以不變 應萬變

——多邊形外角和性質的應用

我們知道，“任意多邊形的外角和等于360°在求解涉及多邊形的角的問題時，若能把多邊形的“內角”問題轉化為“外角”問題來處理，則往往可以收到化繁為簡、化難為易之效果。

一、求多邊形的邊數

例1已知-n邊形的每一個內角都等于162°，求該多邊形的邊數n。

思路導引：先求該多邊形的每一個外角的度數，再用多邊形的外角和除以每一個外角的度數得多邊形的邊數。

解答：因為n邊形的每一個內角都等于162°，

所以該n邊形的每一個外角等于1800°-1620°＝180°，

因為任意多邊形的外角和等于360°。

所以該多邊形的邊數n＝360°/18°＝20，

二、求多邊形的周長

例2小敏在課外活動期間制作了一個簡單的機器人，小敏遙控它每前行2m就向右30°，問該機器人需要走多少路程才回到原地?

思路導引：可先根據題意畫出草圖，確定出該機器人所走過的路徑為一正多邊形，再據條件求出多邊形的邊數，進而求出其周長，也就是該機器人需要走的總路程。

解答：根據題意可知：該機器人所走過的圖形是一個外角為30°的正n邊形。由多邊形的外角和性質得：30°×n＝360°，解得n＝12。

所以該機器人回到原地需要走的總路程為：2×12＝24(m)。

三、求多邊形的內角度數

例3各角都相等的十五邊形的每一個內角的度數等于____。

思路導引：可先求出每一個外角的度數，再利用外角與相鄰的內角互補求出每一個內角的度教。

解答：因為該十五邊形各(內)角都相等，所以它的各外角也相等。

又因為多邊形的外角和等于360°，

所以，該十五邊形的每個外角為：360°/15=24°，

所以，該十五邊形的每一個內角的度數為：180°-24°=156°。

四、求多邊形的內角和

例4已知一個多邊形的每一個外角都等于36°，則這個多邊形的內角和為____。

思路導引：先根據多邊形外角和性質及條件求出該多邊形的邊數，再求其內角和。

解答：因為多邊形的外角和等于360°，

所以，該多邊形的邊數為：360°/36°＝10，

所以多邊形的內角和為：(10-2)×180°＝1440°。

五、判斷多邊形中銳角的個數

例5在一個多邊形中它的內角最多可以有幾個是銳角?

思路導引：考慮多邊形的外角中最多有幾個鈍角.

解答：因為多邊形的外角和為360°。

所以多邊形的外角中最多有3個鈍角；

所以多邊形的內角中最多有3個銳角。

六、判斷多邊形中小于某一指定角的個數

例6在凸多邊形中，小于108°的內角最多有( )。

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

思路導引：考慮凸多邊形的外角中大于72°的角最多有幾個。

解答：因為多邊形的外角和為360°。

所以多邊形中人于72°的外角不能多于4個；

所以多邊形中小于108°的內角最多有4個，故選B。

七、求最值

例7凸多邊形中，有且只有3個鈍角，則這個多邊形的邊數的最大值是____，最小值是____。

思路導引：考慮多邊形最多有幾個外角。

解答：因為題中多邊形的內角中有且只有3個鈍角，

所以該多邊形的外角中有且只有3個銳角。

又由例5知：多邊形的外角中最多有3個鈍角，

所以該多邊形最多有6個外角，

因此，滿足條件的最大值是6，最小值是4。

評注：由于內角中“有且只有3個鈍角”，所以這個多邊形不能是三角形，只有四邊形的內角中才能有3個鈍角。