巧列方程妙填數

例1圖1是由六個正方形拼成的長方形，已知中間的小正方形的邊長為1，則長方形的面積為 .

解析給六個正方形分別標上1~6六個數字，設正方形2的邊長為x，則正方形3的邊長也為x，正方形4的邊長為x+1，正方形5的邊長為x+2，正方形6的邊長為x+3.

根據長方形的對邊相等，可得方程:

x+x+（x+1）=（x+2）+（x+3），解得x=4.

從而得到長方形的長為3x+1=13，寬為2x+3=11，所以長方形的面積為13×11=143.

例2（山東棗莊中考試題）圖2是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長為a，則六邊形的周長是 .

解析給9個等邊三角形分別標上1~9九個數字，設等邊三角形2的邊長為x，則等邊三角形3與4的邊長也為x，等邊三角形5與6的邊長為x+a，等邊三角形7與8的邊長為x+2a，等邊三角形9的邊長為x+3a.

從圖中可以看出，等邊三角形9的邊長等于等邊三角形2與4的邊長之和，可得方程：x+3a=2x，解得x=3a.

所以六邊形的周長x+x+（x+a）+（x+a）+（x+2a）+（x+2a）+（x+3a）=7x+9a=7×3a+9a=30a.

例3將-1～-8以及1～8這16個整數填入4×4的正方形表格中，使得每行、每列、每條對角線上四個數字之和都相等，如圖3所示，恰有8個標有序號的小方格中填的數被一個頑皮的小朋友擦掉了，請你將這擦掉的8個數設法恢復出來.

解析設所填表中每行、每列、每條對角線四數之和為S， 則4S=(-1)+(-2)+…+（-8）+1+2+…+8=0，得S=0.即所填表中每行、每列、每條對角線四數之和為0.

設序號為①的方格中的數為x，則序號為②的方格中的數為－３－x;序號為③的方格中的數為１６＋x;序號為④的方格中的數為－１２－x;序號為⑤的方格中的數為１１＋x;序號為⑥的方格中的數為－１０－x;序號為⑦的方格中的數為５＋x;序號為⑧的方格中的數為－１－x.如圖4所示.

由對角線①、⑦、⑤、③四數相加為0，得x+(5+x)+(11+x)+(16+x)=0，解得x=-8.于是可以依次算出被擦掉的各數，恢復后如圖5所示.

例4（北京“迎春杯”競賽試題）在圖6中有9個方格，要求在每個方格內填入不同的數，使得每行、每列、每條對角線上的三個數字之和都相等，試問:圖6中左上角的數是多少？

解析雖然要求的只是左上角的數，但是題目中的條件還與其它位置的數有關，因此需恰當地增設不同的字母來表示，以便充分運用已知條件.

如圖7，設相應方格中的數分別為x1， x2， x3和x4 ，問號處填入的數為x，由已知條件得

x+x1+x2=x+x3+x4=x1+x3+13=x2+19+x4.

由前兩個式子之和等于后兩個式子之和，得到

2x+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x4.

所以2x=13+19，解得x=16，即圖6中左上角的數為16.

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