，每人從中拿出一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（1993年全國高考實驗卷）。

解：將四張賀年卡分別編號為1，2，3，4。四人視為位置，這樣，問題就可看成1～4的錯排，所以

f(4)=(4-1)·f(3)+(4-1)·f(2)=3f(3)+3f(2)，

∴f(3)=2f(2)+2f(1)=2+0=2，∴f(4)=3×2+3×1=9。

∴四張賀年卡不同的分配方式有9種。

九、構造行列式

行列式是重要的數學工具，元素是字母的行列式實際上是一個多項式。對稱多項式或輪換多項式往往可以應用相應的行列式來表示，因此可以構造行列式。

十、構造概率

概率是數學的重要概念，構造概率就是應用數學概率原理來解題的策略。

十一、構造輔助表

若研究的問題涉及兩個集合的元素間對應關系，可編制有兩個表頭的表格，每個表頭對應一個集合，使表頭的格與集合的元素相對應，表中的任一格都表示取自這兩個集合的兩元素組成的元素對，格中填寫與此元素對有關的數據或關系，然后再利用制成的表格進行分析、研究。表格本身具有邏輯結構，往往能使問題的邏輯關系直觀而簡明地顯現出來，提供程序性操作的機會。

例11 21個女孩和21個男孩參加一次數學競賽

（1）每個參賽者至多解出了6道題；

（2）對于每一個女孩和每一個男孩，至少有一道題被這一對孩子都解出。

證明：有一道題至少有3個女孩和至少3個男孩都解出。（第42屆IMO試題）

證明：作一張21×21關聯表，每行代表一個男孩b (1≤i≤21)，每列代表一個女孩g (1≤i≤21)，格子(i，j)（表示第i行、第j列的格子）中填入b 與g 共同解出的一道題的序號（由（2）知必有這種題目，若不止一道，可任意選定一道），由（1）知，每行填入的21個序號至多有6種不同，故出現3次（或更多）的序號的總次數不少于21-2×5=11，將這些格子染上紅色，全表共有至少11×21個格子被染上紅色，同理，將每列中出現3次（或更多）的序號所在的格子染上藍色，全表共有至少11×21個藍格子，由于11×21+11×21=22×21＞21×21，故必有一個格子同時被染上紅色和藍色，這個格子所填序號的題目就滿足了要求。

通過對以上這些方面的探討，給人深刻的思想啟示：

（1）構造輔助元素在解決數學問題中起到化簡、轉化和橋梁的作用；

（2）用構造輔助元素解決問題，可以使數學各分支知識互相滲透，有利于提高分析和解決問題的能力；

（3）數學各分支知識為構造輔助元素提供了廣闊而豐富的背景。

要想運用好構造輔助元素這種方法，應全面深入分析問題的特點、條件間的關系以及條件與結論之間的關系，挖掘問題的寓意，明確問題所涉及的知識領域；同時必須廣開思路，廣泛聯想有關知識，采用發散思維、逆向思維等創造性思維方法，尋求欲構造的輔助元素。若教師在教學中能適當地對其加以介紹，并加強解題訓練，對學生創造思維能力的培養，數學素質的全面提高會有意想不到的功效。

參考文獻：

[1]侯敏義.數學思維與數學方法論[M].長春：東北師范大學出版社，1995.

[2]梁法馴.數學解題方法[M].武漢：華中理工大學出版社，1995.3.

[3]劉瀏，袁擁軍.例談運用構造法求取值范圍[J].數學教學研究，2003，（10）.

[4]吳禮斌，吳秋月.例談構造法解題[J].中學數學教學，2003，（6）.

[5]曹勇兵.例說構造法解題[J].中學數學研究，2002，（8）.

[6]李記林.例說循特征構造正三角形解題[J].中學數學研究，2002，（6）.

[7]蔡旺慶.構造特殊“元”，優化解題過程[J].數學教學研究，2001，（10）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”