以不變 應萬變

——多邊形外角和性質(zhì)的應用

我們知道，“任意多邊形的外角和等于360°在求解涉及多邊形的角的問題時，若能把多邊形的“內(nèi)角”問題轉(zhuǎn)化為“外角”問題來處理，則往往可以收到化繁為簡、化難為易之效果。

一、求多邊形的邊數(shù)

例1已知-n邊形的每一個內(nèi)角都等于162°，求該多邊形的邊數(shù)n。

思路導引：先求該多邊形的每一個外角的度數(shù)，再用多邊形的外角和除以每一個外角的度數(shù)得多邊形的邊數(shù)。

解答：因為n邊形的每一個內(nèi)角都等于162°，

所以該n邊形的每一個外角等于1800°-1620°＝180°，

因為任意多邊形的外角和等于360°。

所以該多邊形的邊數(shù)n＝360°/18°＝20，

二、求多邊形的周長

例2小敏在課外活動期間制作了一個簡單的機器人，小敏遙控它每前行2m就向右30°，問該機器人需要走多少路程才回到原地?

思路導引：可先根據(jù)題意畫出草圖，確定出該機器人所走過的路徑為一正多邊形，再據(jù)條件求出多邊形的邊數(shù)，進而求出其周長，也就是該機器人需要走的總路程。

解答：根據(jù)題意可知：該機器人所走過的圖形是一個外角為30°的正n邊形。由多邊形的外角和性質(zhì)得：30°×n＝360°，解得n＝12。

所以該機器人回到原地需要走的總路程為：2×12＝24(m)。

三、求多邊形的內(nèi)角度數(shù)

例3各角都相等的十五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)等于____。

思路導引：可先求出每一個外角的度數(shù)，再利用外角與相鄰的內(nèi)角互補求出每一個內(nèi)角的度教。

解答：因為該十五邊形各(內(nèi))角都相等，所以它的各外角也相等。

又因為多邊形的外角和等于360°，

所以，該十五邊形的每個外角為：360°/15=24°，