加減法問題大小效應的加工機制

摘 要：有關問題大小效應的加工機制存在兩類不同的解釋。初期的提取理論認為，問題大小效應是由算術_知識的儲存表征的各種特征所決定的。后期研究開始關注如計數、分解這樣的非提取策略在問題大小效應形成中的作用，認為大問題任務中更低的提取效率和非提取加工效率以及更多采用非提取策略都會造成算術任務的問題大小效應。由于加法和減法中使用的各種加工策略的比重不同，所以表現為不同形式的問題大小效應。今后研究應該考慮采用不同的研究手段，并統一劃分大問題和小問題的標準。

關鍵詞：問題大小效應；加工策略；加法；減法

給兒童或成人呈現一些簡單的加法問題，問題的形式可采用產生式任務(m+n=?)或證實性任務(m+n=p，正確或錯誤?)，記錄其反應時和錯誤率，均可發現隨著問題中運算數增大，反應時延長，錯誤率增高，這被稱為問題大小效應(problem sizeeffect)。即解決一個較大問題比解決一個較小問題需要更長的時間，出現更多的錯誤。這種現象在加、減、乘、除等問題的研究中均已看到。因此，有關心算加工的理論都試圖解釋這種現象。早期的相關研究主要集中在加法的問題大小效應，主要關注提取策略及其影響因素在問題大小效應中的作用，后來研究開始關注非提取策略在問題大小效應中的作用。由于加法和減法是我們最常使用的基本運算，是學習所有算術知識的基礎，且兩者互為逆運算，因此，有關減法以及加法和減法的對比研究也逐漸增多，已經積累了有價值的研究結果。下面就有關加法及減法問題大小效應的研究進行述評。

1 提取理論

早期的算術解決模型普遍認為算術知識作為一種言語記憶儲存起來，成人主要是通過從這種儲存網絡中直接提取答案來解決簡單算術問題的。根據這種觀點，研究者認為問題大小效應是由算術知識的儲存表征的各種特征所決定的。持這種觀點的理論主要有兩種：結構理論和聯系理論。劉昌在心算活動機制的研究中曾做過相關綜述。

1.1 提取是成人問題解決的主要策略

Widaman及其同事通過對反應時的回歸分析發現，加法問題中兩個加數的乘積可以作為反應時的良好預測指標。因此，他們認為加法問題會激活其對應加數的乘積的儲存網絡，例如加法問題3+5會激活結果15，而15為加數3和5的乘積。結構理論提出了加法反應時的六個預測指標，分別為：最小加數(min)，和(sum)，和的平方，乘積(product)，Wheeler難度變量以及和是否大于10。這些變量都能解釋相當部分的反應時變化，其中以和是否大于10為最好的預測變量，其次為乘積和Wheeler難度變量。

聯系理論認為反應時取決于問題與答案的連接強度，而連接強度主要受算術知識習得過程中問題的練習次數以及錯誤答案的干擾等因素的影響。Ashcraft認為較小問題比較大問題的問題與答案連接強度要強，是因為較小問題呈現次數以及練習次數都更頻繁。Campbell認為對乘法任務來說，呈現頻率和學習的順序都會影響問題和答案之間的聯系強度。因此，小問題比大問題的連接強度更強，小問題比大問題的提取時間更快。Siegler的聯系分布模型認為，在算術知識的習得過程中，兒童在解決較大問題時會更多采用如計數這樣的非提取策略，而這種策略在小問題中比在大問題中的執行準確率更高。因此，小問題的習得過程中受到錯誤答案的干擾比大問題要小，與正確答案的連接強度也更強。但這種理論不能用于解釋成人的算術運算，因為研究者們普遍認為成人是完全利用直接提取來解決簡單加法問題的。

不管結構理論或是聯系理論，都認為成人在解決簡單加法問題時全部通過直接提取，并且這種觀點也得到很多實驗結果的支持。有研究比較了成人和兒童在加法任務中反應時隨加數的變化趨勢發現，10歲以下兒童在解決簡單加法問題時，反應時與最小加數呈線性增加，加數每增加一反應時增加約400ms。表明兒童是以最大加數為基數，正數最小加數對應的數字以得到答案。成人也顯示了反應時的增加為問題大小的函數，但加數每增加一反應時只增加20ms，而且反應時的變化與加數的乘積或加數和的平方呈曲線相關。成人與兒童表現出的不同的問題大小效應表明成人利用效率更高的提取策略來解決簡單加法問題。有關成人在解決簡單加法問題時會出現干擾的觀點和從算術知識儲存網絡中提取結果的觀點是一致的。有研究發現，成人在問題解決中會出現加法和乘法相互干擾的錯誤，比如3×4=7，表明這兩種運算儲存在聯系緊密的知識網絡中。還有研究表明算術知識在非算術任務中會自動激活㈣以及乘法在啟動條件下更易提取。這些研究都支持提取是成人最主要的問題解決策略。

1.2 提取理論的局限

提取理論并不能解釋所有的現象。例如心算加工中另一主要現象，重復運算數效應(tie effect)，即解決兩個運算數相同的問題(如3+3、3×3)比運算數不同的問題反應時更快和正確率更高，并且僅僅表現出很小的問題大小效應。聯系理論認為重復運算數問題比不同運算數問題的呈現和練習次數都多。但有研究表明，加減乘除四種運算條件都出現問題大小和運算數是否重復的交互作用，即小問題不管運算數是否相同，反應時都相當，而大問題中重復運算數問題比不同運算數問題反應時要快得多。而提取理論就不能很好解釋這種現象。

另外，聯系理論認為問題大小效應與兒童學習各種任務的難度、問題在課本中呈現的頻率以及知識習得的順序有關。但并沒有證據表明兒童在學習過程中的習得差異會一直保持到成年階段。而且，有關小學1～6年級加法問題出現頻率的調查并沒有證實加數乘積等變量對問題大小效應的預測能力。因此，提取理論并不能對問題大小效應做出合理解釋。

2 非提取策略對加法和減法的問題大小效應的作用

2.1 非提取策略在算術任務中的使用

如上所述，在心算加工的早期研究中一致認為成人主要依靠直接提取來解決簡單加法任務。但實際上，算術任務的解決需要兩類策略，除了直接提取，算術任務的解決還需要一種類似計數或基于某種規則的運算程序，如分解策略(如在計算6+9時可從6減去1，加到9上，再將5和10相加得出結果)、某些既定規則(如n×1=n)以及計數策略等。這些非提取策略的使用要比提取策略需要更長時間，出錯也更多。在認知任務中，人們通常會使用混合策略而不是某種單一策略，而且通常會選擇他自己認為最有效的策略來解決相應問題。

Torbeyns在研究中考察兒童在解決10以上20以內的加法和減法過程中利用提取、分解以及計數策略的效率。他采用Siegler發展的新方法，設置了兩種實驗條件，一種是被試分別利用三種策略解決所有問題，即選擇條件，有利于比較這三種加工策略的執行效率；另一種條件對被試的加工策略不做要求，讓被試用自己最熟練的加工策略，即不選擇條件，有利于比較被試的策略選擇。這樣的設計能夠避免以往實驗中選擇條件下因被試不習慣用主試要求的策略而造成加工效率低下對研究結果造成影響。結果發現，不選擇條件下，提取策略準確率最低，主要是因為任務解決超時，而分解和計數策略準確率相當。提取和計數策略在加法中比在減法中準確率更高，而分解策略在兩種任務中準確率相當。分解策略執行的速度比計數要快，而且分解策略在兩種任務中速度相當，但計數策略在加法中比在減法中要快。選擇條件下，計數策略準確率最低，提取和分解策略都有很高的準確率。因此，不同策略的使用會造成反應時的很大變化。

Siegler對小學一二年級學生的算術任務的加工策略的研究發現，任務中最小計數法、提取以及其他加工策略的使用比例分別為36％、35％、29％，當對加工策略不加區分而簡單地對所有問題進行回歸分析發現最小計數法能夠解釋74％的反應時變化。表明不對加工策略加以區分而簡單地對所有題目的反應時加以平均會造成錯誤的結論。因此，如果成人在解決簡單算術問題中也使用了多種加工策略，那么也會導致同樣的錯誤。因此，有必要驗證提取理論的假設是否成立，即成人是否主要通過直接提取策略解決簡單算術任務。

為了考察成人在算術任務中加工策略的使用，研究者采用口頭報告加工策略的方法。Geary和Wiley發現大學生報告在加法問題中有88％的題目利用提取策略，減法問題中有71％的題目利用提取策略。這些結果表明成人并不總是利用提取策略來解決簡單算術任務的。為了避免對所有反應時不加區分進行簡單平均造成錯誤結論，LeFevre在研究中采用結構理論的六個預測指標來解釋兩種條件下反應時的變化，一種條件是對所有問題的反應時不加區分的進行平均，一種是按照提取、計數和分解三種加工策略加以區分分別進行平均。結果發現，本來對所有問題反應時變化有很強解釋力的變量在分類條件下卻變小了。說明非提取策略的使用是反應時變化的重要影響因素。

Campbell在一項算術加工的跨文化研究中第一次綜合考察提取和非提取策略在高算術技能成人解決算術任務時出現的問題大小效應中的作用。實驗任務為基本加減乘除四則運算，采用三組被試：在中國接受基礎教育的中國人，中裔加拿大人及非亞裔加拿大人，其中中國被試自小受過嚴格的算術學習和訓練，所以算術技能相對較高，形成一個高提取策略使用組。結果發現，所有被試組在四種運算中都有問題大小效應出現。所有被試報告簡單乘法中很少使用非提取策略，在大的減法和除法任務中主要依靠非提取策略。證明了他的假設即問題大小效應有以下三個影響因素，一是小問題的提取過程比大問題更有效，二是小問題的非提取加工過程比大問題的非提取加工過程更有效，三是大問題任務解決中非提取策略的使用比小問題要更普遍。因此大問題任務中更低的提取效率和非提取加工效率以及更多采用非提取策略都會造成算術加工的問題大小效應。這些結果都表明非提取策略構成了成人解決簡單算術能力的主要部分，那些在簡單算術中主要依靠提取的情況可能只是極少出現的。即使是中國被試，其教育經歷提供了簡單算術的堅實基礎，也并沒有報告在所有基本數字加工中完全依靠記憶提取。

2.2 非提取策略在減法問題大小效應中的作用

上述有關問題大小效應的研究大都集中在對加法問題的研究上，對其他運算關注較少。減法作為加法的逆運算，那么減法的問題大小效應是否表現為相似的形式，非提取策略是否對減法問題大小效應有相似作用?

Seyler第一個對減法進行了系統的研究，詳細考察基本減法的加工特征。實驗中的減法任務為從0+0=0到9+9=18的逆運算，要求被試口頭報告每個題目所用的加工策略。結果發現減法任務出現了顯著的問題大小效應。但是，這種問題大小效應表現出與加法不同的形式，即隨著運算數的增大，10以內減法的反應時和錯誤率緩慢增加，從被減數11起反應時和錯誤率出現突然的大幅增加，然后反應時和錯誤率在此水平上又呈緩慢增加趨勢。統計問題的加工策略發現，總體上被試報告利用非提取策略的占15％(8％為計數策略，6％為分解策略，1％為其他加工策略)，其中小減法報告非提取策略使用為0.7％至7.7％，大減法報告非提取策略使用為28％至34％，因此，大減法中更多非提取策略的使用造成10以上減法的反應時和錯誤率比10以內減法要高很多。同時，進一步分析發現被減數從10變成11時，非提取策略的使用從2.8％到34％，這樣就容易理解被減數為10和11的減法之間出現的大的差異。進一步分析實驗中出現的問題大小效應，通過回歸分析發現被減數能夠解釋98％的反應時變化，可以認為減法的問題大小效應是隨被減數增加而出現的。

另外，LeFevre專門研究減法心算中加工策略的選擇，也得到近似的結果。為了檢驗傳統的口頭報告加工策略的方法是否能夠完全報告出加工策略的使用，他將被試分為兩組，一組為口頭報告，另一組不用口頭報告。然后在統計結果時分別采用描述性統計(如反應時，正確率，標準差)分析方法和ex-Gaussian統計分析方法(這種方法利用該分布中的統計量μ和t作為衡量問題大小與被試運算技能高低的相關的指標)來揭示被試所采用的減法加工策略。發現10以內減法提取策略達到82％，10以上減法非提取策略的使用達到58％。

上述研究表明減法任務解決中存在最優策略的選擇，10以內減法更多通過記憶提取獲得結果，隨著減法任務的增大，10以上減法則更多利用非提取策略來解決。因此，減法任務中出現顯著的問題大小效應。

2.3 非提取策略對加法和減法問題大小效應的不同作用

加法和減法互為逆運算，卻表現為不同的問題大小效應。盡管研究表明不同加工策略的使用在兩者的問題大小效應形成中都有重要作用，那么這種差異是如何產生的?

提取及非提取策略的執行效率是不一樣的，因此，兩種類型問題解決中不同的加工策略的使用也會造成不同的影響。Fuson曾在研究中對計數策略在兩種問題中的執行效率進行比較，認為計數策略在減法中比在加法中執行效率更低。成人常用的計數方法主要有兩種，且這兩種方法存在相互干擾，也成為制約減法解決效率的因素。這兩種方法的差異在于手指的輔助作用，在減法中，計數表現為倒數，且減數是多少就倒數幾次，為了保證倒數次數的正確性，在倒數的同時連續的伸手指，即倒數幾次就伸幾根手指。如8-3=?，方法一為從8開始計數，同時伸出一根手指，表明倒數一次，即8(一根手指)、7(兩根手指)、6(三根手指)，這三根手指表明已經倒數減數3所對應的三次，下一個數5即為結果。方法二為從8開始計數，然后倒數至7，這時才伸出一根手指，表明倒數一次，即7(一根手指)、6(兩根手指)、5(三根手指)，倒數三次，這時5即為結果。這兩種方法中由于手指記錄倒數次數的開始時間不一樣，選取結果的方法也不一樣。方法一從一開始就記錄倒數次數，所以在倒數完三次之后，下一個數字才是正確答案，而方法二是從第二個數字才開始記錄倒數次數，所以倒數三次的最后一個數字即為正確答案。所以在計數過程中這兩種方法容易混淆從而產生錯誤，從而使減法中計數策略的執行難度增大。

有關重復運算數效應的研究表明加法和減法問題解決中所用的各種加工策略的比重不同。對于加減乘除四種運算條件都出現的問題大小和運算數是否重復的交互作用，即重復運算數問題比不同運算數問題的大小效應要小，提取理論并不能解釋這種現象。Campbell及LeFevre通過實驗證明這種交互作用是由兩種問題采用的加工方式不同造成的重復運算數問題多采用直接提取，而不同運算數問題更多采用非提取的加工策略。通過改變問題呈現方式，即兩個運算數全是數字或是數字詞或是混合形式，發現詞匯呈現條件下大加法的重復運算數問題的反應時明顯增加，而大減法的重復運算數問題的反應時沒有受到明顯影響。而Campbell研究發現被試在解決不是數字呈現的問題時更多采用非提取策略。大加法問題比大減法問題更多采用提取策略，所以在詞匯呈現條件下非提取策略的使用造成反應時的增加。表明大減法問題比大加法問題更多利用非提取的加工策略。

另外，Seyler在分析結果時將使用非提取策略的題目剔除，只分析使用提取策略的題目，比較反應時差異，發現從被減數10的問題到被減數11的問題反應時仍然存在較大幅度的增加。研究者認為，一方面可能是因為被試并不能完全報告出所使用的策略。更重要的是可能反映了被試直接提取較大減法的答案，由于對結果不確定，然后再利用對應加法進行驗證，即提取后再驗證。這種策略的使用是建立在加減法互為逆運算的基礎之上的，由于兒童在學習之初通常都是先學習加法，然后是減法，因此，由于大減法問題難度相對較大，在解決時更容易增加對加法知識的利用。表現在反應時變化上就是減法的問題大小效應比加法更明顯。

3 問題大小效應的腦生理機制

到目前為止，有關問題大小效應腦生理機制的研究還很少。Nunez-Pena采用ERP技術對加法和減法的問題大小效應進行了系列研究。他采用的實驗任務為連加和連減運算。向被試依次呈現漸增或漸減某個固定數字的數字的序列，這個漸增或漸減的固定數字為自變量，設置三種水平來形成問題大小效應產生的條件。要求被試判斷最后一個數字是否正確，同時記錄倒數第二個數字生成的ERPs。

第一個實驗自變量為2、3和4三種水平，即+2、+3、+4與-2、-3、-4，分別考察加法和減法任務隨加數及減數增加的問題大小效應對應的ERP晚期正慢波的變化，考察兩種運算的問題大小效應是否存在差異。心算加工的ERP研究證實了心算任務引發的ERPs的晚期正慢波成分可作為心算加工中計算加工的生理指標，即計算強度越大，該正慢波的波幅越大，因此，該正慢波的波幅也可作為問題大小效應激活大腦網絡的標記。通過分析兩種運算中ERPs正慢波的波幅分別隨加數或減數增加而變化的趨勢，來考察兩種運算加工機制的差異。結果發現隨著問題大小效應的出現，兩種運算的正慢波波幅都有增加趨勢，且加法任務中波幅的改變與加數成線性增加，說明隨加數的增大，計算難度也相應增加；但減法任務中只發現-2分別與-3和-4之間正慢波波幅的差異，-3和-4之間并沒有差異，說明隨著減數的增大，雖然計算難度有所增加，但這種增加趨勢卻與加法不同，相鄰減法之間并沒有表現出難度的顯著差異。兩種運算的計算難度隨運算數字的增加表現出不同的增加趨勢，說明加法和減法的內在加工機制是不同的。

Nunez-Pena為了驗證加工策略在兩種算術任務的問題大小效應中的作用，進行了第二項ERP研究。自變量為2、4和6三種水平。他假設由于減法任務的解決主要采用非提取策略，那么隨著減法問題難度的增加，問題大小效應出現，正慢波也應顯示出相應波幅的逐漸增大。而加法中選擇偶數是因為這種運算相對來說自動化程度更高，主要依靠快速提取，所以不會有正慢波波幅的變化。結果證實了這種假設。加法中并沒有出現與問題大小效應相應的正慢波波幅的變化，但減法中卻存在晚期正慢波波幅的變化，在-4和-6時波幅比在-2時更大，但-4和-6之間卻沒有差異。這種現象在他的這兩個研究中都有發現，正慢波波幅的變化沒有隨減數增加而表現出同步增加，表明減法問題大小效應并不隨減數增加表現出一致的增加。

減法在這兩個研究中表現出一致的結果，即隨著減數的增加晚期正慢波表現出波幅的增加趨勢，表明非提取策略在減法中的應用。但加法在第一個研究中表現出的正慢波波幅隨加數增加的漸增趨勢在第二個研究中卻消失了。研究者并沒有對這種現象進行進一步的討論。盡管我們還不能據此推斷加工策略在加法中的使用，但可以肯定的是加法和減法中各種加工策略的使用頻率是不同的。

4 總結與展望

綜上所述，問題大小效應的研究最初從提取加工的視角，只關注影響提取過程的因素對問題大小效應形成的作用。隨著研究的深入，研究者發現不論簡單加法和減法，成人都是使用混合策略而不是某種單一策略。于是開始關注如計數、分解這樣的非提取策略在問題大小效應形成中的作用。認為大問題任務中更低的提取效率和非提取加工效率以及更多采用非提取策略都會造成算術任務的問題大小效應。由于加法和減法中使用的各種加工策略的比重不同，所以表現為不同的問題大小效應。

另外目前研究中仍然存在一些問題。第一，問題大小效應普遍存在于加減乘除四種基本運算類型中，而已有的相關文獻及研究成果主要集中在對加法問題的研究，對其他運算關注較少。我們將已有的少量減法問題的研究與加法進行比較發現兩者在內在加工機制上的差異。因此，通過對四種基本運算的比較可以使我們對算術加工的內在機制有更豐富的認識。

第二，研究手段比較單一，主要是行為研究和少量的ERP研究，目前還沒有出現相關的功能成像研究。因此，我們還不能對參與運算加工的神經網路有更清晰的認識。如對減法的研究中，正慢波波幅的變化不能完全反映出隨難度增加，除計算強度增加之外的其他認知活動的參與，因此，我們不能對正慢波波幅表現出的與減數增加不一致的增加趨勢做出合理解釋。Kong進行的fiVIRI研究發現隨著任務難度的增加，比起無進位加法和無借位減法，進位加法和借位減法除了有頂葉激活之外，還有兩側額中回和扣帶回的激活，而額葉有重要的中央執行功能。因此，我們可以推斷，隨著減數的增加及難度的增加，可能會有額葉參與注意分配等加工。因此，借助功能成像手段可以使我們的研究更深入。

第三，研究中采用的實驗任務以及實驗材料還沒有達成一致。首先對大問題與小問題的劃分標準就存在幾種不同的說法，如加法研究中，一種分類方法是加數之和是否大于10，而另外一種方法是兩個加數都不大于5的為小問題，兩個加數都大于5的為大問題。而大小問題的劃分會直接影響采集到的數據，得出的結論也會不一樣。另外，在減法研究中，還沒有形成一致的減法任務，如Seyler采用的是個位數加法的逆運算，而Nunez-Pena則只關注減數的變化。因此，我們在分析研究結果時應該考慮研究任務的性質和特點。因此，該領域的研究還有待于研究方法的不斷完善。