固定利率住房抵押貸款定價研究

摘 要：本文采用最小二乘回歸蒙特卡洛模擬對固定利率住房抵押貸款進行定價研究。模型結合當前我國住房抵押貸款合同的具體條款和提前償還特征，分析了住房抵押貸款的違約期權風險和違約概率，運用無風險套利原理得到住房抵押貸款的市場公允利率。結果表明，該模型可以為商業銀行的房貸利率定價提供參考依據。

關鍵詞：住房抵押貸款；蒙特卡洛模擬；違約風險

中圖分類號：F830 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192(2008)03-0050-05

The Valuation of Mortgage Contract Rates Using LSM

CHEN Yong1，HE Xue-hui1，2

(1. College of Finance，Hunan University，Changsha 410079，China；2. Credit Center，Hunan University，Changsha 410079，China)

Abstract：This paper presents a numerical procedure to price fixed-rate mortgage loans using least square Monte Carlo simulation. Given the pattern of mortgage prepayment rates，we calculate the value of mortgage default option. The non-arbitrage theory is then applied to price mortgage contract rates. The results match with the empirical data well.

Key words：mortgage loans；Monte Carlo simulation；default risk

1 引言

最近，建行、農行和光大銀行相繼推出了固定利率住房抵押貸款(Fixed-Rate Mortgage，FRM)。FRM的合同利率在整個貸款存續期內固定不變，不隨市場利率的變動而變動。FRM可以幫助借款人鎖定借款成本，規避利率波動風險，滿足市場對房貸產品的差別化和個性化的需求。我國當前的FRM通常都有關于提前償還的限制條款，FRM的主要風險是抵押物價值波動帶來的違約風險。因此，分析FRM包含的違約風險，可以為我國FRM及其證券化產品的定價提供參考依據。

國外的相關研究表明，住房抵押貸款的主要風險是提前償還風險和違約風險。一般說來，如果市場利率下降，借款人可能通過借新還舊，降低貸款的利息成本。由于貸款利率是事先確定的，一旦市場利率低于貸款利率，借款人的提前償還行為將使貸款人面臨再投資風險。因此，住房抵押貸款的提前償還風險具有看漲期權的性質。同樣，如果房價下跌并且低于貸款余額，借款人將理性地選擇違約，并放棄作為抵押物的住房以避免更大損失，因此，住房抵押貸款的違約風險具有看跌期權性質。

國內外學者主要集中于研究借款人提前償還和違約行為的決策模型，并運用期權理論進行定量分析。早期的定價模型只考慮住房抵押貸款的提前償還風險而不考慮違約風險。20世紀80年代以來，相關文獻開始運用期權理論分析住房抵押貸款的違約風險。由于這些模型只考慮利率或房價對住房抵押貸款價值的影響，所以被稱為單因子模型。20世紀90年代以來，國外學者建立住房抵押貸款定價的雙因子模型，同時分析住房抵押貸款的提前償還風險和違約風險，并運用數值分析方法對模型進行定量分析。為了更好地擬合提前償還與違約行為的經驗特征，后續研究從兩方面進行擴展：一是在期權定價模型中引入交易成本和時滯等市場摩擦因子；二是運用歷史數據建立提前償還和違約行為的計量模型(econometric approach)，然后對住房抵押貸款的現金流進行估計。這種方法也被稱為簡化模型(reduced-form approach)。

Foster Van Order^[1]較早地運用了期權理論對住房抵押貸款的違約風險進行定價分析。此后，Cunningham Capone^[2]和Dennis et al.^[3]對違約期權定價模型進行了擴展。國外經驗表明，房價和貸款成數(Loan to Value，LTV)是影響違約風險的主要因素。Capozza et al.^[4]的實證研究表明，降低貸款成數可以有效地減少違約風險；反之，如果貸款成數較高，即使貸款人加強對借款人的資信審查，在控制違約風險方面的作用也十分有限。實踐表明，房價下跌時，住房抵押貸款的違約風險顯著上升。1991年，日本房地產泡沫破滅，日本房價15年持續下跌，直接導致了大量的銀行不良資產。

在數值方法方面，國內外學者主要運用有限差分法和二叉樹法對實物期權進行數值求解。針對住房抵押貸款的提前償還和違約風險的美式期權性質，國外的文獻主要采用有限差分法進行數值分析，如Kau et al.^[5]和Azevedo et al.^[6]。在國內定價研究中，較為廣泛地應用了數值分析方法對實物期權進行定價研究，但主要集中于可轉換債券、公司債券和傳統信貸產品的定價分析，沒有考慮住房抵押貸款的分期付款和提前償還特性，例如，龔樸、趙海濱和司繼文^[7]，范辛亭、方兆本^[8]分別應用有限差分法和二叉樹法對可轉換債券進行定價。

我們將采用最小二乘回歸蒙特卡洛模擬方法(Least Square Monte Carlo Simulation，LSM)分析住房抵押貸款違約期權的風險價值，并運用無風險套利原理，對FRM的利率進行定價分析。為了減輕計算的強度，提高計算的精度，我們使用了對偶變量法(Antithetic Variates)。

表1 部分銀行關于FRM提前償還的限制條款銀行名稱提前償還違約金標準建設銀行違約金約為貸款余額的2.6%。招商銀行違約金根據貸款余額、剩余期限和利率變動情況確定，貸款余額越小、剩余期限越短、市場利率變動越小，違約金就越少。農業銀行3年之內收取違約金，違約金根據提前償還金額和剩余期限確定。光大銀行1年之內收取違約金，為貸款余額的3%。

陳勇，等：固定利率住房抵押貸款定價研究Vo1.27，No.3預 測2008年第3期 雖然借款人可以在市場利率下降時通過借新還舊，降低借款成本，但我國住房抵押貸款的合同條款往往使提前償還期權的執行無利可圖，特別是最近推出的FRM都有關于提前償還的限制條款(見表1)；其次，我國的存貸利差大，住房抵押貸款的提前償還行為主要取決于借款人的收入水平，與利率的相關系數不是很大^[9]。考慮以上兩方面的原因，我們將使用房價單因子模型，主要分析違約期權的風險價值。

2 分析框架

2.1 住房抵押貸款現金流描述

違約期權的執行價格是住房抵押貸款的未償余額，因此，分析借款人的提前償還行為及其對住房抵押貸款現金流的影響是進行違約期權定價的基礎。

當前，我國商業銀行推出的FRM主要分為三個檔次：3年期、5年期和10年期。FRM的償還方式可分為等額本金法和等額本息法。我國住房抵押貸款的償還方式主要是等額本息法，每月的還款額固定不變，貸款到期時，借款人正好還清貸款本息。每月還款額又稱為月供，包括利息和部分本金，利息分月償還，按年利率的十二分之一計算，因此，實際利率高于名義利率。在貸款存續期內，隨著貸款本金余額逐月減少，月供中包含的利息額也逐月減少，而包含的本金逐月增加。

為了分析的方便，我們引入以下變量：

i為以月為單位的連續復合合同利率，由于住房抵押貸款的利息是逐月按年利率的十二分之一計算的。假設貸款年利率為r，以月為單位的連續復合利率為i=log1+r12。T為以月為單位表示的住房抵押貸款的期限。t為以月為單位表示的住房抵押貸款的存續期，1≤t≤T。MBt為t月初的未償本金余額。在貸款發放時，未償本金余額MB1就等于貸款總額。我們假設每月的還款日為月末。在t月末，住房抵押貸款余額為MBt(1+i)。MP為月供，即事先確定的、沒有提前償還和違約行為的月還款額。

根據貸款期限、貸款總額和貸款利率，運用年金計算公式可以得到借款人應繳納的月供為

然而，由于借款人的提前償還行為，住房抵押貸款產生的現金流具有不確定性。提前償還模型主要有PSA模型(Public Securities Association)和固定提前償還率模型(Constant Prepayment Rate，CPR)。PSA模型是根據美國歷史數據建立的、描述住房抵押貸款的提前償還率的經驗模型。100%PSA指第一個月的年提前償還率為0.2%，第二個月的年提前償還率為0.4%，依此類推，一直到第三十個月達到6%，三十個月以后，提前償還率一直保持6%的水平。CPR模型假設住房抵押貸款的提前償還率在整個貸款存續期內始終不變，例如，12%CPR表示住房抵押貸款的年提前償還率始終為12%。我國商業銀行和投資者主要使用CPR模型。例如，國內的首單住房抵押貸款支持證券“建元2005-1”的《發行說明書》披露了建行七個試點分行的個人住房抵押貸款的年提前償還率在11.36%至26.20%之間，并以12.98%CPR計算住房抵押貸款的加權平均期限。

根據住房抵押貸款的年提前償還率，我們可以計算住房抵押貸款的單月提前償還率(Single Month Mortality，SMM)，從而可以估計和預測住房抵押貸款的現金流。單月提前償還率是指借款人當月提前償還的本金占月初未償本金的比例。已知住房抵押貸款的年提前償還率CPR，我們可以得到單月提前償還率為SMM=1-(1-CPR)1/12。為了提高模型的適用性，我們將分別考慮提前償還率為8%CPR、10%CPR、12%CPR和15%CPR的情況。

2.2 最小二乘回歸蒙特卡洛模擬

借款人的違約行為取決于房價、貸款余額以及貸款剩余期限。為了對違約期權進行定價，我們引入以下變量：

LSM方法最早由Longstaff Schwartz^[10]提出，該方法已成為目前使用蒙特卡洛模擬美式期權定價的標準方法，解決了蒙特卡洛模擬不能處理美式期權的難題。LSM方法的基本原理是：根據基礎資產的價格路徑在每個時刻的截面數據，利用最小二乘回歸法求得繼續持有期權的收益期望值，并與立即執行期權的收益相比較，如果后者大于前者，則立即執行期權，否則，繼續持有期權。

違約期權的執行價格是住房抵押貸款的余額，當房價低于住房抵押貸款的余額時，違約期權處于實值狀態(in-the-money)。根據Black Scholes^[11]提出的風險中性期權定價模型有

其中E′是風險中性概率下的條件期望算子。借款人可以選擇在貸款存續期內的任何時點違約，以使違約期權的價值最大化，因此，t≤τ≤T。設借款人繼續持有期權(不立即執行期權)的價值為

由于立即執行期權的價值為u(Ht，At)，借款人的目標函數就是實現期權價值的最大化，即

LSM方法的核心在于應用線性回歸估計繼續持有期權的預期收益。在期權的存續期內，借款人不斷比較立即執行期權的收益與繼續持有期權的預期收益。運用當期基礎資產的價格對繼續持有期權的收益進行線性回歸，可以得到繼續持有期權的預期收益，即

E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]=∑kj=0αjHtj

其中k為回歸多項式的最高級數，αj為被估計參數，回歸樣本的大小等于基礎資產路徑中處于實值狀態的路徑的數量。根據以上回歸模型，可以得到繼續持有期權的預期收益。如果E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]>u(Ht，At)，借款人的最佳策略是繼續持有期權；相反，如果E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]≤u(Ht，At)，借款人的最佳策略就是立即執行期權。我們采用了以下回歸模型估計繼續持有期權的預期收益

E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]=α0+α1Ht+α2H2t

3 住房抵押貸款合同利率定價

3.1 數值模擬結果

為了減少計算強度，提高計算效率，我們采用對偶變量減方差技巧，產生了20000條房價路徑。由于借款人可以從房屋的居住中獲得效用，相當于獲得房屋租金，借款人只有在每月的還款日才會考慮是否選擇違約，因此，在蒙特卡洛模擬時我們使用的時間間隔為一個月。我們選取中經網公布的1998年至2005年的住房價格銷售價格指數，對(1)式的參數μ進行經驗估計，得到房價的年增長率約為5%。由于現在我國還沒有住房租金率的統計數據，我們假設住房租金率約為4%。也就是說，我們假設價格為20萬元的住房的年租金為8000元左右。我們分別考慮了房價波動方差σ2H為5%、10%和15%的情況。

商業銀行在對FRM定價時，主要考慮資金成本、經營費用以及貸款的違約風險，其中資金成本與經營費用構成銀行的綜合資金成本。為了計算銀行貸款的資金成本，我們首先計算不同提前償還假設下FRM的加權平均期限，然后根據FRM的加權平均期限和銀行存款利率期限結構，運用平滑樣條技術(Smoothing Spline)確定銀行資金成本。表2是2006年8月央行加息以后的銀行定期存款利率。

由于住房抵押貸款具有分期償還與提前償還的特性，住房抵押貸款的加權平均期限遠遠低于貸款年限。銀行的經營費用約為1.8~2.4之間^[12]，我們取2.0%作為銀行的經營費用。表3是不同提前償還率下貸款的加權平均期限以及銀行的綜合資金成本。如果銀行發放的貸款沒有違約風險，則FRM的合同利率應該等于銀行的綜合資金成本。在數值模擬過程中，我們將采用銀行綜合資金成本作為風險中性利率，計算住房抵押貸款的違約期權價值。

表4是貸款總額為100000、期限為10年的FRM隱含的違約期權的風險價值，也就是預期違約損失。從表4可以看出，違約期權的價值為20至7000之間，占貸款總額的7%以下；隨著貸款成數和房價波動方差的增加，違約期權的價值迅速上升；提前償還速度加快時，違約期權的價值顯著下降。由于違約期權的執行價格等于貸款余額，因此，貸款成數上升時，違約期權的價值增加。房價波動方差較高時，房價下跌并且低于貸款余額的概率增加，從而導致違約期權的價值增加。當提前償還率上升時，貸款余額下降的速度加快，導致違約期權的風險價值下降。

圖1表示住房抵押貸款的累計違約率。從圖中可以看出，住房抵押貸款的違約風險主要出現在貸款后的3~8年之間，這與加拿大和美國的經驗數據相符。在貸款初期，由于借款人支付了一定的首付款，房價大大低于貸款余額，違約概率幾乎為零。而在貸款后的3~8年之間，雖然貸款余額隨著貸款剩余期限的下降而下降，但房價波動將導致違約率上升。貸款后期，由于貸款余額持續下降，違約期權的價值漸漸消失，違約率接近于零。

3.2 住房抵押貸款合同利率定價

期權調整利差分析(Option-Adjusted Spread，OAS)是投資者常用的對隱含期權風險的金融產品定價的工具。OAS是隱含期權風險的固定收益產品的收益率與無風險利率之間的差異，即OAS=rm-rf，其中，rm是包含期權風險的收益率，rf是無風險利率。同理，根據違約期權的風險價值和無風險利率，我們可以推導出包含違約期權風險的房貸利率。

根據上述LSM方法可以得到違約期權的市場公允價值，依據無風險套利原理，商業銀行以無風險利率發放FRM時，需要花費價值等于違約期權的成本對FRM的違約風險進行套期保值。由于FRM隱含了違約期權風險，FRM的貸款利率應該高于無風險利率，并使得貸款利率高于無風險利率的部分正好可以彌補違約期權風險。設違約期權的風險價值為F，商業銀行首先以無風險利率借入資金MB1，然后，以房貸利率rm發放住房抵押貸款MB1-F，同時以價格F向保險公司購買違約責任險，對住房抵押貸款的違約期權風險進行套期保值。設商業銀行借入資金的期限和住房抵押貸款的加權平均期限同為T，無風險套利將使得以下公式成立

根據違約期權的風險價值和合同條款，我們可以利用(2)式得到包含違約期權風險的FRM的貸款利率(見表5)。表5是不同提前償還假設下的FRM的利率。這與我國當前商業銀行實行的FRM利率非常接近。例如，在2006年8月央行放寬住房抵押貸款的利率下限后，北京建行、光大銀行和農行推出的10年期FRM的利率分別為6.39%~7.02%、6.12%~6.65%和6.25%~7.75%。

4 小結

FRM的利率主要取決于銀行存款利率、經營費用和違約期權的風險價值，而FRM的違約期權的風險價值主要受提前償還率、貸款成數和房價波動周期的影響。運用LSM方法可以較為準確地對FRM的違約期權風險和違約概率進行估計和預測，從而可以為商業銀行依據借款人的特征、貸款合同條款和經濟條件等因素制定差異化的貸款利率提供參考依據。

參 考 文 獻：

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