巧用角平分線

2006年北京市中考數學試題的第23題是:

如圖1，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題:

（1）如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線， AD、CE相交于點F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系.

（2）如圖3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

分析：如圖4，在OP上取一點R，在OM和ON上截取OG=OQ，則易知△GOR≌△QOR（SAS）.它告訴我們，角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸，只要在角的兩邊上取OG=OQ，任取OP上一點R，總有△GOR≌△QOR.由此我們得到一個常用的方法：利用沿角平分線翻折的方法去構造全等三角形，進而借助于全等三角形的性質來解決有關問題.應用此法可得問題（1）和（2）的解答如下：

（1）FE與FD之間的數量關系為FE=FD.

（2）答：（1）中的結論FE=FD仍然成立.理由是：如圖5，在AC上截取AG=AE，連接FG.

因為∠1=∠2，AF為公共邊，

可得△AEF≌△AGF.

所以∠AFE=∠AFG，FE=FG.

由∠B=60°， AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

可得∠2+∠3=■∠BAC+■∠BCA=■（180°-∠B）=60°.

所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.

所以∠CFG=180°-∠EFG=60°.

又由∠3=∠4及FC為公共邊，

可得△CFG≌△CFD.

所以FG=FD.

所以FE=FD.

下面再舉兩例說明添加這類輔助線的妙用.

例1如圖6，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE.試求∠ADC+∠B的度數.

解：過點C作CF⊥AD，交AD的延長線于F.

因為∠1=∠2，∠CFA=∠CEA=90°，AC=AC，

所以Rt△ACF≌Rt△ACE（AAS）.

所以AF=AE.

又AD+AB=2AE，即（AF-DF）+（AE+BE）=2AE，所以BE=DF.

又∠DFC=∠CEB=90°，CF=CE，

所以△CDF≌△CBE（SAS），

所以∠CDF=∠B.

又∠ADC+∠CDF=180°，

所以∠ADC+∠B=180°.

例2如圖7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB，交CB于G，CF=CE，則CF與GB的大小關系是（）.

（A）CF＞GB（B）CF=GB

（C）CF＜GB（D）無法確定

解：過F作FH⊥AB于H.

因為AF平分∠CAB，所以FC=FH.

又因為CF=CE，所以CF=CE=FH.

在Rt△CEG和Rt△FHB中，由CE=FH，∠CGE=∠B，得Rt△CEG≌

Rt△FHB，從而CG=FB.

所以CF=GB.

故應選B.