撲克游戲中的數學

很多人都會玩撲克，但可能不一定注意到撲克游戲中還有許多數學知識。先看洗牌，發牌前，為了力爭公平，一般都要洗一下。洗牌的目的是亂序，也就是將一疊撲克的原有重疊關系打亂，以增加游戲的不確定性，或者說增加隨機性，給眾牌友心理上一個期望：以免某人每次都拿到較好的牌，在機會上更具均衡性。

洗牌有抽洗法，也叫印度洗牌法，抽洗是粗略地打亂上下重疊關系：還有混洗，也叫交叉洗、對洗或彈洗；另外還有一種里夫洗牌法，但洗牌效果與混洗差不多，只是握持手法有不同。

有兩位曾出入賭場的數學家留意過洗牌過程中的數學原理。他們發現，混洗7次就可以完全洗轉，也就是洗凈度可達到99.99％。這兩位數學家就是美國哈佛大學的岱科尼斯和哥倫比亞大學的貝爾。他們長期觀察玩牌時人們的洗牌方式，最后發現一種有效洗牌方式，即彈洗——將牌分成兩半，然后交互切入的洗牌法——如果繼續洗到第七次，遞增數列可達26組，這副牌幾乎就看不出原來的順序了，也就是說一副撲克牌彈洗七次就洗“干凈”了。

后來，英國牛津大學的數值分析教授特里費頓和他的父親，一名機械工程教授一道分析研究了許多副牌，根據他們的研究報告，一副按順序排列未被洗過的牌中，總共包含了225.58 bits(比特，二進制數系統中的單位)的資訊，這些資訊將會在洗牌過程中逐漸被洗掉。

特里費頓父子利用電腦程式來彈洗這些牌，發現第一次彈洗后，牌里剩173.58 bits的資訊：第二次彈洗后剩121.58 bits的資訊。如果只想要讓牌混亂化，其實只要彈洗五六次就夠了。彈洗六次后，這副牌就洗掉99％的資訊了(如下表)。

洗牌不可能花很多時間，很少有人有耐心混洗7次。大多是僅抽洗幾次，混洗一次，就開始發牌。其實打完一盤，收起來的牌，次序本來就是很混亂無序的。

那么洗牌、發牌，究竟誰輕誰重?我們先看看發牌的組合的可能性。撲克是54張，每張不重樣，某張牌到手的概率是1/54。撲克牌的玩法，各地有許多種，因而有不同的發牌模式。

先說現在全國很流行“斗地主”，這是3個人打，要用到大小鬼，留底3張，每人發17張，能發出的組合數為：

C¹⁷₅₄×C¹⁷₃₇×C¹⁷₂₀=854 990 375 116 200 574 569318 000 000(30位數)。

再說“打千分”，這是4個人打，不用大、小鬼，留底4張，每人發12張，能發出的組合數為：

C¹²₅₂×C¹²₄₀×C¹²₂₈×C¹²₁₆=63 839473 138 338 558 845 060 855160 000(32位數)。 “拱豬”這種玩法不用鬼，不留底，全發完，還有橋牌也是這樣發牌的。52張發給4個人，能發出的組合數為：

C¹³₅₂×C¹³₃₉×C¹³₂₆×C¹³₁₃=53 644737 765 488 792 839 237 440000(29位數)

至于其他玩法的發牌模式，分別有不同的組合，有興趣的牌友可以算一算。

從以上幾種玩法可看出，發出牌的組合樣本空間是極其巨大的，達29～32位數，只能用電腦的計算器才能完成計算。這天文數字般的組合樣本空間，說明它具備的隨機性極強。我們常說彩票中的特等獎、一等獎是小概率事件。如江蘇風彩(35選7)中一等獎的概率是1/6724520，浙江風彩(34選7)中一等獎的概率是1/5379616，北京體彩(36選7)中特等獎的概率是1/8347680等等。可以看出，無論是香港的六合彩，還是內地的形形色色的彩票，其能產生的組合樣本空間，比撲克的組合樣本不知要小多少倍。

有這些數學上的知識，在牌友們玩牌時就會明白洗牌主要是心理上的、習慣上的需要，而不是洗得越徹底越好。洗牌的目的是增加隨機性、增加不確定性。由于發出牌的組合是極大的天文數字，每一種出現的概率是極小的，它所具有的隨機性也是極大的。只要動一動重疊的牌，如任意切一下，或隨便洗一下，發出的牌就會完全不同。4位牌友要拿到一副一模一樣的原來打過的牌，是他們一輩子也碰不到的事。

責任編輯 龐 云