風暴來襲

一、輕風級

莊庫買了智力拼圖、玩具汽車和航模三種玩具，已知它們的數目是各不相同的質數，而且滿足“智力拼圖數×(玩具汽車數+航模數)=110+航模數”，問莊庫買了多少個玩具汽車?

思路點擊：用奇偶分析法解答。

因為智力拼圖、玩具汽車和航模的數目是各不相同的質數，若都是奇數，則等式左邊是偶數，右邊是奇數，矛盾，所以必有一個質數是偶數，唯一的偶質數就是2。其他的兩個質數就是奇數了。

(1)如果智力拼圖數是2，則等式左邊為偶數，右邊為奇數，矛盾。

(2)如果航模數是2，則等式左邊為奇數，右邊為偶數，矛盾。

(3)所以只能是玩具汽車數是2。

智慧存檔：

質數中唯一的偶數是2，2在質數中比較特殊。有關質數問題的許多賽題都與它有關。同學們要結合奇偶分析法解題。

模擬操練(一)

(1)兩個質數的和是80，這兩個質數的積最大是多少?

(提示：兩個數的和一定，差越小，積越大)

(2)已知A×B+13=x，其中A、B均為小于1000的質數，x是奇數。那么x的最大值是多少?

二、微風級

判斷109和437是質數還是合數。

思路點擊：對于一個不很大的自然數n(n＞1，為非完全平方數)可以用質數試除的方法判斷它是質數還是合數。先找出一個大于n的最小的完全平方數a²，再寫出a以內的所有質數，如果這些質數都不能整除n，那么n是質數；如果有一個質數能整除n，那么n是合數。

109＜112，而11以內的質數有2、3、5、7，他們都不能整除109，所以109是質數。

437＜441，21以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19，用每一個質數逐一去試除，19能夠整除437，所以437是合數。

智慧存檔：

對于一個不很大的自然數n，要判斷它是質數還是臺數，可以先找出一個大于n的最小的完全平方數a²，再寫出a以內的所有質數，如果這些質數都不能整除n，那么n是質數；如果有一個質數能整除n，那么n是合數。

模擬操練(二)

判斷119和227是質數還是合數。

三、和風級

明明、茜茜和樂樂是住在一個小區的三個數學迷，他們的年齡一個比一個大5歲，樂樂最大，茜茜最小。已知他們年齡數的乘積是1 620。你知道他們三人各有多少歲嗎?

思路點擊：

用分解質因數的方法先將1620進行分解，然后根據他們的年齡一個比一個大3歲的條件將分解出來的質因數進行組合。

因為1620=2×2×3×3×3×3×5 ……分解

=9×12×15……組合

所以樂樂是15歲，明明是12歲，茜茜是9歲。

智慧存檔：

先分解質因數，再根據題意將分解的質因數進行重新組臺，這種方法在小學數學解題中經常用到。

四、清風級

班主任老師帶領學生去種樹，學生平均分成5組，師生每人種樹棵數相等，已知師生共種樹572棵。一共有多少個學生?每人種多少棵樹?

思路點擊：

由題意可知，師生人數和每人種樹棵數都是572的約數，學生人數是3的倍數，再加上1位老師，師生人數除以3余1。將572分解質因數得：572＝2×2×11×13=每人種樹棵樹×人數。

按照題意搭配重組得出：572＝11×(13×2×2)=11×(51+1)。所以這個班共有學生51人，每人種樹1 1棵。

智慧存檔：

分解后的重組要根據題目的條件，結合數量關系式具體安排。

模擬操練(四)

(1)小華翻開《數學大王》看了看這相鄰兩頁的頁碼數，發現它們的積是210。你知道這兩個頁碼各是多少嗎?

(2)楊老師用216元錢買了一種筆記本，正好將錢用完。如果每本筆記本便宜1元，則可多買5本，錢也正好用完。楊老師一共買了多少本筆記本?

五、強風級

一個不為0的自然數A與1080的乘積是一個完全平方數。求A的最小值和這個完全平方數。

思路點擊：

一個完全平方數分解質因數后各質因數的個數一定是偶數個(寫成各質因數的若干次方的形式，指數是偶數)。因為1080 x A=2³×3³×5×A，又因為1080=2³×3³×5的質因數中各質因數的指數都是奇數，所以A肯定包含質因數2、3、5，要湊成完全平方數A最小為2×3 ×5=30，這樣所有質因數的指數都成了偶數。這個完全平方數就是1080÷A=1080×30=32400。

智慧存檔：

完全平方數的尾數一定是0、1、4、5、6、9。奇數的平方是奇數，尾數只能是1、5、9。偶數的平方是偶數，其尾數只能是0、4、6。

模擬操練(五)

1512乘一個不為零的自然數a得到一個平方數，求a的最小值。

六、疾風級

一個自然數可以分解為3個質因數的積，如果這3個質因數的平方和為39630，求這個自然數。

思路點擊：

因為奇數的平方是奇數，偶數的平方是偶數，而39630是偶數，所以三個質因數的平方的奇偶性只能是兩奇一偶，于是3個質因數也只能是兩奇一偶。可以肯定有一個質因數是2。那么另兩個質因數的平方和為39630-2²=89626，而奇數平方的末位數只能是1、5、9。所以這兩個質因數的平方的末位數字為1和5，于是可以確定有一個質因數是5。還剩下一個質因數的平方為39626-5²=39601，用估算的方法可得199²=39601，因此有個質因數是199。所以所求自然數為2×5×199＝1990。

模擬操練(六)

算式1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×2×3×3×5× 6的得數是否可能為完全平方數?

七、大風級

在100至300之間，只有三個因數的數有哪些?

思路點擊：

因為只有3個因數的數一定是質數的平方數。而在100至300之間共有7個平方數：11²、12²、13²……17²。只有11、13、17是質數。所以只有三個因數的數是：121(11²) 169(13²) 289(17²)。

智慧存檔：

完全平方數有奇數個因數，只有奇數個因數的自然數是完全平方數。只有3個因數的數一定是質數的平方數。

模擬操練(七)

在150至550之間，只有三個因數的數有哪些?

八、烈風級

要使乘積195×86×72×380×□的末5位都是零，□中應填入的自然數最小應該是多少?

思路點擊：

乘積中只要含有質因數2和5各一個，乘積末尾就出現1個零。根據題意可知乘積中應該含有質因數2和5各5個，可以將195、86、72、380都分解質因數，找一找各有幾個2和5，不足5個的就是口中應該補足的。

195×86×72×380＝5×3×1 3×2×43×2×2×2×3×3×2×2×5×19=5²×2⁶×3³×13×19×43，可知還缺5³。所以□中最小填5³=125。

智慧存檔：

在所有的質因數中，只有2與5的乘積的末尾有零，且只有一個零，因此一個質因數相乘的式子中含有幾個2與5的積，其末尾就有幾個零。

模擬操練(八)

要使乘積25×26×27×28×29×30×□的末5位都是零，□中應填入的自然數最小應該是多少?

九、狂風級

360的因數有多少個?360的因數的和是多少?

思路點擊：

如果找一個比較小的數的因數，可以用列舉法，但是寫出一個較大的數的因數就比較麻煩了。可以借助分解質因數的方法。

因為360=2³×3²×5，2³有1、2、2²、2³四種因數情況；3²有1、3、3²三種因數情況；5有1、5兩種因數情況，所以360有4×3×2=24(個)因數，即(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(個)(指數加1連乘)。

360的所有因數的和是(1+2+2²+2³)×(1+3+3²)×(1+5)=1170。

智慧存檔：

一個大于1的整數的因數個數等于它的質因數分解式中每個質因數的個數(指數)加1的連乘積。

模擬操練(九)

(1)600的因數有多少個?并求出這些因數的和是多少。

(2)筐里有300個桃子，如果不是一次全部拿出，也不是一個一個地拿，要求每次拿的個數同樣多，拿到最后正好不多不少，問共有多少種不同的拿法?

十、暴風級

有8個不同因數的自然數中，最小的一個是多少?

思路點擊：因為8=1×8=2×4=2×2×2＝(7+1)：(1+1)×(3+1)=(1+1)×(1+1)×(1+1)

若令a、b、c為較小的三個不同的質數，那么所求的自然數只能有三種情況：a⁷、a×b³、a×b×c。最小的三個質數是2、3、5。所以a⁷=2⁷=128，a×b³：3×2³：24，a×b×c=2×3×5=30。所以最小的一個是24。

模擬操練(十)

有一個自然數含有8個不同的因數，但質因數只含有5和5，那么這個自然數最大是幾?