橄欖數及其性質

“數學興趣小組”組長小明宣布這次活動的主題是“橄欖數及其性質”。

小芳心直口快，搶先發問：“什么是橄欖數?難道它像一只橄欖?!”

小明干脆地回答：“不錯!你看，12345678987654321，它的各數位上的數字從左到右逐漸增大(由1到9的連續自然數)，到數9時，又逐漸減小(由9至1)，這個數兩頭小中間大，它活像一只橄欖，我們不妨稱它為橄欖數。請大家寫出其他的橄欖數?！?/p>

同學們陸續寫出其他7個橄欖數如下：121，12321，1234321，123454321，12345654321，1234567654321，123456787654321。

“橄欖數有什么性質呢?”小娜也提出了問題。

小娜話音剛落，性急的小婷便急忙說道 “老師要我們熟記20以下自然數的平方數，這下讓我用上了!大家都知道，11²=121。也即121=11²，我大膽猜想，12321=111²，可如何證明呢?

一聲不響的小嚴突然搶著說：“這個證明不難!用計算器計算是一種方法，另一種方法則別開生面、妙趣橫生。因為1=1，2=1+1，3=1+1+1，所以12321可以分成右圖中三項的和。這個式子是111×111豎式計算的一部分，所以12321=111²。仿此類推，所有的橄欖數都是完全平方數。我們可以先弄清這兩個橄欖數的規律，再把其他的橄欖數也寫成完全平方數?！?/p>

小剛也搶著說：“第一個等式121=11²，我發現左邊橄欖數121中間的那個數是2。右邊二次冪中底數1的個數也是2，……”

未等小剛說完，小娜也搶著說：“第二個等式12321=111²，左邊橄欖數12321中間的那個數是3，右邊二次冪中底數1的個數也是3。”

“能否把這個規律一般化呢？”心直口快的小芳又提出了問題。

“可以！”組長小明說，“橄欖數中間的那個數與和它相等的二次冪中底數1的個數相等?！苯又诤诎迳习堰@個規律寫出：

小亮是本班的“數學通”，至今他一言未發，大家深感意外，請他談談見解。小亮說：“大家發現橄欖數是完全平方數，這很好，但不應當就此罷手。事實上，橄欖數是一種特殊的回文數(回文數的特征是：不論是從左到右順讀，還是從右到左倒讀，結果都一樣，如22，383，5445，12321)。它們的關系是：橄欖數一定是回文數，而回文數不一定是橄欖數，橄欖數家族是回文數大家族中的‘小’家族。此外，橄欖數左右對稱，這很明顯，但應注意它的變形也具有對稱性?！苯又麑懗鋈齻€對稱式如下：

最后，組長小明要求大家寫出其他的對稱式，并驗證它是否成立。同學們，現在是你施展才華、露一手的時候了！