二次均勻Ｂ樣條曲線的雙圓弧逼近方法

摘要： 提出了一種用雙圓弧對(duì)二次均勻B樣條曲線的分段逼近方法。首先，對(duì)一條具有n+1個(gè)控制頂點(diǎn)的二次均勻B樣條曲線按照相鄰兩節(jié)點(diǎn)界定的區(qū)間分成n-1段只有三個(gè)控制頂點(diǎn)的二次均勻B樣條曲線段；然后對(duì)每一曲線段構(gòu)造一條雙圓弧進(jìn)行逼近。所構(gòu)造的雙圓弧滿(mǎn)足端點(diǎn)及端點(diǎn)切向量條件，即雙圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)分別是所逼近的曲線段的端點(diǎn)，而且雙圓弧在兩個(gè)端點(diǎn)處的切向量是所逼近的曲線段在端點(diǎn)處的單位切向量。同時(shí)，雙圓弧的連接點(diǎn)是雙圓弧連接點(diǎn)軌跡圓與其所逼近的曲線段的交點(diǎn)。這些新構(gòu)造出來(lái)的雙圓弧連接在一起構(gòu)成了一條圓弧樣條曲線，即二次均勻B樣條曲線的逼近曲線。另外給出了逼近誤差分析和實(shí)例說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：雙圓弧；二次均勻B樣條曲線； 逼近

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001－3695(2008)04－1087－03

B樣條曲線廣泛用于自由型曲線曲面設(shè)計(jì)。其中，二次均勻B樣條曲線是形式最簡(jiǎn)單的曲線之一，具有幾何一階連續(xù)性、形狀簡(jiǎn)單、使用靈活的特點(diǎn)[1~3]。但在數(shù)控加工中，因?yàn)榈毒呗窂酵ǔＪ怯删€段和圓弧組成的，所以大多數(shù)情況下需要將曲線轉(zhuǎn)換成為由圓弧與直線段組成的圓弧樣條進(jìn)行表示，而后進(jìn)行加工[3~16]。為了提高效率，通常采用圓弧樣條[3~16]。當(dāng)前研究[3~13]中，用圓弧樣條對(duì)曲線進(jìn)行逼近，主要分為單圓弧和雙圓弧兩種方法。連接點(diǎn)處連續(xù)性的單圓弧算法與雙圓弧算法比較而言，優(yōu)點(diǎn)是可以減少所使用的圓弧段數(shù)，缺點(diǎn)是一旦初始頂點(diǎn)處的切線方向確定，整條圓弧樣條就完全惟一確定下來(lái)，因而缺乏靈活性。另一方面，由于除初始確定切線方面的頂點(diǎn)，其他頂點(diǎn)處的切線方向因此也確定下來(lái)，對(duì)多個(gè)頂點(diǎn)處有切線方向要求的情況，就不適合采用了。此外，單圓弧穩(wěn)定性不好，改動(dòng)初始點(diǎn)或初始切向，整條曲線都要跟著變動(dòng)。而雙圓弧方法則不存在這些缺點(diǎn)。給定兩個(gè)端點(diǎn)以及端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的單位向量，可以用雙圓弧進(jìn)行逼近。雙圓弧逼近方法具有通過(guò)性好的特點(diǎn)。本文采用了雙圓弧對(duì)二次均勻B樣條曲線逼近。該方法的優(yōu)點(diǎn)主要是誤差小且計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。

1雙圓弧的確定

1．1雙圓弧

雙圓弧的定義[3~13]為：給定不同的兩個(gè)點(diǎn)P1和P2，以及在點(diǎn)P2處的單位向量t1和在點(diǎn)P2處的單位向量t2，設(shè)圓弧A1和A2滿(mǎn)足下列條件：

4實(shí)例

給定一條二次均勻B樣條曲線，它具有10個(gè)控制點(diǎn)從d0到d9的坐標(biāo)依次為(0．5，2)，(1．5，3)，(2．5，2)，(3，3．5)，(5，2)，(6．5，2)，(6．0，1)，(4．5，0．2)，(4．5，2)，(6，1．5)，節(jié)點(diǎn)矢量為U={i}12i=0，曲線的參數(shù)區(qū)間為[2，10]。該條二次均勻B樣條曲線按照每相鄰兩節(jié)點(diǎn)界定的區(qū)間為一段，則可以分為八段二次均勻B樣條曲線段，然后對(duì)每條曲線段分別構(gòu)造一條雙圓弧進(jìn)行逼近。表1描述的是按順序各二次均勻B樣條曲線段與雙圓弧連接點(diǎn)的軌跡圓弧的交點(diǎn)坐標(biāo)及雙圓弧逼近的誤差。其中：第一個(gè)曲線段的三個(gè)控制點(diǎn)為d0=(0．5，2)，d1=(1．5，3)，d2=(2．5，2)。根據(jù)pi=(di+di+1)/2，Pi=1=di+1，Pi+2=(di+1+di+2)/2，得到P1=(1，2．5)，P2=(1．5，3)，P3=(2，2．5)這樣有‖P1-P0‖=‖P1-P2‖=1．414 213，根據(jù)定理1，此時(shí)雙圓弧的連接點(diǎn)的軌跡圓與二次均勻B樣條曲線段在t∈(0，1)不存在交點(diǎn)，則雙圓弧退化為單圓弧進(jìn)行逼近，然后根據(jù)式(10)可求出誤差。而在其他曲線段中均有‖Pi+1-Pi‖≠‖Pi+1-Pi+2‖，根據(jù)定理1可得二次均勻B樣條曲線段與雙圓弧連接點(diǎn)的軌跡圓均有且存一個(gè)交點(diǎn)，求出此時(shí)交點(diǎn)，并把此交點(diǎn)作為雙圓弧的連接點(diǎn)，從而確定出雙圓弧，最后根據(jù)式(8)和(9)求出雙圓弧的誤差。圖2是在Windows XP SP2系統(tǒng)下用VC 8．0實(shí)現(xiàn)雙圓弧逼近例子中的二次均勻B樣條曲線的圖形表示。其中：二次均勻B樣條曲線用光滑的線表示；用于逼近的雙圓弧所組成的曲線用虛線表示。

參考文獻(xiàn)：

[1]雍俊海， 胡事民， 孫家廣. 均勻B樣條曲線的降階[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)， 2000， 23(5): 537－540.

[2]謝進(jìn)，洪素珍.帶形狀參數(shù)的二次B樣條曲線[J].計(jì)算機(jī)輔助工程， 2006， 15(2):15－19.

[3]雍俊海.曲線曲面造型中幾何逼近問(wèn)題的研究[D].北京:清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系， 2000.

[4]蘇步青，劉鼎元.計(jì)算幾何[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1981:195－204.

[5]盧建彪，雍俊海. 二次Bézier曲線的雙圓弧樣條插值二分算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2006，23(8):172－173.

[6]YONG Jun－h(huán)ai， CHEN Xiao， PAUL J C. An example on approximation by fat arcs and fat biarcs[J]. Computer Aided Design， 2006， 38(5): 515－517.

[7]PARK H. Error－bounded biarc approximation of planar curves[J]. Computer Aided Design，2004，36(12): 1241－1251.

[8]JONG C， WONG S Y， LOH T H， et al. An optimization approach for biarc curve－fitting of B－spline curves[J]. Computer Aided Design， 1996，28(12):951－959.

[9]SCHOENHERR J. Smooth biarc curves[J]. Computer Aided Design， 1993， 25(6): 365－370.

[10]董光昌，梁友棟，何援軍. 樣條曲線擬合與雙圓弧逼近[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 1978，1(4):330－340.

[11]何援軍.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2006:361.

[12]汪國(guó)平，孫家廣. 平面NURBS曲線及其offset的雙圓弧的逼近[J].軟件學(xué)報(bào)，2000，11(10):1368－1374.

[13]劉續(xù)征，雍俊海，鄭國(guó)勤，等.約束雙圓弧插值[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)， 2007，19(1):1－7.

[14]CHEN Xiao－diao，YONG Jun－h(huán)ai， ZHENG Guo－qin， et al. Automa－tic G1 arc spline interpolation for closed point set[J]. Computer Aided Design， 2004，36(12):1205－1218.

[15]YONG Jun－h(huán)ai，HU Shi－min， SUN Jia－guang. Bisection algorithms for approximating quadratic Bezier curves by G1 arc splines[J]. Computer Aided Design， 2000，32(4):253－260.

[16]YONG Jun－h(huán)ai， HU Shi－min， SUN Jia－guang. A note on approximation of discrete data by G1 arc splines[J]. Computer Aided Design 1999，31(14):911－915.

[17]孫家廣.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M].3版.北京:清華大學(xué)出版社， 2002.

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