基于不同分布假設的ＦＩＧＡＲＣＨ模型對上證指數波動性的比較研究

摘 要：采用FIGARCH(1，d，1)模型對上海股票市場指數的波動性在四種不同的分布假設(正態分布，廣義誤差分布， 學生t分布，非對稱學生t分布)下進行了度量和比較研究，目的在于揭示分布假設對FIGARCH模型預測能力的影響。研究結果表明，使用厚尾分布假設(廣義誤差分布，學生t分布)提高了模型的估計和預測績效，能更好地刻畫上證指數的尖峰厚尾特征，但引入非對稱學生t分布并未能進一步提高模型預測能力。

關鍵詞：FICARCH 模型；波動性；厚尾分布；非對稱學生t分布

中圖分類號：TP29文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）04-0131-02

1 背景介紹

為了研究風險的時變特性， Engle (1982) 開創性地提出了條件異方差自回歸過程(ARCH) 概念，對其進行了直接擴展， 形成了條件異方差自回歸(GARCH) 模型。 GARCH 模型很好地刻畫了金融時間序列的“波動集群”(volatility clustering) 特征， 得到廣泛應用。FIGARCH模型是Baillie、Bollerslev、Mikklson 在Engle的ARCH模型(1982年)的基礎上于1996年提出來的，來考慮股市或匯率收益序列波動中所發現的長期記憶現象。它的主要應用領域是金融資產， 包括證券、期權、利率等方面。該模型通過采用分數差分算子來替換GARCH模型中的一階差分算子， 使其比GARCH或IGARCH模型更具有適應性，比較擅長于反映這類金融資產的異方差特性以及準確地刻畫金融波動的長記憶特征， 從提出至今， 它已被許多人成功地應用到證券市場及匯率市場，尤其在分形市場假說理論（FMH）的波動性建模研究中使用最為廣泛。

金融時間序列另一特征是“尖峰厚尾”(excess kurtosis and fat tail)， 但基于正態分布的假設卻未能予以刻畫。Bollerslev (1987) 等人使用厚尾Student-t 分布， Nelson( 1991) 等人則建議使用Generalized Error Distribution (GED) 分布。鑒于此，可以假定殘差序列服從正態分布、學生t 分布、廣義誤差分布和非對稱t 分布。本文在這四種分布假設下， 比較了FIGARCH 模型對上證指數波動性的預測， 目的在于揭示分布假設對指數波動性測算的影響。

2 FIGARCH模型介紹

文獻在GARCH模型設定的基礎上，給出了反映長記憶性最常用的FIGARCH (p，d，q)模型的表達式: 

3 模型的估計方法

模型中條件殘差分布的選擇對于模型的擬合效果和解釋能力也有很大的影響。研究表明金融時間序列大都呈現尖峰、肥尾的特征，并且分布可能是非對稱的。因此借鑒文獻 中做法在考慮常用的正態分布的同時，引入學生t 分布、廣義誤差分布、非對稱t 分布，并采用極大似然法分別進行參數估計。選擇的條件分布不同，則模型最大似然估計的似然函數也不相同，具體形式如下所示：如果假定殘差呈條件正態分布，則其對數似然函數為:

對于任意一個FIGARCH 模型而言，由于需要估計的參數很多，過程也比較復雜，因此首先有必要對其進行檢驗，其中最重要的工作是檢驗序列所受到的 ARCH 影響是否顯著，即方差所受沖擊的影響是否顯著，通常采用LM檢驗法。對ARCH 類模型參數估計通常可以采用擬極大似然估計方法（QMLE），即假設序列滿足條件正態分布的前提下對參數進行估計。而FIGARCH模型經過變換可以轉化為GARCH模型，因此對其參數進行估計時也可以運用QMLE方法。

4 FIGARCH模型對波動的估計和預測結果分析

根據國內外文獻對長期記憶分析可知，波動長期記憶現象和波動機制切換密切相關。為了排除預測期內不可能出現的波動機制的干擾和影響，選用了交易機制相對比較穩定的1999年1月1日至2006年7月31日的上證指數數據，并且預留最后一年的數據做預測之用。根據對數據的描述性統計結果可知，這些數據呈現顯著的“尖峰厚尾”特性。采用擬極大似然估計(QMLE) 方法，取均值方程為:rt=μ+εt，對FIGARCH(1，d，1) 進行估計，并且殘差的條件分布分別取正態分布、廣義誤差分布、 學生t分布、非對稱t 分布，估計結果見表1。

注:表中參數下面小括號內的數值為采用QMLE估計參數的t統計量，lnL 為對數似然函數值，AIC為Akaike 信息準則，B3為模型估計殘差的偏度，B4為模型估計殘差的峰度。

從表1中我們可以發現:

（1）FIGARCH (1，d，1) 模型估計的分整差分程度d都在0.4～0.5 之間，這說明在該樣本期間，我國股市的波動的確具有強烈的長期記憶特征。

（2）考慮長期記憶的FIGARCH 模型時， 估計的α和β之和明顯減少。采用最大似然準則和最小赤池準則(AIC) 進行模型擬和優劣判別， FIGARCH模型效果較好，這表明在研究我國股市波動特征的過程中，由于強持續性的存在，采用具有分數積分FIGARCH 模型能更好地反映股市波動的真實情況。

（3）不同條件分布擬合效果從好到壞依次為: 非對稱學生t 分布、學生t分布、廣義誤差分布和正態分布。而模型預測效果由強到弱依次為:廣義誤差分布、非對稱學生t 分布、學生t分布和正態分布。由結果可以看出，正態分布的預測效果是最差的，這與股市中實際收益率呈現顯著“尖峰厚尾”特征直接相關，收益率的“尖峰厚尾”特征相當大地偏離了正態分布。由于t 分布較之正態分布具有更寬的尾部， 因而能更好地描述收益序列的厚尾性問題。在收益率分布函數對我國股市進行波動性預測時，廣義誤差分布和非對稱學生t 分布是較好的選擇。

（4）非對稱學生t 分布假設并未能進一步提高FIGARCH模型預測能力，我們認為原因可能是1996年2月

16日實行的漲停板制度弱化了分布偏度統計特征，限制了日收益率的最大值和最小值，對標準差、偏度、峰度等統計指標，從而對市場風險，都會產生一定影響。

5 結論

本文首先引入了FIGARCH模型，并給出了具有不同分布特征的FIGARCH 模型參數估計的概率密度。采用上海證券市場的指數數據，考察了FIGARCH 模型在不同條件分布下對市場波動性的擬合效果和預測能力。實證結果表明，不管是模型擬合效果還是預測能力方面，廣義誤差分布的分布函數更適合我國股市波動特征的描述。因此，考慮了長期記憶特征的FIGARCH 模型應用到與波動密切相關的領域之中，如衍生工具定價、資產定價等等，也將起到比較好的作用。盡管采用學生t 分布和GED 分布能夠比較好地捕捉金融時間序列中常見的厚尾現象，但是它們屬于對稱分布，無法捕捉序列的不對稱性。然而偏度對于一些金融實際應用也是相當重要的，如資產定價模型、組合選擇、期權定價等。因此可以考慮將非對稱分布(如非對稱學生t分布)引入到FIGARCH 模型框架中，因為這一分布同時具有厚尾和偏斜的特征，曾被引入到GARCH模型中。Lambert和Laurent(2001)發現非對稱學生t 分布比對稱分布更適合NASDAQ指數建模，因此非對稱學生t 分布分布可能更適合收益率分布偏度較大的金融市場。

參考文獻

［1］Baillie R T，Bollerslev T，Mikkelsen H O. Fractional integrated generalized autoregressive conditionalheterosked asticity［J］. Journal of Econometrics， 1996， 74: 3～30.

［2］Engle， R. F.， Autoregressive Conditional Heterosked asticity with Estimates of the Variance of U. K. Inflation［J］， Econometrica，1982， 50， 987~ 1008.

［3］張世英， 樊智. 協整理論與波動模型—— 金融時間序列分析及應用［M］. 北京: 清華大學出版社，2004.［4］杜子平， 張世英. 向量GARCH 過程協同持續性研究［J］. 系統工程學報， 2003， 18 (5) : 385～ 390.

［5］許啟發， 張世英．向量FIGARCH 過程的持續性［J］. 系統工程，2005，23 (7).

［6］李克娥，陳圣滔. 基于不同分布假設的GARCH 模型對上證指數風險值預測能力的比較研究［J］. 太原師范學院學報(自然科學版)，2006，(6).

［7］高鐵梅. 計量經濟分析方法與建模——Eviews應用及實例［M］. 北京: 清華大學出版社，2006.

［8］Lambert， Laurent， Modeling Financial Time Series Using GARCH-Type Models and a Skewed Student Density ［J］，Discussion Paper， 2001.

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