“數理結合”解物理題例析
2008-01-01 00:00:00任亞陳鴻
物理教學探討 2008年5期
摘要：在物理的學習與教學過程中，數學是其中的必備工具。本文主要就一些中學物理常用的數學知識作一些必要的闡述。
關鍵詞：物理過程；數學知識；極值；圖像
中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2008)3(S)-0048-2
在高考考試說明中特別強調利用數學工具來解決物理問題。考查學生應用數學知識處理物理問題的能力，是高考的難點與熱點。歷屆高考的物理試卷分析都得出考生在這一問題上的失分率很高，因此要引起足夠的重視。下面就一些常見的應用數學的例子加以分析。
應用數學知識處理物理問題首先應正確選用相關的數學知識，如比例、數列、幾何、三角函數、不等式、韋達定理、解析幾何和參數方程等數學知識。例如在求物理極值時，可從物理過程的分析著手，也可從數學角度思考，如靈活運用二次三項式的性質求極值，用二次函數判別式求極值，用三角函數求極值，用不等式法求極值，用圖像求極值等等。
例1 小球從h0高處自由下落，每與地面相碰一次速度就減小為碰前的k倍（k<1），求小球從下落到停止所用的總時間。（碰撞時所用的時間忽略不計）
析與解 本題考查正確運用數學中的數列分析運動學相關問題的能力。要求小球所用的總時間，只需依據運動學公式將小球每碰一次在空中運動的時間列出，求和即可。
球從h0高處下落到地面時的速度
v0=2gh0，運動時間t0=2h0g。
第一次碰撞后小球的速度變為v1=kv0
第一次碰撞后至第二次碰撞前小球作豎直上拋運動，這一過程小球所用時間為
t1=2v1g=2k2h0g。
第二次碰撞后小球的速度變為
v2=kv1=k2v0。
第二次碰后至第三次碰撞前小球繼續作豎直上拋運動，這一過程小球所用時間為
t1=2v2g=2k22h0g。
同理可推得，第n次碰后小球的速度變為
vn=2kn2h0g。
由此可知，小球從下落到停止所用總時間
t=t0+t1+t2+…+tn=2h0g+2k2h0g+2k22h0g+…+2kn2h0g=2h0g+22h0g(k+k2+k3+…+kn)。
其中括號內為一個等比數列，由數學等比數列求和公式可得Sn=k(1-kn)1-k。
當n→∞時，Sn=k1-k，
因此t=2h0g+22h0g·k1-k=1+k1-k2h0g。
此題關鍵是找出小球第n次碰撞后在空中運動的時間tn的表達式，看看tn的表達式有何規律(此題中符合等比數列規律)，然后利用數列的有關知識求得最后結果。
例2 如圖1，質量為m的滑塊，從半徑為R的光滑1／4圓弧軌道頂端無初速度下滑，試求滑塊在下滑的過程中在何處重力有最大功率，其值為多大?
析與解 本題是考查運用三角函數求物理極值的能力。設滑塊與軌道圓心O的連線與豎直方向成θ角時，小球具有最大豎直分速度，即具有重力最大功率。設小球運動到該處時的速度為v，如圖1，由機械能守恒定律有
mgRcosθ=12mv2，
則有：v=2gRcosθ。
即vy=vsinθ=2gRcosθ·sinθ。
設x=cosθ·sin2θ，
則x2=cos2θ·sin4θ
=12·2cos2θ·sin2θ·sin2θ。
根據a+b+c3≥3abc，有
2cos2θ+sin2θ+sin2θ3≥32cos2θ·sin2θ·sin2θ，
32cos2θ·sin2θ·sin2θ≤2(cos2θ+sin2θ)3
=23，
2cos2θ·sin2θ·sin2θ≤(23)3=827。
當a=b=c即2cos2θ=sin2θ時，其值最大，所以tanθ=2，
θ=arctan2。
x2max=cos2θ·sin4θ=427。
即xmax=427=239。
當θ=arctan2時，
vy最大，vymax=2gRx=2343Rg，
P=mgvy=2343mgRg。
本道題目巧用平均值不等式a+b+c3≥3abc來解，使復雜的函數關系簡化為sin2θ+cos2θ=1的關系，解法簡單實用。
例3 為了研究靜電除塵，有人設計了一個盒狀容器，如圖2所示。容器側面是絕緣透明的有機玻璃，它的上下底面是面積S=0．04m2的金屬板，間距L=0．05m。當連接到U=2500V的高壓電源正負兩極時，能在兩金屬板間產生一個勻強電場，現把一定質量均勻的煙塵顆粒密閉在容器內，每立方米有煙塵顆粒1013個。假設這些顆粒都處于靜止狀態，每個顆粒的帶電量為 q=+1．0×10-17C，質量為m=2．0×10-15kg，不考慮煙塵顆粒之間的作用力和空氣阻力，并忽略煙塵顆粒所受重力，求合上電鍵后，經過多長時間容器中煙塵顆粒的總動能達到最大?
析與解 根據動能定理：電場力做功等于動能的增量。
設煙塵顆粒下落距離為x，則當時所有煙塵顆粒的總動能
Ek=nS(L—x)·mv2／2
=nS(L-x)·qUx／L。
根據二次函數的性質，當x=L／2時Ek達最大，而x=at21／2，故t1=0．014s。
本題是利用一元二次函數的性質來求解，過程比較簡單。
有些物理問題可以依據給定的約束條件，通過作圖和簡單的計算來求解，這種方法只要正確畫出圖示或圖像，結果便一目了然。
另外，物理圖像能形象表達物理規律，直規地描述物理過程，所以物理圖像是處理物理問題的重要手段之一。用圖像法解題要注意圖像的“坐標原點”、“斜率”、“面積”、“截距”的特定意義，能正確“識圖”、“畫圖”和“用圖”。
例4 如圖3所示，小球被兩根細線OA、OB懸掛在空中，細線OB水平，兩細線所受拉力大小分別為T1和T2。如果將OA線的懸點移到A′，OB線方向不變，則兩根繩上的拉力大小的變化情況如何?
析與解 如圖4所示，先畫出小球的受力圖，重力G、拉力T1、拉力T2。根據平行四邊形定則和三角函數關系：假設細線OA與水平方向的夾角為α，則T1=G／cosα，T2=Gtanα。當懸點向左移動時，α角增大，cosα減小，tanα增大，因此，T1和T2均增大。
例5 一只老鼠從洞口爬出沿一直線運動，其速度大小與其離開洞口的距離成反比。當其到達距洞口為L1的A點時速度為v1。若B點離洞口的距離為L2(L2>L1)，求老鼠由A運動至B所需的時間。
析與解 本題考查正確運用圖像解決物理問題的能力。
本題中老鼠的速度隨位移的變化是非線性的，不能用運動學公式求解，應考慮其他方法例如圖像法來求解。我們熟知的v-t圖中斜率及圖線所圍的面積都具有明顯物理意義，所以想通過圖像法求t。除了v-x圖外，還可以畫出v-1x圖和1v-x圖，圖中的曲線與橫軸所圍面積的數值正是老鼠經過一定位移的時間。若取一條窄條，其寬度Δx(Δx→0)很小，此段位移所需時間也很小(Δt→0)，可以認為在如此短的時間內，老鼠的速度改變很小(Δv→0)，；因而此窄條的面積為S=Δx·1v=Δxv，這正是老鼠經位移Δx所需的時間。所以如圖陰影部分面積即為A點到B點所用的時間。
由已知條件及幾何知識可得
t=S陰=（1v1+1v2）·（L2-L1）2。
這就是圖中陰影部分面積，為A點到B點所用的時間。
本題巧妙地采用1v-x圖像，從而使它的“面積”能夠表示運動的時間，同時使速度的倒數與距離成正比，使圖像為直線，使原本較復雜的運動求解變得容易。
綜上可看出，一道物理題目的解決，離不開一些必要的數學工具，有的還需要一些數學的推理方法，如歸納法等。還有一些題目要用到數學上的幾何知識，如帶電粒子在復合場中運動時，圓心的確定，半徑的求定等等。總之，數理是不分家的。
(欄目編輯陳 潔)
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
