上證指數的奇異吸引子分析與實證

[摘要] 本文驗證了上證指數具有正的Lyapunov指數，說明上證股市存在奇異吸引子。這表明對股票價格的長期預測是不可能的。

[關鍵詞] 吸引子 混沌 Lyapunov指數 關系維數

一、國內外學者對股價波動的研究

股票市場有效性EMH(Efficient Market Hypothesis)的研究是股票市場研究的基本問題之一，是現代股票市場的奠基理論。股票市場有效性理論的產生與發展是一個漸進的過程。1953年英國統計學家Kendall在其《經濟時間序列分析，第一篇:價格》一文中研究了19種英國工業股票價格指數和紐約、芝加哥商品交易所的棉花、小麥的即期價格周期變化規律，在做了大量序列相關分析后，發現這些序列就像在隨機漫步一樣，下一周的價格是前一周的價格加上一個隨機數構成，提出了股票價格遵循一種隨機游走(RandomWalk)模式。1959年Roberts揭示了這些股票市場研究和金融分析的結論所隱含的意義。Kendall、Working和Roberts提出的投機價格序列雖然可以用隨機游走模型的觀點進行很好描述，但他們并沒有對這些假設進行合理的經濟學解釋。

二、相關概念

1.奇異吸引子

一個耗散系統，由于耗散因素的作用，隨著時間的增長，相體積不斷地收縮，所以耗散是一種整體的穩定因素，它使運動軌道穩定地收縮到吸引子上。如果在相體積收縮的同時，沿某一方向的運動出現局部不穩定，那么怎樣才能在有限的幾何對象上實現指數分離呢?那就只得將運動軌道無窮折疊、扭曲和拉伸，從而構造出一種新的幾何對象，即奇異吸引子。所以奇異吸引子是整體穩定和局部不穩定共同作用的產物。而對奇異吸引子的刻畫主要是Lyapunov指數和分數維。

2.Lyapunov指數

考慮一個n維的動力系統。選一個點，并取一個中心在該點的一個小的n維的球，隨著時間的增加，球將變形成為一個近似的橢球。在球的初始直徑趨向于零的極限情況下，映像保持與橢球相同的時間將趨向于無窮大。用數學公式來描述如下：

對于一個n維系統來說，Lyapunov指數為

W(t)為切向量，W(0)為初始誤差，LE代表相鄰軌道在相空間的平均指數輻散率，LE的各個分量就是Lyapunov指數，將它們從大到小排列

稱這n個數為Lyapunov指數的譜，其中LE1稱為最大的Lyapunov指數。如果系統是混沌的，則至少有一個指數是正的，所以只要求出最大Lyapunov指數為正，則可證明系統是混沌的。

對于n維的股票價格系統來說，正的最大Lyapunov指數意味著至少存在一個因素，如果該因素有個微小的變化，在系統各因素非線性的相互作用下，經過一定時間的演化，這種改變將會指數倍放大，表現為價格的劇烈波動。這種對初始值的敏感表明了系統是混沌的。

5.分數維

刻畫吸引子的另一個指標是分數維。它表示相空間中的吸引子是一個具有非整數維的幾何體，具有自相似結構。自相似性是分形的本質，分數維是度量自相似性的特征量。這種自相似指曲線的整體與局部的自相似性。維數有許多種不同的定義或度量方法，本文采用的是關聯維數。1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理論，提出了用時間序列直接計算關聯維數的算法，簡稱G-P算法，吸引子的關聯維數可表述為：

三、實證分析

1.樣本選擇

為了獲得相互映證的效果，在選取了上海綜合指數和深圳成份指數周收盤價的基礎上，還分別從上海股市和深圳股市各選取了10只股票，樣本區間為1992年12月28日到2005年3月31日，樣本數為720。

2.計算關聯維數

筆者編寫了C語言程序來計算關聯維數。在計算關聯維數時，需要注意兩個問題，一個是延遲時間的選取，一個是r值的選取。關于延遲時間的選取基于下面的原則，即相空間內元素之間的相關性最弱。測量碼尺r存在一個合理的取值范圍。一般說來，r取值的上限為N2m/2，r值也不能取太小，因為r值太小數據會受到噪聲的影響。根據這個原則筆者選取了一些r值，然后把所有求出的關聯積分的對數序列和r的對數序列進行回歸，得到的回歸直線的斜率就是所求的關聯維數。當m逐漸增大時，關聯積分的逐漸收斂。在m=26時，關聯維數穩定于3.61。

3.計算Lyapunov指數

對于給定函數關系的系統來說，Lyapunov指數可以采用定義法來計算。但對于未知系統來說，計算該指數有Wolf方法、Jacobian方法和p-范數方法。筆者據此編寫了算法，當我們取τ=6，每步運行時間t=6，得最大Lyapunov指數收斂于0.0025。這個正的Lyapunov指數說明股票價格波動中的吸引子為對初始條件具有敏感性的奇異吸引子。吸引子這種對初始條件敏感的性質說明上證股指價格波動具有明顯的混沌現象。

股票價格吸引子對初始條件的敏感性使得系統價格長期預測成為不可能，只有可能做出短期的預測。

四、結論

股票價格的波動中存在吸引子，該吸引子是具有分數維和敏感依賴性的奇異吸引子。股票價格的波動不是雜亂無章的隨機波動，它趨于低維的吸引子從而使整個股價系統的結構呈現出一種穩定的結構，但由于奇異吸引子的特性使股價會在某種狀態下產生劇烈波動，并且內部結構也可能產生突變，因此對股票價格的長期預測是不可能的。

參考文獻：

[1]E.N.洛倫茲:混沌的本質[M].北京:氣象出版社，1997，p20，186

[2]黃潤生:混沌及其應用[M].武漢:武漢大學出版社，2000，p39，257，240，151~163

[3]楊紹清:兩種實用的相空間重構方法[J].物理學報，2002，51(11):2452-2458

[4]馬紅光李夕海王國華等:相空間重構中嵌入維和時間延遲的選擇[J].西安交通大學學報，2004，38(4):335-338

[5]呂金虎陸君安陳士華:混沌時間序列分析及其應用[M].武漢:武漢大學出版社，2002，p57~60，76~84

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。