“問(wèn)題解決”在數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：培養(yǎng)創(chuàng)新型人才是時(shí)代的要求。數(shù)學(xué)作為學(xué)校教育的主要陣地，其發(fā)揮著不可取代的作用。正確理解“問(wèn)題解決”的教育觀念，全面掌握“問(wèn)題解決”的教學(xué)原理，靈活運(yùn)用“問(wèn)題解決”的教學(xué)模式，能使我們緊密結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)科優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，這對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革和推進(jìn)我國(guó)素質(zhì)教育具有深遠(yuǎn)的意義。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}解決 數(shù)學(xué)教學(xué) 創(chuàng)新精神 創(chuàng)新能力

引言

我國(guó)傳統(tǒng)的教學(xué)理念認(rèn)為，教師的教學(xué)主要是向?qū)W生傳授知識(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是掌握書(shū)本的內(nèi)容。我國(guó)傳統(tǒng)的教學(xué)模式是重解題模式模仿，輕自主探究方法。這種陳舊的教育理念和劃一呆板的教學(xué)模式，嚴(yán)重阻礙了對(duì)青少年創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，嚴(yán)重影響了我國(guó)創(chuàng)新型人才的成長(zhǎng)。因此，轉(zhuǎn)變教育觀念，更新教學(xué)模式，重視學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，已成為當(dāng)前我國(guó)教育改革中刻不容緩的重要任務(wù)。如何結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，更新教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和提高學(xué)生創(chuàng)新能力，是我們廣大數(shù)學(xué)教育工作者面臨的新課題。

數(shù)學(xué)固然有著諸多有利于創(chuàng)新教育的因素，但如果在教學(xué)中不善于發(fā)揮和利用這些有利因素，那么它未必能夠?qū)崿F(xiàn)創(chuàng)新教育的目標(biāo)。創(chuàng)新人才的特征在于具有強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)，善于將知識(shí)轉(zhuǎn)化為探索未知的手段。當(dāng)代美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)曾說(shuō)過(guò):“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。”如果教學(xué)中不能很好地激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、思考問(wèn)題和解決問(wèn)題，那么學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)便得不到很好的培養(yǎng)，反而會(huì)日趨淡化；學(xué)生的求異好奇、質(zhì)疑批判和獨(dú)立創(chuàng)新能力將會(huì)受到禁錮。哈佛大學(xué)流傳著一句名言：“教育的真正目的就是讓人不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和思索問(wèn)題。”我們的教學(xué)不應(yīng)以知識(shí)傳授為唯一目的，而是應(yīng)重視激發(fā)學(xué)生在求知過(guò)程中的問(wèn)題意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、去探究和解決問(wèn)題，從而幫助學(xué)生形成自己對(duì)解決問(wèn)題的獨(dú)立見(jiàn)解。只有這樣，培養(yǎng)出來(lái)的才不是只會(huì)單純地重復(fù)上幾代人的工作的人，而是有創(chuàng)造力、有發(fā)現(xiàn)和發(fā)明能力的人。因此，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力是數(shù)學(xué)教育的核心，也是數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新教育的關(guān)鍵。在這種背景下，“問(wèn)題解決”受到了數(shù)學(xué)教育工作者的高度關(guān)注，并廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中。

一、問(wèn)題解決的理論基礎(chǔ)

1.問(wèn)題解決的含義

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）在《關(guān)于行動(dòng)的議程》(An Agenda for Action)中正式提出“問(wèn)題解決”的觀念。什么是問(wèn)題解決？不同的學(xué)者和不同的研究機(jī)構(gòu)從不同的層面、不同的角度有著不同的闡釋。

(1)美國(guó)的貝格(Begle)教授認(rèn)為：“教授數(shù)學(xué)的真正理由是因?yàn)閿?shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，教授數(shù)學(xué)要有利于解決各種問(wèn)題，學(xué)習(xí)怎樣解決問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的。”這是把問(wèn)題解決作為一種學(xué)習(xí)目的的觀點(diǎn)。

(2) 英國(guó)教育家柯可可勞夫特（Cockcroft）認(rèn)為：“應(yīng)當(dāng)在教學(xué)形式中增加討論、研究問(wèn)題解決和探索等形式。”這是把問(wèn)題解決作為一種教學(xué)形式的觀點(diǎn)。

(3)美國(guó)《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)問(wèn)題解決的意義作了如下說(shuō)明：“問(wèn)題解決作為一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的組成部分，成為數(shù)學(xué)課程的核心。它不僅是數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)目標(biāo)，還是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，是教師對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和進(jìn)行思維活動(dòng)的指導(dǎo)過(guò)程，是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程、探索的過(guò)程，是學(xué)生實(shí)現(xiàn)‘再創(chuàng)造’數(shù)學(xué)的過(guò)程。”這是把問(wèn)題解決作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)手段的觀點(diǎn)。

綜合以上各種觀點(diǎn)可知，問(wèn)題解決就是學(xué)生以積極的態(tài)度創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。通過(guò)問(wèn)題解決，使學(xué)生充分發(fā)揮自己的潛能，創(chuàng)造性地解決新情境下的問(wèn)題；使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)觀念；使學(xué)生在實(shí)際情境中獲取和構(gòu)造數(shù)學(xué)，而不是機(jī)械地復(fù)述數(shù)學(xué)。

2.問(wèn)題解決的理論基礎(chǔ)

（1）問(wèn)題教學(xué)理論20世紀(jì)60年代中期，前蘇聯(lián)教學(xué)論專(zhuān)家馬赫穆托夫所創(chuàng)立的問(wèn)題教學(xué)理論，是前蘇聯(lián)發(fā)展性教學(xué)理論的重要組成部分，具有相對(duì)完整的方法論體系和鮮明的時(shí)代特色。馬赫穆托夫認(rèn)為，問(wèn)題教學(xué)是一種發(fā)展性教學(xué)，在這種教學(xué)中，學(xué)生從事的系統(tǒng)的獨(dú)立探索活動(dòng)是與其掌握現(xiàn)在的科學(xué)結(jié)論配合進(jìn)行的，其方法體系是建立在問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題的提出和問(wèn)題的解決基礎(chǔ)之上的。在問(wèn)題教學(xué)中，學(xué)生不僅要掌握科學(xué)結(jié)論，還要掌握這些結(jié)論獲得的途徑和過(guò)程，其目的在于形成思維的獨(dú)立性和發(fā)展創(chuàng)造能力。

（2）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論20世紀(jì)80年代中期，以馮·格拉斯菲爾德(Von Glaserfield)為代表的建構(gòu)主義者提出了建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論以一種新的觀點(diǎn)來(lái)理解學(xué)習(xí)和教學(xué)，它認(rèn)為，學(xué)習(xí)是獲取知識(shí)的過(guò)程，知識(shí)不單是通過(guò)教師的傳授而得到的，而主要是學(xué)習(xí)者在一定的情境下，借助于其他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)自主建構(gòu)的方式獲得的，其核心思想是“通過(guò)問(wèn)題解決來(lái)學(xué)習(xí)”。

（3）數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)要求德國(guó)著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特(David Hilbert)提出：“數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)的真正組成部分是數(shù)學(xué)問(wèn)題。”問(wèn)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有極為重要的意義，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和驅(qū)動(dòng)力。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)必須考慮教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)對(duì)象這三大因素。其中，教學(xué)目標(biāo)需要問(wèn)題來(lái)展現(xiàn)，教學(xué)過(guò)程需要問(wèn)題來(lái)活化，教學(xué)對(duì)象需要問(wèn)題來(lái)觸動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程。

二、問(wèn)題解決在數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)中的應(yīng)用

作為一種新型的教學(xué)模式，問(wèn)題解決的主要特點(diǎn)是：設(shè)置數(shù)學(xué)情境是前提，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題是重點(diǎn)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)是核心，培養(yǎng)創(chuàng)新能力是目的。筆者認(rèn)為，基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)教學(xué)模式雖然沒(méi)有一套固定的程式，但在課堂實(shí)施過(guò)程中一般包括以下四個(gè)環(huán)節(jié)：

1.呈現(xiàn)情境

創(chuàng)新源于問(wèn)題，問(wèn)題生于情境，要使學(xué)生能提出問(wèn)題，就必須為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)問(wèn)題情境來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，就是呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性的問(wèn)題信息，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激起學(xué)生的好奇心和發(fā)現(xiàn)欲，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚起強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)。作為問(wèn)題情境的材料背景，必須是科學(xué)的、自然的、可信的，必須緊扣教學(xué)目標(biāo)、適合學(xué)生的認(rèn)知水平，靠近他們的最近發(fā)展區(qū)，必須富有探究性，能使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)和探究動(dòng)機(jī)。

[教學(xué)案例1]——拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用

（呈現(xiàn)情境）某國(guó)有一衛(wèi)星發(fā)射塔，為了確保自身的安全，安裝了一套安全防御系統(tǒng)。該系統(tǒng)由雷達(dá)預(yù)警系統(tǒng)和導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)兩部分組成。導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)是以發(fā)射攔截導(dǎo)彈來(lái)阻止外來(lái)飛行物對(duì)發(fā)射塔的攻擊。該導(dǎo)彈發(fā)射器的位置位于發(fā)射塔450米高處，發(fā)射的攔截導(dǎo)彈飛行軌跡為拋物線(xiàn)狀(如圖所示)，該拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)離地面1450米，且離發(fā)射器2000米遠(yuǎn)。攔截導(dǎo)彈的直線(xiàn)飛行速度為每秒420米。某時(shí)刻，雷達(dá)預(yù)警系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)在離發(fā)射塔50千米遠(yuǎn)處，240米的高度，有一不明飛行物以每秒600米的速度水平飛行，向發(fā)射塔發(fā)起攻擊。(假設(shè)攔截導(dǎo)彈與不明飛行物的飛行軌跡在同一平面，以勻速飛行運(yùn)動(dòng))。當(dāng)發(fā)現(xiàn)不明飛行物幾秒后發(fā)射攔截導(dǎo)彈才可確保發(fā)射塔的安全?

2.提出問(wèn)題

愛(ài)因斯坦曾指出：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要。”為此，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境中數(shù)學(xué)信息的觀察、分析，使學(xué)生產(chǎn)生疑慮、困惑，逐步發(fā)現(xiàn)、形成問(wèn)題。要想運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，就必須通過(guò)理解問(wèn)題情境，掌握其提供的信息，明確問(wèn)題解決的目標(biāo)。因此，要啟發(fā)學(xué)生弄清問(wèn)題的條件和所需解決的問(wèn)題，包括羅列明顯的條件和解題目標(biāo)，也包括挖掘隱含條件、理清條件和目標(biāo)的等價(jià)形式、分析多條件或多目標(biāo)間的層次關(guān)系，使問(wèn)題的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)簡(jiǎn)約、清晰，并將問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)。

[教學(xué)案例1]——拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用

（提出問(wèn)題）學(xué)生由問(wèn)題情境提出問(wèn)題并探究問(wèn)題實(shí)質(zhì)：（1）攔截點(diǎn)在哪里？（拋物線(xiàn)ACD與直線(xiàn)EB的交點(diǎn)D是攔截點(diǎn)）；（2）導(dǎo)彈從發(fā)射點(diǎn)到攔截點(diǎn)的飛行時(shí)間是多少？（根據(jù)A點(diǎn)到D點(diǎn)的直線(xiàn)距離和導(dǎo)彈飛行速度可計(jì)算其飛行時(shí)間）；(3) 攔截導(dǎo)彈應(yīng)什么時(shí)間發(fā)射？(假設(shè)不明飛行物從B點(diǎn)飛至D點(diǎn)所用的時(shí)間與導(dǎo)彈發(fā)射后從A點(diǎn)飛至D點(diǎn)的時(shí)間相等，則導(dǎo)彈必須在不明飛行物到達(dá)B點(diǎn)時(shí)發(fā)射）；（4）解答當(dāng)發(fā)現(xiàn)不明飛行物幾秒后發(fā)射攔截導(dǎo)彈才可確保發(fā)射塔的安全的問(wèn)題，即是求不明飛行物從50千米遠(yuǎn)處飛至B點(diǎn)的時(shí)間；（5）……

3.解決問(wèn)題

探索解決問(wèn)題的途徑，擬定解決問(wèn)題的計(jì)劃并實(shí)現(xiàn)解題方案是問(wèn)題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)教學(xué)需要，可將學(xué)生分成若干個(gè)學(xué)習(xí)小組，并引導(dǎo)他們從以下幾點(diǎn)去探索一條有效的解題途徑和一個(gè)合適的解題方法：（1）所面臨的問(wèn)題能否歸結(jié)為某種已經(jīng)熟悉其解法的類(lèi)型？（2）根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，應(yīng)向哪種類(lèi)型靠攏？（3）直接歸結(jié)為某種類(lèi)型有困難時(shí)，如何變化問(wèn)題形式，促使其實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？（4）轉(zhuǎn)化過(guò)程中，遇到障礙，缺少某些條件時(shí)，如何搭橋鋪路，使問(wèn)題歸結(jié)為自己熟悉其解法的類(lèi)型？學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的資料和經(jīng)驗(yàn)，弄清已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，提出問(wèn)題解決方案，最后，執(zhí)行計(jì)劃或嘗試某種解決方案解答問(wèn)題并進(jìn)行解題檢查，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤。

[教學(xué)案例1]——拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用

（解決問(wèn)題）學(xué)生小組討論研究，制定解題策略和計(jì)劃：（1）以C點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系；（2）假設(shè)A點(diǎn)

（7）求不明飛行物從50千米遠(yuǎn)處飛至B點(diǎn)的時(shí)間（也即是此問(wèn)題需求解的時(shí)間）。學(xué)生根據(jù)解題計(jì)劃，分步寫(xiě)出解過(guò)程，并檢驗(yàn)。

4.評(píng)價(jià)與反思

問(wèn)題解決的最后一個(gè)環(huán)節(jié)是教師的評(píng)價(jià)與學(xué)生的反思。教師要對(duì)學(xué)生的解題途徑、解題方法和解題過(guò)程進(jìn)行理性評(píng)價(jià)，對(duì)學(xué)生的正確解答給予肯定，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤和不足給予糾正和點(diǎn)撥，并由此歸納出可行有效的解題方法；同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程，歸納解題方法和總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)成果，并形成自己新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

[教學(xué)案例1]——拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用

（評(píng)價(jià)與反思）教師結(jié)合各小組學(xué)生的解題策略、計(jì)劃、過(guò)程和結(jié)果加以評(píng)價(jià)，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真反思以鞏固學(xué)習(xí)成果。

又如，[教學(xué)案例2]——一元二次方程的應(yīng)用

（呈現(xiàn)情境）退耕還林是我國(guó)加強(qiáng)生態(tài)環(huán)境保護(hù)、維護(hù)國(guó)家生態(tài)安全的一項(xiàng)重要舉措，據(jù)四川省某市林業(yè)局、統(tǒng)計(jì)局調(diào)查統(tǒng)計(jì)，該市近幾年的人口變化及現(xiàn)有耕地情況如下表：

根據(jù)國(guó)家有關(guān)政策，2007年內(nèi)坡度25°以上的耕地需全部退耕還林，如要保證該市人均耕地1.25畝以上，該市是否應(yīng)加強(qiáng)控制人口增長(zhǎng)率？

（提出問(wèn)題）學(xué)生由問(wèn)題情境提出問(wèn)題并探究問(wèn)題實(shí)質(zhì)：（1）現(xiàn)在的人口平均自然增長(zhǎng)率是多少？（2）退耕還林后總耕地面積有多少畝？（3）要保證人均耕地1.25畝，人口數(shù)需在多少以下？（4）按照此人口數(shù)其增長(zhǎng)率需控制在多少以下？（5）……

（解決問(wèn)題）學(xué)生小組討論研究，制定解題策略和計(jì)劃：（1）根據(jù)2004年和2006年人口數(shù)列一元二次方程302.2(1+x) =317.5，求現(xiàn)在的人口平均自然增長(zhǎng)率；（2）列式計(jì)算在這種平均增長(zhǎng)率下2007年的人口總數(shù)；（3）計(jì)算人均耕地面積并與1.25畝比較；（4）列不等式(461-58)÷[317.5×(1+x)]≥1.25求應(yīng)控制達(dá)到的人口增長(zhǎng)率。學(xué)生根據(jù)解題計(jì)劃，分步寫(xiě)出解過(guò)程，并檢驗(yàn)。

（評(píng)價(jià)與反思）教師結(jié)合各小組學(xué)生提出問(wèn)題和解題策略、計(jì)劃、過(guò)程、結(jié)果等情況加以評(píng)價(jià)，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真反思以鞏固學(xué)習(xí)成果。

結(jié)束語(yǔ)

問(wèn)題解決作為一種新型的教學(xué)模式，能使我們緊密結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)科優(yōu)勢(shì)，給學(xué)生創(chuàng)造了足夠的實(shí)踐機(jī)會(huì)和思維空間，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的同時(shí)，也培養(yǎng)了創(chuàng)新精神和提高了創(chuàng)新能力，所以它對(duì)推進(jìn)我國(guó)素質(zhì)教育具有深遠(yuǎn)的意義。

參考文獻(xiàn):

[1]呂傳漢.數(shù)學(xué)情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2005.

[2]綦春霞.數(shù)學(xué)比較教育[M].南寧：廣西教育出版社，2005.

[3]何小亞.與新課程同行——數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2003.

[4]陸書(shū)環(huán)，傅海倫.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[5]劉朝暉.數(shù)學(xué)教育的理論·問(wèn)題·策略[M].廣州：廣東高等教育出版社，2005.

[6]劉建文.問(wèn)題教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)研究[J].中國(guó)職業(yè)技術(shù)教育，2003，(16).

[7]楊孝斌，康紀(jì)權(quán).試論“情境——問(wèn)題”數(shù)學(xué)教學(xué)與“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”的關(guān)系[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2006，(5).

[8]李紅婷.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)施策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，(6).

[9]汪秉彝，呂傳漢.“設(shè)置數(shù)學(xué)情境——提出數(shù)學(xué)問(wèn)題”教學(xué)探索[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，(1).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”