經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析中的常用數(shù)學(xué)方法

一、幾個(gè)常用函數(shù)

1.需求函數(shù)。在商品市場(chǎng)中，商品的價(jià)格是影響消費(fèi)者對(duì)該商品的需求的主要因素，即需求量可看成是價(jià)格的函數(shù)：Q＝f(p)，Q表示需求量，p表示價(jià)格，稱(chēng)為需求函數(shù)。需求函數(shù)都是遞減函數(shù)，即商品的價(jià)格下降，需求量增加，反之商品價(jià)格上漲，需求量減少。

2.總收益函數(shù)。某商品的價(jià)格為p，相應(yīng)的需求量為Q，則出售該商品的總收益為Qp，又需求函數(shù)，其反函數(shù)，商品的總收益可看成是其需求量Q(或價(jià)格p)的函數(shù):或稱(chēng)為總收益函數(shù)。

3.供給函數(shù)。在考察的時(shí)間范圍內(nèi)，生產(chǎn)要素的成本以及技術(shù)水平等因素都沒(méi)有發(fā)生變化，這時(shí)可把某種商品的供給量Q看成是其價(jià)格p的函數(shù):稱(chēng)為供給函數(shù)。

二、邊際與彈性

1.邊際收益。設(shè)某種商品的總收益可以為需求量Q的函數(shù)，即，平均收益RA就是單位需求量的收益，于是有，可見(jiàn)，需求函數(shù)也可以稱(chēng)為平均收益函數(shù)，就是說(shuō)價(jià)格P可以看成是從需求量Q獲得的平均收益。

邊際收益就是總收益對(duì)Q的導(dǎo)數(shù)，即

2.邊際成本。成本是指生產(chǎn)某總產(chǎn)品時(shí)消耗生產(chǎn)要素所支付的所有費(fèi)用，而總成本則是生產(chǎn)一定量產(chǎn)品所需求成本總額，它是由固定成本（即在一定限度內(nèi)不隨產(chǎn)量的變動(dòng)而變化的費(fèi)用）和可變成本（即隨產(chǎn)量變動(dòng)而變化的費(fèi)用）兩部分組成。

設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量為Q，于是我們可以把總成本看成是產(chǎn)量Q的產(chǎn)量的函數(shù)，即，最簡(jiǎn)單的成本函數(shù)有這樣幾種形式：

(1)，其中c為固定成本;pn(Q)為可變成本，它是Q的一個(gè)n次多項(xiàng)式。特別當(dāng)n=1時(shí)，即這時(shí)總成本為線形函數(shù)，其中a表示增加單位產(chǎn)量時(shí)所增加的單位成本；

(2)

(3)這里的a，b，c，d均為正常數(shù)。

由平均定義可知，平均成本KA，就是指單位產(chǎn)品的成本，即

根據(jù)邊際的定義，邊際成本KM可以用總成本KT對(duì)Q的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示，即

例如，當(dāng)總成本為時(shí)，平均成本為而邊際成本為。

由上面的討論可以看出，邊際實(shí)際上刻畫(huà)了一個(gè)經(jīng)濟(jì)的變量y對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x的絕對(duì)變化率。在實(shí)際過(guò)程中討論對(duì)x變動(dòng)的敏感程度時(shí)，往往離不開(kāi)計(jì)量單位（即量綱），這樣就很難比較使用不同的量綱時(shí)y對(duì)x的敏感程度。因此，我們必須采用不依賴(lài)與任何單位的計(jì)量法，這就是彈性。在經(jīng)濟(jì)分析中，彈性表示一個(gè)經(jīng)濟(jì)y對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x微小的百分比變動(dòng)所作的反應(yīng)。嚴(yán)格地講，就是當(dāng)自變量x的變動(dòng)趨向零時(shí)，x的微小變化的相對(duì)變化率去除由它引起的因變量y的相對(duì)變化率所得到的比值的極限。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)的彈性可以用導(dǎo)數(shù)與平均函數(shù)的比值來(lái)表示，即，可見(jiàn)，在經(jīng)濟(jì)彈性又可以理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比。

設(shè)需求函數(shù)為，則需求量Q對(duì)于價(jià)格p的彈性為

例如，當(dāng)時(shí)，有而當(dāng)時(shí)，有

這里，需求量Q對(duì)于價(jià)格p的彈性為-bp，說(shuō)明了價(jià)格增加1%時(shí)，需求量減少bp%。

對(duì)于一般的可導(dǎo)函數(shù)，則表示當(dāng)自變量x變化1%時(shí)，函數(shù)f(x)變化的百分?jǐn)?shù)。例如，當(dāng)f(x)=c時(shí)，由f’(x)=c，得到=0即常數(shù)函數(shù)的彈性為零。

三、總量函數(shù)

在經(jīng)濟(jì)分析中，與邊際概念相應(yīng)的是總量函數(shù)的概念，例如，邊際成本與總成本，邊際收益與總收益，邊際產(chǎn)出與總產(chǎn)出等。

設(shè)邊際函數(shù)（即總量函數(shù)的變化）為f(x)，求在區(qū)間[a，b]上的總量F。這個(gè)問(wèn)題我們可以用一元積分學(xué)中的微分法來(lái)解決；

分割區(qū)間[a，b]，設(shè)其中任一小區(qū)間[x，x+dx]上的總量為，由于的線性主要部分

故有這就是說(shuō)，總量邊際函數(shù)從a到b的定積分。

例如，某種商品的邊際收益為RM(Q)，則銷(xiāo)售N個(gè)單位時(shí)的總收益RT可以表示為

又如，某種商品的邊際成本為KM(Q)，則從產(chǎn)量a到b的總成本KT可以表示為

四、應(yīng)用舉例

例1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)KT(單位:元)是其產(chǎn)量Q（單位：t）的函數(shù)。試討論

(1)當(dāng)產(chǎn)量Q=100t時(shí)，總成本，平均成本和邊際成本各是多少？

(2)當(dāng)產(chǎn)量Q為多少時(shí)，平均成本最??？最小平均成本是多少？

解 設(shè)平均成本和邊際成本分別為卡KA(Q)和KM(Q)，則于是，有

(1)（元）（元）（元）

(2)由，解得Q=200，且，即當(dāng)Q=200t時(shí)，平均成本最小，最小值為（元）

例2 設(shè)某種產(chǎn)品需求量Q是價(jià)格p的函數(shù):求需求量Q對(duì)于價(jià)格p的彈性。

解 由

根據(jù)彈性的定義，有

例3 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為60萬(wàn)元，每周生產(chǎn)Q臺(tái)時(shí)，邊際成本為KM(Q)=0.6Q-2（萬(wàn)元）。設(shè)該產(chǎn)品的每臺(tái)銷(xiāo)售價(jià)格為10萬(wàn)元，試討論每周生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)所獲得的總利潤(rùn)最大。

解設(shè)總成本，總收益和總利潤(rùn)分別為和，則有其中總成本KT(Q)可由邊際成本KM(Q)通過(guò)不定積分求出;

考慮到Q=0時(shí)，企業(yè)仍需支付固定成本60萬(wàn)元，故KT(Q)=60，代入上式得到C=60，于是

而總收益RT=10Q，因此總利潤(rùn)為

當(dāng)C’(Q)=12-0.6Q，令C’(Q)=0解得Q=20，并且可知當(dāng)產(chǎn)量為20臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)達(dá)到最大為60萬(wàn)元。

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