圖像的多尺度幾何分析概述
2007-12-31 00:00:00段貴多李建平黃添喜
計算機應用研究 2007年10期
摘要：以函數的稀疏表示為主線，詳細介紹了各種多尺度幾何分析產生的背景、發展歷程和逼近性能，并分析了它們各自存在的優缺點，最后指出了其發展方向。
關鍵詞：多尺度幾何分析；奇異性；正則性；非線性逼近；有界變差函數
中圖分類號：TP391文獻標志碼：A
文章編號：1001-3695(2007)10-0009-06
0引言
自1807年Fourier 提出任意一個周期為2π的函數都可以表示成一系列三角函數的代數和，到今天蓬勃發展的小波分析，科學家們的研究目的是對不同的函數空間提供一種直接、簡便的分析方式，即尋求函數在某一特定空間下，在某種基下的最優逼近。逼近的誤差體現了用此基表示函數的稀疏程度或是分解系數的能量集中程度。
Fourier分析的思想是將函數表示為具有不同頻率的諧波函數的線性疊加，即將函數用一簇三角基展開，將原函數在時域中的討論轉換為對這個疊加權系數的討論，即Fourier 變換在頻域中的研究。這種三角體系展開方式的局限性促使人們去尋找其他的正交體系——小波分析。小波分析的地位在數學界是獨一無二的，它較精確的時頻定位特性，成為處理非平穩信號的有利工具；也證明了小波分析比Fourier 分析更能稀疏地表示一段分段光滑或有界變差函數。這是小波分析成功的一個關鍵原因。但是，由于張量積小波只具有有限方向數，它主要適合表示一維奇異性的對象，當它在處理二維或更高維奇異性時，就顯得無能為力。小波在表示這些函數時并不是最優的或者最稀疏的表示方法。
為了更好地處理高維奇異性，一類帶有方向性的稀疏表示方法——多尺度幾何分析應運而生。它的產生符合人類視覺皮層對圖像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。它的目的就是為具有面奇異或線奇異的高維函數找到最優或最稀疏的表示方法。目前，已有的多尺度幾何分析方法有Emmanuel J Candès等人提出的脊波變換(ridgelet transform)[1]、單尺度脊波變換(monoscale ridgelet transform)[2]、curvelet變換(curvelet transform)[3]，E. Le Pennec等人提出的bandelet變換[4]，以及M.N.Do 等人提出的contourlet變換[5]。另外，還有一些多尺度分析方法，如David Donoho 提出的wedgelet[6]、beamlet[7]等。本文根據以上方法出現的時間順序來討論其逼近性能的異同。
在圖像處理方面，圖像的稀疏表示在對圖像數據的存儲、傳輸中得到了廣泛的應用。由于余弦基和小波基能夠用較少的系數達到圖像較精確的非線性逼近，成為圖像稀疏表示的重要方法。如今，多尺度幾何分析的出現，又為圖像的稀疏表示提供了一個全新而又有效的方法。
1奇異性分析
本文稱無限次可導的函數是光滑的或沒有奇異性的。若函數在某處有間斷或某階導數不連續，則稱該函數在此處有奇異性。圖像的奇異性或非正則結構通常包含了圖像的本質信息。例如圖像亮度的不連續性表示景物中的邊緣部分，這是認識圖中最重要的部分。圖像的奇異性是常見的，也是重要的。在自然界中光滑物體的邊界往往體現為沿光滑曲線的奇異性，并不僅是點的奇異性。在數學上，通常用Lipschitz指數刻畫信號的奇異性大小[8]。
3多尺度幾何分析
3．1脊波變換
脊波理論的基本框架是由E.J Candès [1]建立，并與D.L.Donoho等人在其后續工作中[12]逐步拓展和完善。脊波變換是一種非自適應的高維函數表示方法，對含直線奇異的多變量函數能夠達到最優的逼近階。脊波理論的提出在多尺度幾何分析史上產生了深遠的影響，具有不可估量的價值。脊波變換的核心主要是經過radon變換把線狀奇異性變換成點狀奇異性。小波變換能有效地處理在radon域的點狀奇異性。其本質就是通過對小波基函數添加一個表征方向的參數得到的，所以它不但與小波一樣有局部時頻分析的能力，還具有很強的方向選擇和辨識能力，可以非常有效地表示信號中具有方向性的奇異特征。這是小波方法所不能得到的。
3．1．2數字脊波的實現
在實際應用中，脊波變換的離散化及其算法實現是一個具有挑戰性的問題。由于脊波的徑向性質，對連續公式直接離散實現時要在極坐標中進行插值。這樣的變換結果或者是冗余的，或者不能完全重構。脊波變換數字實現的優劣很大程度上取決于其中radon變換數字實現的重構精度。為此，人們提出了各種各樣的方法，大體上可分為在Fourier域利用投影切片定理的方法[13~15]、多尺度方法[16，17]和代數方法[18]三類。
近似脊波變換建立在所謂的偽極坐標網格基礎上。首先對n×n的離散點列作二維FFT，并對得到的包含n×n個點的頻域點列作徑向劃分；然后估計各個徑向直線方向上n個數據點的值。在每個徑向方向都有n個節點，再對這n個點列作一維IFFT，從而得到對應于圖像域的2n2個點列，對這些點列作均勻化插值和重組就得到一次radon變換的結果。根據圖1即可實現脊波變換[19]。但其有兩點不足：在實現頻率平面中直角坐標向極坐標變換的過程中引入誤差是明顯的；它具有總數為四倍的數據冗余性。因此這種脊波變換不適合圖像編碼壓縮。
M.N.Donoho等人[20]提出另一種數字脊波實現方法，稱為有限脊波變換(FRIT)。首先用有限radon變換將一幅圖像變換到FRAT域中，再對每一個投影序列進行離散小波變換(DWT)，rk[0]，rk[1]，…，rk[p-1]。其中方向k是固定的。這種方法可以同時做到可逆性與非冗余性，并且是完全重構的。但由于有限脊波變換是基于有限radon變換構造的，有限radon變換在表達直線時有折疊效應，有限脊波變換在幾何上不是真實的。
Donoho和Flesia[21]為了克服有限脊波變換的折疊效應，構造了一種數字脊波變換。它能用真實的脊函數進行分解和合成，并且具有精確重構和框架性質。這種脊波變換采用的radon變換，稱做fast slant stack[13]。首先進行fast slant stack運算，然后進行二維快速小波變換。這種構造使得離散物體(離散脊波、離散radon變換、離散偽極坐標Fourier域)具有與連續脊波理論平行的內在聯系(脊波、radon變換、極坐標Fourier域)。
Donoho構造的脊波變換在幾何上是真實的，即在此處radon變換的確是沿直線積分的，從而避免了折疊效應。在創建系數矩陣時，它將一個n×n的矩陣變換為2n×2n的矩陣，因此冗余因子為4。這在一定程度上影響了運算速度。這種脊波變換在實現上的缺點是正交脊波系數衰減速度相對較慢。
3．1．3脊波逼近能力
定理4[2]設f是Cr的函數，沿某一直線是不連續的，除此之外均為r階連續。從脊波級數中選取對應于前M個最大系數的項，對f所作的非線性逼近誤差為
即逼近誤差顯示似乎不存在間斷，這個結果對任意r階光滑都是成立的。
該方法的顯著特點是無須知道間斷的位置。類似地，一維小波變換也無須先驗地知道點奇異的位置。因而對于具有直線奇異的函數，脊波的表示是最優的。
3．1．4小結與展望
從上面的分析可知，脊波在分析直線奇異的分段光滑的高維函數方面是優秀的[36]，脊波已經成功應用于數學中的函數逼近、信號檢測、特征提取、目標識別，以及圖像恢復、去噪、增強等方面。在脊波分析的框架下，結合二進小波變換的局部脊波變換，用于檢測直線的方法，應用于方向性較強的圖像獲得了良好的檢測效果。但是必須看到，對于自然物體而言，奇異的邊界是曲線的，經過radon變換后仍然為曲線，而小波對曲線不具備稀疏表示的能力。因此脊波不能夠處理曲線奇異的高維函數。另外，脊波的數字化實現仍然是一個有待進一步提高的問題。如何很好地解決冗余度和精度，提高運算速度，是制約著脊波走向廣泛應用的主要因素。
3．2單尺度脊波變換
針對脊波變換不能處理曲線奇異的問題，Candès[2]提出了單尺度脊波變換的概念，也叫局部脊波變換(local ridgelet transform)。其主要思想是利用剖分的方法，用直線逼近曲線。
3．3曲波變換
Curvelet變換[3，22]其實是在單尺度脊波變換的基礎上發展起來的，也是對曲線奇異的物體的一種非自適應稀疏表示。單尺度脊波是在某一基準尺度s上進行脊波變換，而curvelet變換是在所有可能的尺度s上進行脊波變換。它首先將圖像進行子帶分解，對不同尺度的子帶圖像采用不同大小的分塊；然后再對每個分塊進行脊波分析。它實質上就是一種多尺度的方塊脊波變換。Curvelet由于綜合了脊波擅長表示直線特征和小波適于表現點狀特征的優點，并充分利用了多尺度獨到的優勢，適合于處理一大類圖像問題。Curvelet變換其基的支撐區間滿足各向異性尺度關系width≈length2[23](anisotropy scale relation)，可以很好地逼近圖像中的奇異曲線。因此，curvelet變換在圖像去噪[26]、對比度增強[31]、天文圖像處理[32]以及邊緣檢測等領域[22，33]得到較廣泛的應用。
Candès等人[24]又提出了第二代curvelet變換，它直接通過頻率劃分定義而不是利用脊波變換，并提出了兩種快速算法，即基于不等價—空間快速Fourier 變換(USFFT)和基于特殊選擇的Fourier 采樣的繞疊。兩種算法都返回了一系列具有尺度參數、方向參數和空域位置參數的curvelet系數。另外，當處理n×n的圖像時，兩種變換的計算復雜度為O(n2 log n)。
與第一代curvelet變換相比，第二代curvelet變換也是可逆變換，但它更加簡單、快速且冗余更少。
3．3．1Curvelet逼近能力
定理6[22]一個簡單的M項逼近——M個最大項之和，curvelet能夠達到
由式（14）可以看出，curvelet這種非自適應的方法能夠達到與自適應方法一樣的逼近效果。
圖2是2D 分段光滑函數非線性逼近示意圖。Curvelet基函數可被看做是小波基函數的局部分組到線性結構，因此它能更有效地捕捉圖像的曲線奇異。
3．3．2小結與展望
Curvelet處理曲線奇異的能力是無可厚非的。但是對于第一代curvelet變換，由于需要旋轉操作和對應的基于極坐標的頻率劃分，使得在連續域構造簡單的curvelet在數字圖像的應用中卻變得不易——矩形
網格上采樣困難。尤其是臨界采樣在這種離散構造方式下更是困難。其原因是，矩形網格采樣將更重要的幾何特性強加在離散化的圖像上，如水平和垂直方向上的斜線，從而導致了類似curvelet的多方向、多尺度的變換，并且直接定義于離散域contourlet變換的情況的出現。Donoho等人[25]也指出很難滿足于curvelet變換的現行效果。一方面，原始的curvelet變換是粗糙的，因為它有16倍的數據冗余。事實上，每個子帶都比原始采樣圖像有著更多的系數。另一方面，基于剖分的變換，即為了避免重構圖像中出現塊的邊界效應，curvelet數字實現時對每一個剖分塊都進行了疊加處理，這大大增加了變換的冗余度。新的插值算法和改進的空間剖分有望減小變換的冗余度。因此curvelet的冗余問題需要做更廣泛的實踐和理論工作，而計算速度的提高卻依賴于基礎軟件的改進。目前，為了解決極坐標與矩形坐標之間的轉換問題，提出了一些插值方法[25，26]，但這些方法都依賴于超完備系統。
Curvelet變換一個新穎而有趣的地方在于每一次的改進都導致了空域分辨率和角度分辨率的成倍增加；另外，方向隨尺度增加而增加的特性也是小波和其他方法所沒有的。鑒于curvelet變換是一種頻率定義的方法，因此能否有一種空域的算法也能使每一次的改進都能導致空域分辨率和角度分辨率的成倍增加？同時還必須看到，當圖像的邊緣并非C2的分段光滑函數時，curvelet的逼近性能就非最優了。如果邊緣是沿著有限長度的非正則曲線（有界的變差函數），則curvelet的逼近性能還不如小波；如果邊緣是沿著曲線的正則性為Cα，α＞2的曲線，則逼近的衰減指數保持在2，而非最優值α。
3．4Contourlet變換
雖然curvelet能夠很有效地捕捉曲線奇異性，但離散化的困難，促使M.N.Do和Martin Vetterli提出一種類似于curvelet方向性的多分辨變換，但它卻是直接產生于離散域的變換——contourlet[5，27]。Contourlet是一種真的二維圖像表示方法。這種方法可以很好地抓住圖像的幾何結構，并且因利用輪廓線段的構造方式產生了一種靈活可變的多分辨分析、局部和方向性的表示方法而得名。它可以通過一個拉普拉斯塔形與一個方向濾波組而構造。Contourlet可以滿足曲線的各向異性尺度關系，并且提供一種快速的、結構化的像曲線波一樣的分解采樣信號方法。與其他分析方式不同的是，contourlet允許在不同尺度下，有不同數目的方向，這也是它能成功逼近含C2曲線的光滑分段函數的主要原因。
反觀curvelet，其第一步是在連續域的變換，然后對采樣數據進行離散，而contourlet是從離散域構造出發，并研究了它在連續域的收斂。特別地，利用不可分濾波器組，contourlet提供了一種離散域的多分辨和多方向的表達方式。這在很大程度上，與起源于濾波器組的小波變換很相似。已證明，利用拋物線的尺度和足夠的方向消失矩，contourlet能夠對具有二次連續可微的曲線光滑函數達到最優的逼近。其冗余度比不到4/3，計算復雜度為O(n2 log n)。它已經成功地應用到圖像去噪等方面。
3．4．1Contourlet逼近能力
3．4．2小結
也應該看到contourlet的不足。對于大多數角度濾波器，contourlet并不能在頻域迅速局部化。在這種情況下，contourlet 變換的思想是不可靠的。這也意味著，在應用上contourlet 缺乏在空域中沿著脊線的光滑性，并且可能由于數值問題的原因出現偽振蕩，尤其是在處理科學計算問題時。理論上目前可知的是，contourlet并沒有形成像文獻[28，29]中的逼近理論和算子理論那樣雄厚的理論[24]。因此contourlet變換的理論基礎還需要完善，而它在包括圖像去噪方面的其他領域的應用還需要進一步探討。
3．5Bandelet和wedgelet變換
Pennec和Mallat在傳統小波分析的基礎上，提出了一種將圖像沿著在幾何流方向上拉伸的多尺度向量分解的基——bandelet 基[4，30]。這些幾何流暗示的方向是圖像灰度級含有規則變化的方向。Bandelet 基并不是預先選定的，而是以優化最終的應用結果來自適應選取具體的基組成的。Bandelet 基分解圖像時采用了一個快速子帶濾波算法，并且能充分利用圖像中邊緣奇異性的幾何特性，對于幾何規則圖形，bandelet基能夠達到最優逼近，其逼近性能可達M-α[30]。在圖像壓縮和去噪中，快速算法（對于n×n的圖像計算復雜度為O[n2(log2n)2])能使圖像最優化，因此使得圖像的變形最小。
Wedgelet[6]是David Donoho 研究如何從噪聲數據中恢復原始圖像的問題中提出來的一種方向信息檢測水平模型。這類模型中的邊緣具有Hlder 正則性。Donoho利用計算調合分析的思想，給出了一種新的具有方向性、局部性和尺度性的超完備原子集合——wedgelet。Wedgelet為水平模型中的物體提供了一種近似最優的表示方法，逼近精度可達M-2。這是一個自適應方法，主要用于檢測有噪圖像中線性奇異性的信息。
3．6Beamlet變換
在多尺度幾何分析蓬勃發展之下，D.L. Donoho和Xiaoming Huo (霍曉明)提出了一種新的多分辨率圖像分析框架。在此框架下，線段扮演的角色類似于點在小波分析中扮演的角色，稱之為beamlet分析[7]。Beamlet能夠比小波更有效地抽取圖像中的線性特征。
Beamlet變換以不同尺度、不同方向的線段作為基，圖像沿基作線積分，積分值作為目標函數再進行線特征提取。當前對beamlet變換的研究較為活躍，且beamlet變換已經在幾個重要科學領域取得了應用，如粒子物理中用于檢測強噪聲背景下粒子軌跡[34]、大尺度的宇宙結構測量[35]、二維圖像數據分析及二維體結構數據分析等[6，37]。
小波分析提供的是在某一特定尺度和位置下，在一固定的空間范圍附近，一種局部化的尺度/位置表示方法。Beamlet 具有位置、方向和尺度，但這些是基于二進組織的線段庫，它提供對所有線段集合的多尺度逼進。
Beamlet變換與小波變換相比具有以下的優越性:
a)Beamlet分析除有效提取位置、尺度信息之外，還可以提取方向信息。
b)Beamlet似針(needlelike)的分析工具，以線基表示邊緣，效率顯然比小波(點基)高得多。
c)圖像中的線特征往往具有空間關系[38，39]，如有些線是同一條直線，有些是互連的曲線，有些是封閉的曲線。小波變換體現不出這種結構關系，而beamlet變換可以。其中David.L.Donoho等人就提出四種結構算法[30]。
Beamlet 分析發揮了一個基本的逼近理論的角色。Beamlet 鏈給出了平面內精密曲線的稀疏逼近表示、一定意義上的最優表示。與小波的稀疏表示相比，小波分析提供的是對光滑函數的最優稀疏表示，而beamlet提供的是對圖像中光滑曲線的最優稀疏表示。
Beamlet理論對于含噪聲的細線檢測和邊界尋找問題提供了基本而正確的數據結構。Beamlet金字塔包含圖像在所有尺度和位置上對線段的積分。在某些信號檢測問題中，通常的基于像素級濾波的檢測器的信噪比很差，因此其檢測概率較低。然而隱藏在金字塔中的信息可以以較高的信噪比積分，完成普通濾波或普通邊緣檢測方法所不能完成的任務。另外，還有一些多尺度的分析方法，詳見文獻[40~42]。
4結束語
本文以圖像的稀疏表示為主線，探討了目前主要的幾種多尺度表示方法，闡明了它們各自產生的背景和發展歷程，并仔細分析各種表示方法的逼近能力；同時也指出了各自的優缺點和發展方向。
多尺度幾何分析是近幾年才發展起來的一種新的圖像稀疏表示方式，它對光滑的分段函數能夠達到最優逼近。它已經成功地應用于圖像去噪、壓縮、特征提取等方面。多尺度幾何分析無論從理論還是應用來說，現階段都是其發展的黃金時期。當然由于發展時間較短，理論基礎還有待發展和完善，有些問題還需要進一步解決， 許多新的應用領域還需要探討。但筆者相信，它一定會擁有廣闊的應用前景。
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