從高等數(shù)學(xué)看數(shù)學(xué)之美

摘 要：本文從高等數(shù)學(xué)的角度，介紹了數(shù)學(xué)美的四個(gè)方面，說(shuō)明數(shù)學(xué)是一門(mén)優(yōu)美的學(xué)科，數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵和外延都是極其豐富的。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)潔美 對(duì)稱(chēng)美 統(tǒng)一美 奇異美

數(shù)學(xué)美蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)學(xué)科的每一個(gè)分支里，高等數(shù)學(xué)也不例外。在高等數(shù)學(xué)中，它的概念、公式、理論、結(jié)構(gòu)等，對(duì)稱(chēng)和諧，簡(jiǎn)單新奇，統(tǒng)一協(xié)調(diào)，構(gòu)成美學(xué)的內(nèi)容和形式，充滿(mǎn)了美的色彩，給人以美的感受。同時(shí)，高等數(shù)學(xué)思維與方法的新穎性、獨(dú)特性和奇異性等等，都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容和表現(xiàn)形式。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)美的基本形式———簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、對(duì)稱(chēng)美、奇異美，利用數(shù)學(xué)美的思想方法去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，使其與數(shù)學(xué)問(wèn)題條件和結(jié)論的特點(diǎn)結(jié)合，能夠取得事半功倍的效果。

1 簡(jiǎn)潔美。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，是數(shù)學(xué)美的重要特征之一。一方面，數(shù)學(xué)以高度抽象、簡(jiǎn)潔的形式表現(xiàn)了復(fù)雜的內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)中，我們總能看到符號(hào)、定義、公式、定理的簡(jiǎn)明扼要的敘述。例如：極限定義有簡(jiǎn)潔美：用簡(jiǎn)潔的符號(hào)?坌ε＞0，?堝δ＞0，當(dāng)0＜｜x-x ｜＜δ時(shí)，恒有｜f(x)-A｜＜δ成立，從而清楚地描述了極限這一概念；牛頓-萊布尼茨公式f(x)dx=F(b)-F(a)形式也很簡(jiǎn)單，卻深刻揭示了微分與積分內(nèi)在聯(lián)系的。另一方面，數(shù)學(xué)又以簡(jiǎn)潔、清晰的方式處理和解決了復(fù)雜的問(wèn)題。正如數(shù)學(xué)家荻德羅所說(shuō):“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題是指一個(gè)難于解決的問(wèn)題， 所謂美的解答則是指一個(gè)困難、復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答。”在高等數(shù)學(xué)中，“化繁為簡(jiǎn)”的思想隨處可見(jiàn)。例如：定積分概念的引入，采用了眾所周知的“微元法”，其中，在計(jì)算曲邊梯形面積時(shí)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)“以直代曲”；在處理變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在小的時(shí)間段內(nèi)以勻速代替變速；在引入二重積分概念時(shí)，在曲頂柱體體積計(jì)算中，在每個(gè)小區(qū)域中以平面代替曲面；在三重積分、曲線(xiàn)積分、曲面積分等問(wèn)題中都貫徹了“微元法”的運(yùn)用，都以“線(xiàn)性”的線(xiàn)、面、體去代替非線(xiàn)性的線(xiàn)、面、體，從而使問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單了，可操作了，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果。再如，等價(jià)無(wú)窮小代換在求極限中的應(yīng)用，也充分體現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)的理念。又如，在求極限、求積分（一元函數(shù)積分、多元函數(shù)積分)、求微分方程的解等運(yùn)算中，常常利用作變量變換來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。

從上面的解題中我們也可以看到簡(jiǎn)潔的方法帶來(lái)的美感。

2 對(duì)稱(chēng)美。對(duì)稱(chēng)性是最能給人以美感的一種形式，從古希臘時(shí)代起，對(duì)稱(chēng)性就一直被數(shù)學(xué)家看成是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本內(nèi)容。對(duì)稱(chēng)對(duì)于我們來(lái)說(shuō)并不陌生，它是指整體事物中各部分之間的相稱(chēng)、平衡或相適應(yīng)。同時(shí)，對(duì)稱(chēng)美在數(shù)學(xué)研究中有重要作用，它是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的美學(xué)方法之一。正如韋爾所說(shuō)：“對(duì)稱(chēng)是一種思想，多少世紀(jì)以來(lái)，人們希望借助它來(lái)解釋和創(chuàng)造秩序、美和完善。”在高等數(shù)學(xué)中，也處處滲透著圓滿(mǎn)和自然的對(duì)稱(chēng)美。如：線(xiàn)性方程組的克萊姆法則x ；從運(yùn)算關(guān)系角度看：微分與積分，矩陣與逆矩陣……這些互逆運(yùn)算也可視為“對(duì)稱(chēng)”關(guān)系。對(duì)稱(chēng)美在高等數(shù)學(xué)里更多地體現(xiàn)在微分、積分、線(xiàn)性代數(shù)的運(yùn)算中。下面將一一舉例說(shuō)明。

（1）在微分中

（2）在積分中

在高等數(shù)學(xué)中，一些函數(shù)圖形關(guān)于某坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，求定積分、重積分及線(xiàn)面積分時(shí)，根據(jù)積分的幾何意義，利用被積函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可簡(jiǎn)化積分運(yùn)算。

如：利用函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算；

對(duì)于三重積分、第一型曲線(xiàn)和曲面積分也有類(lèi)似結(jié)論。

（3）在線(xiàn)性代數(shù)中，行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式具有對(duì)稱(chēng)性，而某些行列式本身就是對(duì)稱(chēng)的。在行列式的計(jì)算中，利用對(duì)稱(chēng)性，也可以起到簡(jiǎn)化的作用。

3 統(tǒng)一美。數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一性是指部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致，這是一種美的重要特征。數(shù)學(xué)中一些表面看來(lái)不相同的概念、定理、法則，在一定的條件下可以處在一個(gè)統(tǒng)一體中。笛卡爾通過(guò)解析幾何把幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)統(tǒng)一起來(lái)；高斯從曲率的觀點(diǎn)把歐幾里得幾何、羅巴契夫斯基幾何和黎曼幾何統(tǒng)一起來(lái)了；克萊因（C.F.Klein）用變換群的觀點(diǎn)統(tǒng)一了19世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的各種幾何學(xué)（該理論認(rèn)為：不同的幾何只不過(guò)是在相應(yīng)的變換群下的一種不變量）；拓?fù)鋵W(xué)在分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中的滲透，特別是在微分幾何種種空間，產(chǎn)生了所謂拓?fù)淇臻g的統(tǒng)一流形。統(tǒng)一美表現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上，成為數(shù)學(xué)美的基本源泉。值得一提的是世界上公認(rèn)的最優(yōu)美的公式e +1=0，這個(gè)式子將算術(shù)中的“1”、“0”，代數(shù)中的“i”，幾何中的“π”，分析中的“e”神奇地統(tǒng)一在了一起，即它們相會(huì)于天橋：e =cosθ+isinθ（在該式中令θ=π就可得到上式），它溝通了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。同時(shí)，高等數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美也隨處可見(jiàn)。比如：牛頓—萊布尼茲公式就具有統(tǒng)一美：將微分、不定積分和定積分之間建立了聯(lián)系；矩陣乘積求逆與轉(zhuǎn)置，則是數(shù)學(xué)運(yùn)算所表現(xiàn)的統(tǒng)一的“脫衣規(guī)則”；行列式 表示了平面上過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn)方程，也體現(xiàn)點(diǎn)、直線(xiàn)方程與行列式的統(tǒng)一美。 在一元積分中，不定積分、變上限積分、定積分這三個(gè)數(shù)學(xué)量之間是對(duì)立統(tǒng)一的：變上限積分是不定積分所表示的原函數(shù)中的一個(gè)，而定積分則是變上限積分中的上限x在給定區(qū)間中的某一點(diǎn)的函數(shù)值。多元函數(shù)的二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分、對(duì)面積的曲面積分，盡管這些積分運(yùn)算由于其積分域不同，但可以將其統(tǒng)一表示為∫f(M)dΩ，其表示f(M)在Ω上的黎曼積分；而格林公式建立了平面曲線(xiàn)積分與二重積分的聯(lián)系，高斯公式建立了曲面積分與三重積分的聯(lián)系，斯托克斯公式建立了空間曲線(xiàn)積分與曲面積分的聯(lián)系，它們體現(xiàn)了各種積分運(yùn)算之間的統(tǒng)一美。

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)更易解決的問(wèn)題，而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的依據(jù)就在于原問(wèn)題及其轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題在本質(zhì)上的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一與和諧能透露出這方面的信息，為實(shí)現(xiàn)這種統(tǒng)一指引方向， 為發(fā)現(xiàn)解題方法奠定基礎(chǔ)。在不定積分的計(jì)算題中，湊微分法就是還原思想的運(yùn)用，也是數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的體現(xiàn)；在證明“在某個(gè)區(qū)間上，至少存在一點(diǎn)使某式成立”的命題中，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)往往感到比較困難，解此類(lèi)題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造輔助函數(shù)， 應(yīng)用微分中值定理求解，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了積分以后，從微分與積分的關(guān)系上來(lái)設(shè)計(jì)輔助函數(shù)，即通過(guò)尋求原函數(shù)來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)就顯得比較簡(jiǎn)單。通過(guò)做題，學(xué)生能體會(huì)到微分與積分之間隱蔽而深刻的內(nèi)在聯(lián)系，使兩個(gè)截然對(duì)立的概念達(dá)到和諧統(tǒng)一，從而感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。

4 奇異美。數(shù)學(xué)中的奇異美是指數(shù)學(xué)研究的形式、表述的結(jié)果，無(wú)法用任何現(xiàn)有理論給予解釋?zhuān)憩F(xiàn)了數(shù)學(xué)形式、數(shù)學(xué)結(jié)論的奇異，同樣也表現(xiàn)了人們對(duì)數(shù)學(xué)成果所感到的奇異。在高等數(shù)學(xué)中，曲線(xiàn)上的奇點(diǎn)，微分方程的奇解，線(xiàn)性代數(shù)中的奇異矩陣，分析中的奇異積分等所帶給我們的美學(xué)思考，很值得研究，其中不少奇異之處恰好是最值得注意的地方。數(shù)學(xué)的奇異性還常常與數(shù)學(xué)的反例緊密地聯(lián)系在一起。例如18世紀(jì)后期的一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，連續(xù)函數(shù)至少在某些點(diǎn)處可以微分，然而德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯卻在1874年找到了一個(gè)處處連續(xù)而又處處不可微的函數(shù)f(x 其中a是奇數(shù)，0＜b＜1，ab＞1 π，這就給人以奇異感； 狄里克萊函數(shù)D（x)=1，x為有理數(shù)時(shí)0，x為無(wú)理數(shù)時(shí) 在實(shí)軸上處處有定義，但在實(shí)軸上卻處處不連續(xù)， 這使原有的積分失靈了。這種奇異現(xiàn)象給積分帶來(lái)了新的生機(jī)， 于是就出現(xiàn)了勒貝格積分等。數(shù)學(xué)中許多新的分支的誕生，往往都是人們對(duì)于數(shù)學(xué)奇異性探討的結(jié)果。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)中的奇異現(xiàn)象， 可以使人們的認(rèn)識(shí)深入，思想變得精細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)，亦可以使人們沖破舊的數(shù)學(xué)理論框架，對(duì)空間形式和量的關(guān)系的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。奇異也往往伴隨數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)而出現(xiàn)。數(shù)學(xué)解題方法的奇異性，與文學(xué)中那種奇峰突起的“神來(lái)之筆”相似，想法奇巧、怪異，卻令人拍案叫絕，體會(huì)到一種奇特的美感。例如：在計(jì)算行列式

把第一列的元素看成兩項(xiàng)的和，然后把行列式拆成兩個(gè)行列式的和，問(wèn)題就迎刃而解了。

因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中注入數(shù)學(xué)美的觀點(diǎn)，通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決來(lái)點(diǎn)撥深蘊(yùn)于其中的美的因素和美的思想，可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情趣；同時(shí)，在教學(xué)中注重美學(xué)思想的滲透，能夠幫助學(xué)生形成正確的思想方法，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供依據(jù)和指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2005.

[2]課程教材研究所數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.數(shù)學(xué)文化[M].北京:人民教育出版社，2003.

[3]王憲昌.數(shù)學(xué)思維方法[M].北京：人民教育出版社，2002.

[4]張玉峰，孟愛(ài)紅.數(shù)學(xué)美的本質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，(8).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”