沙漏擺質量減小對其運動周期的影響

題目 在圓錐形漏斗中灌滿細沙，并用一定長度的輕線懸掛起來做成沙漏擺，如圖1所示。忽略懸線的彈性形變，使沙漏擺在堅直平面內繞懸點做簡諧運動，同時細沙從漏斗中緩緩漏出，此過程中沙漏擺的周期是否變化？如果變化，其變化又會遵循怎么的規律？

解與析 單擺的周期公式為T=2πl/g。一般認為單擺周期由擺長和當地的重力加速度決定，與單擺的振幅和擺球質量無關。但值得注意的是擺長l為擺球質心到懸點之間的距離。上例中，其質心位置由圓錐形漏斗和漏斗內的沙子共同決定。當沙子緩緩從小孔漏出時，質心位置沿擺線方向先下降后上升，使得擺長先變長后變短，故其周期T也先變大后變小。從而表明沙漏擺的質量與周期密切相關。通過定量計算，可給出沙子漏出過程中質心位置的變化函數，從而研究沙漏擺質量減小對其周期的影響。

根據單擺的周期公式，可知沙漏擺的周期為

T=2πL+l′g(1)

其中L為擺長線長度，l′為質心到A點之間的距離，如圖1所示。

取圓錐形漏斗的O為坐標原點，建立直角坐標系，如圖2所示。由沙子的均勻性和漏斗的軸對稱性，漏斗的質心和沙子的質心均在Z軸上。

首先我們來計算圓錐形容器的質心位置。由于空心圓錐與質量分布均勻的實心圓錐的質心位置是相同的，現設圓錐的密度為ρ容為一常數，且底面半徑為R，高度為h，在距O點z處取一薄圓盤，半徑為r，高度為dz，如圖2所示，則薄圓盤的質量為dm=ρ容πr2dz，將每個薄圓柱體的半徑r用z的函數表示出來為：r/R=z/h，或者有r=zR/h，則圓錐形容器的質心坐標為：

zc1=∫h0zdmM=∫h0zρ容πr2dzM=ρ容πR2h2∫h0z3dzM

=14ρ容πR2h2M=34h(2)

下面再來計算細沙的質心位置，設某時刻細沙的高度為h′，設沙子的密度為ρ沙，則沙子的質量為m沙=13ρ沙πr2h′=ρ沙πR23h2h′3，同理可得，質心坐標為zc2=34h′(3)

則整個的擺球的質心坐標為

zc=m容zc1+m砂zc2m容+m砂=3ρ容h4+3ρ沙h′44ρ容h3+4ρ沙h′3(4)

所以質心到A點之間的距離為

l′=h-zc=ρ容h4+4ρ沙h′3h-3ρ沙h′44ρ容h3+4ρ沙h′3 （5）

設容器的密度為沙子密度的k倍，則上式可以化簡為：

l′=kh4+4h′3h-3h′44kh3+4h′3(6)

所以單擺周期為

T=2πL+l′g

=2πL+kh4+4h′3h-3h′44kh3+4h′3g(7)

（7）式給出了沙子在漏出過程中，單擺周期的變化函數，若取L=1m，h=0.1m，當k=0.2和0.5時，運用數學軟件maple繪制l′隨h′的變化函數，從圖3中從可以明顯看出，質心到A點之間的距離先增大后減小，從而根據（7）式，沙漏擺的周期先增大后減小。

當沙子裝滿漏斗時，沙漏擺的周期為：

Tmin=2πL+l′ming=2πL+h4g=2.031s

上式中l′min=h4與k的取值無關，隨著沙子漏出，根據（6）式，l′取到最大值時，周期也取到最大值。如取k=0.5，，當h′=0.0594時，l′=0.0343m，與k的取值無關，此時沙漏擺的周期為：Tmin=2πL+l′ming=2πL+h4g=2.031s

上面通過計算，得到了在沙子漏出過程中，質心坐標的變化函數，從而得出了沙漏擺周期的變化函數，并用maple清晰的描述了周期的變化規律，研究了沙漏擺質量減少對其周期的影響。

(欄目編輯 陳 潔)

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