輔助線“狂想曲”

這是一堂練習(xí)課，需要添加輔助線來解題，這對于初學(xué)幾何，甚至連推理都不作要求的七年級學(xué)生來講，是何等的困難.說真的，作為老師的我，自己心里也沒底，還是先來看題目吧：

已知六邊形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥ED，∠A

=140°，∠B=100°，∠E=90°.求∠C、∠D、∠F的度數(shù).

師： 這題是關(guān)于求角度的問題，只從題上的條件和圖形，大家能找到解決這個(gè)問題的方案嗎?

同學(xué)們都低頭思考，過了一會兒，我稍作提示.

師： 可否考慮添加輔助線？

同學(xué)們繼續(xù)思考，又過了幾分鐘，我心里有點(diǎn)沒譜，想要出聲提示，但看到他們苦思冥想的樣子，又不忍心打斷他們……

終于，小機(jī)靈袁中杰舉手了：老師，連接AD，CF……

師：你為什么會這樣想?

生：因?yàn)槲蚁胗闷叫芯€的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和.在四邊形ABCF中，∠BAF+∠B+∠1+∠3=360°，則∠1+∠3

=360°-140°-100°=120°.因?yàn)锳F∥CD，所以∠3=∠FCD，所以∠1+∠FCD=120°，即∠BCD=120°.然后在四邊形ABCD中，∠BAD+∠4=360°-∠B-∠BCD=360°-100°-120°=140°，因?yàn)锳B∥ED，所以∠BAD=∠5，所以∠5+∠4=140°，即∠CDE=140°．最后用六邊形內(nèi)角和為720°求出∠F．

“真是太好了！”我由衷地贊嘆道.“其他同學(xué)還有不同的想法嗎?”平時(shí)愛表現(xiàn)的張子涵高高地舉起小手：“老師，我有.”我示意他回答.

生：作AF的平行線……

師：什么?怎么作?（看到他有點(diǎn)著急地比畫著但又表達(dá)不清，于是我叫他干脆上黑板畫.）

生：作BM∥AF，∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，可以求出∠1=40°，∠2

=60°，∠C=120°.作FN∥AB，∠A+∠3

=180°，所以∠3=40°.因?yàn)椤螮=90°，所以∠EFN=90°，所以∠AFE=40°+90°=130°，然后用六邊形內(nèi)角和性質(zhì)求出∠D.

不等我說話，下面的同學(xué)都已經(jīng)點(diǎn)頭表示同意.我剛要表揚(yáng)張子涵，學(xué)習(xí)委員賀佳文又舉起了手，只好讓他先說啦!

生： 我的方法更簡單一些!（呵，他倒是不客氣.）

“那你趕快說說吧！”我笑著對他說.

生： 延長AB、DC交于點(diǎn)M.

師： 你為什么會這樣想呢?

生：我想用平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和性質(zhì).由AF∥CD，∠A=140°，能求出∠M=40°.再由AB∥ED，就可以求出∠D=140°.因?yàn)椤螦BC=100°，所以∠1=80°，再用三角形的外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和，可以求出∠BCD

=∠1+∠M=120°，最后求得∠F=130°.

“還真的很簡單呢!”我不禁為他鼓掌.暗想該總結(jié)一下進(jìn)入下一題了，但看到平時(shí)不愛回答問題的成銀舉手了，于是我不失時(shí)機(jī)地鼓勵(lì)她發(fā)言.

生：老師，我想連接AE、DF.（我?guī)退骱幂o助線.）她接著說：在五邊形ABCDF中，∠FAB+∠B+∠C+∠CDF+∠DFA=540°，而AF∥CD，所以∠CDF+∠DFA=180°，由∠BAF=140°、∠B=100°，可得∠C

=120°.同樣的在五邊形ABCDE中，因?yàn)?AB∥DE，所以∠BAE+∠DEA=180°，可以求出∠CDE=140°，再在六邊形ABCDEF中求出∠F的度數(shù).

在同學(xué)們都表示理解了之后，我著實(shí)表揚(yáng)了成銀同學(xué)一番.話音還沒落，平時(shí)愛找茬的封黃其說話了：“老師，剛才成銀畫的那兩條線，畫在其他位置也行?！蔽乙粫r(shí)沒領(lǐng)會他的意思，于是要他也到黑板上來畫.

生：像這樣∠1+∠2不也是180°嘛，∠3+∠4也等于180°?。?/p>

噢，原來是這個(gè)意思，我點(diǎn)頭同意，又看了看其他同學(xué)，等待他們的回應(yīng)．從眼神中可以看出，他們也同意了.

“那……”我急于想進(jìn)入下一題的想法又被打斷．“老師，不知道這樣行不行？”聲音和她的人一樣漂亮的女生潘瑋漲紅了臉說．“你說說看!”我鼓勵(lì)她道.

生：我記得你以前講過那個(gè)題……（她比畫著.）

師：還是到黑板前來吧！

生：你以前不是讓我們探求過在AB∥CD的條件下，∠A、∠E、∠C之間關(guān)系的嗎?

師：是啊.

生：我記得這個(gè)結(jié)論∠A+∠E+∠C=360°，那這個(gè)題不加輔助線不也能做嗎?題中AF∥CD，不就是像這個(gè)圖形嘛，所以 ∠C

=360°-∠A-∠B=360°-140°-100°=120°，再由AB∥DE，同樣可求∠D=360°-∠B

-∠C=360°-100°-120°=140°，∠F=360°

-∠A-∠E=360°-140°-90°=130°．

還沒等我作出解釋，下課鈴聲響了，看著下面舉起的一只只小手和一聲聲“老師，我還有……”我真的好想繼續(xù)下去，但……

我期盼著明天你們能給我更多的驚喜!