風險價值ＶａＲ的存在惟一性問題

[摘要] 當風險資產的損失為離散隨機變量時，用概率方程、反分布函數和分布最小值給出的風險價值VaR定義不滿足存在惟一性，而用概率下確界、概率最小值、分布下確界和分布右極限最小值給出的VaR定義則對任意隨機變量都能滿足存在惟一性。

[關鍵詞] 風險價值 隨機變量 概率 下確界 存在惟一性

VaR是Value at risk簡稱，通常譯為風險價值，亦譯為在險價值、受險價值、險值等，現已經成為金融風險管理的國際標準。菲利普·喬瑞將VaR定義為：在正常的市場環境下，在一定的置信水平和期間內，衡量(風險資產)最大預期損失的方法。

一、三種已知定義及存在缺陷

已知VaR的數學定義多采用含有概率的方程形式給出，也有用概率分布函數的最小值或反函數等形式給出的，現分別予以討論。

定義1(概率方程定義):設隨機變量X是風險資產在某期間內的損失(或負收益)，α∈(0，1)，則稱滿足方程:

P(X≥x)＝α(1)

x為該資產在此期間內的置信度為α的VaR，記作VaR1。

定義2(反分布函數定義):設Ｘ、α如定義1，且X的分布函數為F(x)，則定義VaR為:

VaR2= F-1(1-α)

定義3(分布最小值定義):設同定義2，則定義VaR為:

VaR3=min{ x｜F(x)≥1-α}

然而，上述三種定義的存在惟一性卻不一定能得到保證，下面給出一個反例。

例1:設X為離散隨機變量，分布律為P(X=xi) ， (xi

(1)VaR1對幾乎所有的α都不存在，僅對至多可數個α存在還不惟一。

(2)VaR2對所有的α都不存在。

(3)VaR3對所有的α視分布函數的不同定義形式或都不存在或都存在惟一。

證明:(1)由于P(X≥x) =是關于x的單調非增且左連續的階梯函數，故其值域是區間[0，1]上某個可數集的非空子集，因此方程(1)只對至多可數個α有解。對不可數個使方程(1)無解的α，其對應的VaR1自然不存在。對至多可數個使方程(1)有解的每個α，即存在ξ使P(X≥ξ)=α，由階梯函數性質可知，存在一個包含ξ的區間(xk，xk+1]，使區間內所有的x都滿足方程(1)，即此α對應的VaR1有無窮多個，因而不惟一。

(2)因為F(x)是階梯函數，故F(x)的每一個函數值都有無窮多個原象，因此F(x)沒有反函數，從而F-1(1-α) 對所有的α都無意義，當然就不存在VaR2。

(3)若F(x) = P(X＜x)，則F(x) =是關于x單調非降且左連續的階梯函數，故對每個α，都存在惟一的xα使F(xα)＜1-α≤F(xα+0)。由F(xα)＜1-α可知VaR3＞xα，由1-α≤F(xα+0)可知xα≥VaR3，從而VaR3≥xα＞VaR3，矛盾，此矛盾表明其對應的VaR3不存在。

若F(x)=P(X≤x)，則F(x)=是關于x單調非降且右連續的階梯函數。故對每個α，都存在惟一的xα使F(xα-0)＜1-α≤F(xα)，故{ x｜F(x)≥1-α}=[ xα，∞)，此時xα即為VaR3。

二、三種已知定義存在惟一的必要條件

例1:表明已知的三種定義都存在缺陷，下面給出這三種定義存在惟一的必要條件。

定理1(VaR1存在惟一的必要條件):若P(X≥x)關于x連續且嚴格單調，則VaR1對每個α都存在且惟一。

證明:因P(X≥x)=1＞α＞0=P(X≥x)，由連續函數的介值定理知，存在ξ∈(-∞，∞)，使P(X≥ξ)＝α，由單調性可知ξ還是惟一的，此ξ即為VaR1。

定理2(VaR2存在惟一的必要條件):若F(x)連續且嚴格單調，則VaR2對每個α都存在且惟一。

證明:因為F(x)為嚴格單調連續函數，因此F(x)存在嚴格單調連續反函數F-1(x)，故對任意的α，都存在惟一的xα，使xα= F-1(1-α)，此xα即為VaR2。

定理3(VaR3存在惟一的必要條件):若F(x)右連續，則VaR3對每個α都存在且惟一。

證明:對任意的α，方程或有解或無解。

若方程有解，即存在ξ，使F(ξ)=1-α，則解或惟一或不惟一。當解惟一時，其解即為VaR3；當解不惟一時，由于F(x)單調非降且右連續，因此解集為一個左閉區間，此區間的左端點即為VaR3。

若方程無解，由F(x)的單調性可知，存在惟一的xα，使F(xα-0)＜1-α＜F(xα)，此xα即為VaR3。

三、定義的改進

為了彌補上述三種定義的缺陷，下面給出能適應各種隨機變量的VaR數學定義。

定義4(概率下確界定義):設X、α如定義1，則定義VaR為

VaR=inf{ x｜P(X≥x)≤α}

定理4(VaR存在惟一性定理) 對任意的X和α都有惟一的VaR。

證明:記Aα={x｜P(X≥x)≤α}，由概率論可知

P(X≥x)＝1＞α，故由極限性質知，存在ξ＞-∞，使P(X≥ξ)＞α，可見Aα有一個下界ξ，由下確界存在定理知，下方有界的數集Aα必有下確界xα，而下確界是惟一的，此xα即為VaR。

推論1:(概率最小值定義):設X、α如定義1，則：

VaR=min{ x｜P(X＞x)≤α}

證明:記xα＝VaR，則P(X≥x)。當x＞xα時，P(X＞x)=P(X≥x) P(X=x)≤P(X≥x)≤α，由于P(X＞x)關于x右連續，故P(X＞xα)=P(X＞x)≤α；當x＜xα時，令ξ=，則x＜ξ＜xα，由于P(＞x)單調非增，從而P(X＞x)≥P(X≥ξ)＞α。綜合之有P(X＞x)，所以min{ x｜P(X＞x)≤α}=min[xα ，∞)＝xα=VaR。

推論2(分布下確界定義):設同定義2，則:

VaR=inf{ x｜F(x)≥1-α}

證明:若F(x)=P(X＜x)，因為P(X≥x)=1-P(X＜x)= 1-F(x)，從而有{ x｜P(X≥x)≤α}＝{ x｜F(x)≥1-α}，所以inf { x｜F(x)≥1-α}= inf { x｜P(X≥x)≤α}=VaR。

若F(x)=P(X≤x)，由推論1證明知 P(X＞x)，因此F(x)＝1-P(X＞x)，所以inf{ x｜F(x)≥1-α}=inf [VaR ，∞)＝VaR。

推論3(分布右極限最小值定義):設同定義2，記F(x+0)=F(t)，則:

VaR=min{ x｜F(x+0)≥1-α}

證明:記xα＝VaR，則F(x)。因F(x)單調非降，當x＞xα時，F(x+0)≥F(x)≥1-α，并且F(xα+0)≥1-α；當x＜xα時，令ξ=，則x＜ξ＜xα，故F(x+0)≤F(ξ)＜1-α，從而F(x+0)，所以min{ x｜F(x+0)≥1-α}= min[xα ，∞)=xα=VaR。

例2:設X如例1，則:

四、結論

由于風險資產損失的分布未必連續，因而用概率方程、反分布函數和分布最小值給出的VaR定義就不一定能滿足存在性或惟一性，故在理論上和實際應用中這三種定義都存在缺陷。用概率下確界給出的定義以及由其導出的概率最小值、分布下確界、分布右極限最小值等定義可彌補所有缺陷。

鑒于用概率下確界給出的定義比用分布函數給出的定義有更直觀的經濟學意義，所使用的數學工具也較少，而用最小值給出的定義又受到右連續的約束，適應性有所欠缺．?？梢娪酶怕氏麓_界給出的定義具有普適性，因此可以作為VaR首選的數學定義。

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