“拉密定理”在力的放大器中的應(yīng)用

解答物體受力平衡問(wèn)題的方法較多，在此我們簡(jiǎn)介拉密定理的應(yīng)用。拉密定理是正弦定理變形推導(dǎo)而出，它無(wú)需構(gòu)建力的三角形，只要能正確畫(huà)出受力示意圖，找出力之間的夾角就可求解。下面例舉運(yùn)用拉密定理速解生活中力的放大器問(wèn)題。

1 應(yīng)用于解答電梯鋼繩拉力問(wèn)題

例1 帶動(dòng)電梯運(yùn)動(dòng)的金屬繩中的張力常常需要檢測(cè)，實(shí)際生活中，檢測(cè)員不能到繩的自由端去直接測(cè)量。某公司為此制造出了一種能測(cè)量繩子張力的儀器，工作原理如圖1所示，將相距為L(zhǎng)的兩根固定支柱A、B垂直于金屬繩水平放置，在AB中點(diǎn)用一可動(dòng)支柱C向上推動(dòng)金屬繩，使繩在垂直于AB的方向豎直向上發(fā)生一個(gè)偏移量d(dL)，這時(shí)儀器測(cè)得繩對(duì)支柱C豎直向下的作用力為F，試用L、d、F表示這時(shí)繩子的張力T。

解析 由于是緩慢拉金屬繩，故可認(rèn)為點(diǎn)C受力平衡。分析C點(diǎn)受力，其受力圖如圖2所示。

由拉密定理有：Fsin∠ACB=Tsin∠ACF，即Fsin2θ=Tcosθ，所以T=F2sinθ。

根據(jù)三角形的有關(guān)知識(shí)可解得：T=FL4d。

2 應(yīng)用于解答簡(jiǎn)易“千斤頂”問(wèn)題

例2 一種簡(jiǎn)易“千斤頂”，如圖3所示，一豎直放置的輕桿由于限制套管P的作用只能在豎直方向上運(yùn)動(dòng)。若支桿放一質(zhì)量為M=100kg的物體，支桿的下端通過(guò)一與桿固定連接的小輪放在傾角為θ=37°斜面體上，并將斜面體放在光滑水平面上，現(xiàn)沿水平方向?qū)π泵骟w施以推力F，為了重物頂起F最小為多大？（小輪摩擦和質(zhì)量不計(jì)，g=10m/s2）

析與解 把重物頂起，斜面體是緩慢推進(jìn)，故可認(rèn)為豎直輕桿處于平衡狀態(tài)，分析其受力如圖4所示，據(jù)拉密定理有：

F′sin（180°-37°）=Mgsin（90°+37°）解得：

F′=Mg·tan37°=3Mg4=750N，據(jù)牛頓第三定律有：F′=F即為所求。

例3 在微型汽車的隨車工具中，有一種替代“液壓千斤頂”的簡(jiǎn)單機(jī)械頂，其結(jié)構(gòu)如圖5所示 ，AB、BC、CD、DA為四根相同的鋼管，A、B、C、D四點(diǎn)用鉸鏈相連接，BD為一螺栓，其螺母在D點(diǎn)外側(cè)，此頂在工作時(shí)，不斷擰緊D外的螺母，使BD間距離變小，從而使AC距離增大，以達(dá)到頂起汽車一個(gè)輪子的目的，若某微型汽車重1.2t，在修理汽車的一個(gè)輪胎時(shí)，將汽車的一個(gè)輪子頂起，在輪子剛好離地時(shí)，AB、BC成120°角，求此時(shí)鋼管AB和螺栓BD作用力各約為多大？（g取10m/s2）

解析 因?yàn)橹粚⑵嚨囊粋€(gè)輪子頂離地面，故此簡(jiǎn)單機(jī)械頂只承受汽車的1/4重力，即F=3 000N，分析A點(diǎn)受力如圖6所示。由拉密定理有：Fsin60°=TABsin150°得：

TAB=1 0003N。

分析B點(diǎn)受力如圖7所示，由拉密定理有：TABsin120°=TBDsin120°得：TBD=TAB=1 0003N。

3 應(yīng)用于解答“滾珠式力放大器”問(wèn)題

例4 有一種機(jī)械裝置叫做“滾珠式力放大器”，其原理如圖8所示 ，斜面A可以在水平面上滑動(dòng)，斜面B以及物塊C都是被固定的，它們均由鋼材制成，鋼珠D置于ABC之間。當(dāng)用水平力F推斜面A時(shí)，鋼珠D對(duì)物塊C的擠壓力F就會(huì)大于F，故稱為“滾珠式力放大器”。如果斜面A、B的傾角分別為a、β，不計(jì)一切摩擦力以及鋼珠自身的重力，求這一裝置的力放大倍數(shù)（即F′與F之比）。

解析 分析斜面A的受力如圖9所示。由拉密定理有：Fsin（180°-α）=F′Nsin90°，解得：

F′N=Fsinα。又分析鋼珠D受力如圖10所示，由拉密定理有：

F′sin［90°-（α-β）］=F′Nsin［180°-β］，得：

F′=cos(α-β)sinβF′N=cos(α-β)sinαsinβF，

故有：F′F=cos（α-β）sinαsinβ=cotαcotβ+1。

4 應(yīng)用于解答拔樁機(jī)械裝置問(wèn)題

例5 如圖11所示為，當(dāng)用大小為F且方向豎直向下的作用力拉圖中E點(diǎn)時(shí)，繩CE被水平拉直，繩CA被拉為豎直，繩DE與水平方向的夾角為α，繩BC與豎直方向的夾角為β，求繩CA拔樁的作用力的大小。



依題意，分析E點(diǎn)受力如圖12所示，據(jù)拉密定理有：Tsin（90°+α）=Fsin（180°-α），解得

T=cosasinαF=Fcotα。

分析C點(diǎn)受力如圖13所示，據(jù)拉密定理有：F′sin(90°+β)=T′sin（180°-β)，解得F′=cosβsinβT′。

又因?yàn)門=T′，故F′=F·cotαcotβ。

(欄目編輯黃懋恩)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。