論優化理論在市場經濟中的應用
2008-01-01 00:00:00陳曉東
現代商貿工業 2008年4期
摘 要：在罐體材質以及罐內容積一定的前提下，對飲料罐的最優設計問題進行了研究，分別考慮了罐體材質厚度一致與不一致兩種情況，并結合國內外飲料罐市場發展的新態勢，對廠家提出了一些建設性的意見。
關鍵詞：飲料罐；優化設計；技術；最優尺寸
中圖分類號：F22文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）04-0233-01
1 厚度一致的飲料罐最優化設計
不妨先選取幾何中最常見的正方體、球體、圓柱體作為研究對象，當容積一定時，很容易得到：正方體的表面積>圓柱體的表面積>球體的表面積。于是有人考慮是否將飲料罐的形狀設計成球型，從理論上說，把飲料罐設計成球型是最優的，但實際上，幾乎不存在形狀全為球體的飲料罐，其原因主要有以下幾點：
(1)球體外包裝的體積太大；(2)不便于攜帶和擺放；(3)球體不便于運輸；(4)工藝要求較高，耗材較大。
故此可考慮把飲料罐做成上部為球冠下部為圓柱的形狀，這樣的設計一方面考慮到球體飲料罐的不方便運輸、儲存等多方面的因素，另一方面也考慮到在同等容積下，圓柱體飲料罐比球體飲料罐要多用材料，所以將兩者完美的結合。由于考慮了厚度，故應以所用材質體積V作為優化對象。假設：①飲料罐所用材質厚度均一致；②r1為圓柱體底面半徑；③b為飲料罐材質厚度；④h1為圓柱體的高；⑤h2為球冠的高。外殼體積s應為上球冠狀外殼的體積s1和下圓柱體狀外殼的體積s2兩部分之和：
利用lingo8.0編程可得該飲料罐的最優尺寸比：球冠高h2與圓柱體的高h1之比約為6：49。并且，所用材料的體積比純圓柱體的飲料罐略小，其用材的體積比約為27.8：29。現在再來考慮飲料罐內部液體的壓強對底部的影響，從而找出壓強對底部的設計要求。大家都知道橋梁之所以要設計成弓形的，就是為了增強橋梁的承受能力。同理可把這樣的思想用在飲料罐底部設計上，把飲料罐底部設計成向上凸的，但凸度不能太大。利用材料學相關內容，可簡單解釋如下：
當受到力F作用時，截面必定發生形變彎曲，上層發生伸長，中間的一層既不收縮也不伸長，稱為中性層。中性層與截面的交線為中性軸（圖中ab線），而在截面的每一質點，均受到一種力矩，使之彎曲，這種力矩稱為彎矩，其大小等于在這截面左邊（或右邊）所有外力對于截面中心O點的力矩代數和。而整個截面對于中性軸的力矩稱為慣性矩，通過微積分的計算，可知：F=My/J，其中，M為彎矩，y為該點到中性軸的距離，J為慣性矩，F為該點受到壓力。由該式可知，截面上的最大壓力應在彎矩最大的地方，并且在距中線軸最遠處。由于形變程度由中性層（為0）向兩側依次遞增（兩側最大），根據胡克定律及牛頓第三定律可知，壓力在兩側最大，中性層為0。這樣說明有相當一部分材料沒有充分發揮它的作用。如果改變形狀，將靠近中性軸處的材料移到兩側，使得截面上的大部分材料都能承受較大的壓力，這樣就能增大它的負荷。由于立體曲面在同等面積的前提下，截面高度越大，自然機械強度也最大。 即使承受壓力的能力越強，但底部向上凸的高度也不能太大。可以通過計算得出剛能承受飲料罐內部液體壓強的高度，而這里只需把底部稍微向上凸，就足以承受飲料罐內部液體的壓強。
2 厚度不一致的飲料罐最優化設計
以啤酒罐為例，稍加注意就不難發現罐體各部分厚度的差異。通過實際測量可以證實：罐身和罐底較薄，罐頂最厚。為簡化討論，忽略焊接所用的材料，把飲料罐近似看成一個上部為小圓臺下部為圓柱體的形狀，如圖所示：
下面討論當飲料罐內容積一定時，如何使飲料罐所用材料體積最小。不妨假設：①除頂蓋外，其他部分的厚度相
同；②d為飲料罐其他部分的厚度，則頂蓋的厚度為xd（x為頂蓋厚度的待測參數）；③r1為圓臺的半徑；④h1為圓柱體的高；⑤r2為圓柱的半徑；⑥θ為圓臺軸截面的底角。
飲料罐所用材料的體積是上圓臺狀的外殼體積s1和下圓柱體狀的外殼體積s2兩部分之和：
利用lingo8.0編程可得該飲料罐的最優尺寸比：圓臺上表面半徑和下表面半徑之比為10:11；上圓臺的高和下圓柱的高之比為9:50。
以上對飲料罐的形狀和尺寸兩方面的優化作了一定的探討，對飲料罐的設計、生產具有一定的參考作用。但同時也存在一些不足：比如忽略了材料的接縫折邊以及切割損耗；忽略了制造中工藝上必須要求的折邊長度等其他一些因素。實際上，一個好的飲料罐生產廠家，要想在錯綜復雜的國內外市場中站穩腳跟，就必須具有長期的戰略眼光和與時俱進的精神。在生產過程中，僅僅從優化飲料罐的形狀和尺寸這兩方面去設計還是不夠的，還應考慮到大眾的消費要求、飲料罐的環保、回收和再利用等問題。眾所周知，飲料罐的蓋子被拉開后就無法重新密封，必須一次性用完，這給消費者帶來了不便。為此，日本的幾家公司開始把旋轉式瓶蓋武裝到飲料罐上。目前，隨著這種新式飲料罐在全日本逐漸流行，消費者也日益表現出對旋轉式瓶蓋的鐘愛，可以放心的喝上一口，然后擰上蓋子放回包里，這是老的飲料罐無法做到的。從滿足消費者的要求方面來看，國外廠家已經走在了前列。在我國，存在大量的鋁制飲料罐，隨著國際鋁價的不斷攀升，國內鋁制飲料罐的產量已遠遠超過了需求，我國25家鋁制飲料罐企業中已有3家先后倒閉。而且鋁制飲料罐容易對環境造成巨大的污染，再加上廢舊飲料罐的回收技術在我國發展較弱這樣一種背景下，國家已出臺相應政策，明確表示不再批準新建鋁制飲料罐生產線。那么，對于廠家來說，如何才能夠獲得更好的生存環境，獲得更好的回報，這就是一個擺在面前的現實問題。
參考文獻
［1］李云凱.金屬材料學［M］．北京：北京理工大學出版社，2006．
［2］馬知恩．工科數學分析基礎［M］．北京：高等教育出版社，1998．
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
