期權隱含波動率估計

　　【摘要】隱含波動率是一個重要的風險指標。本文用牛頓法對其估計并討論波動率笑容的成因以及在此情況下的估計方法。
　　
　　波動率是對資產收益不確定性的衡量，普遍應用于投資組合選擇，資產定價以及風險管理各個方面。對波動率的估計十分重要。波動率的估計主要分類兩類：一類是歷史估計法；另一類是隱含波動率法。歷史波動率法包括簡單加權移動平均法，GARCH等方法。但無論是等權重的簡單平均還是隨機波動的GARCH對真實波動率估計都沒有隱含波動率有效。
　　
　　一、隱含波動率估計
　　
　　隱含波動率是指在Black-Scholes（BSM）期權定價的公式中，在其他參數已知的情況下，反解出的波動率， BSM公式如下：
　　其中，C是看漲期權的價值，S為基礎資產的現行市價，K是期權和約的執行價格， r是以年利率來表示的無風險利率，T為和約的期限， σ為基礎資產收益率的標準差。筆者使用Newton-Raphson方法，迭代公式：
　　確定一個誤差門極限值E，當本次迭代的估計誤差|Yi+1-P|＜E時，停止迭代。Yi+1是期權的理論價值，P是期權的實際交易價值，這樣就能反解出隱含波動率，這個波動率是面向未來的。
　　
　　二、隱含波動率笑容成因及估計
　　
　　隱含波動率不是一個常數。對于同一標的資產來說，波動率應該一致。但事實上不同的到期日和敲定價格會產生不同的隱含波動率，就是所謂波動率笑容。按相同到期日，把執行價格相對于標的資產市場價格的百分比作為自變量（即對執行價格進行了標準化），把相應的隱含波動率作為因變量，可以得到一條隱含波動率隨執行價格變化的U型曲線。即當期權處于評價狀態附近時，其所對應的隱含波動率處于較低的水平，當期權遠離平價狀態時，其所對應的隱含波動率將不斷增加。會產生這種現象有以下幾種解釋：
　　（一） 影響要素說認為，期權定價公式所考慮的要素不全，因此無法得到與實際相符合的結果，例如期權在很深的虧價中時，其相應的價格會非常低。做多的勢力大于做空的勢力，這時真實價格要遠高于平價期權理論價格，從而夸大了隱含波動率。也就是說在深度虧價或者盈價期權中，投機者的心理是一個重要因素而未被期權定價公式考慮。
　　（二）交易成本說，把波動率笑容歸因于期權定價模型，忽略了交易成本。例如買賣價差，當處于較深的虧價狀態時，相對于較低的市場價格，價差就顯得比較大，加上價差后實際的市場價格就明顯高于理論價格，產生高隱含波動率。
　　（三）分布說認為，股價不服從對數正態分布，而是有很濃的肥尾，即偏態分布，比如分布的右尾越厚，期權的價值將越高于平價期權所計算出的理論價值。還有可能是一種細長峰谷分布。無論出現哪種情況，都將動搖BSM模型基礎，即假設股票的價格是呈對數正態分布，而真實分布不是正態時，那么市場價格將不同于該模型的理論價值。
　　隱含波動率還有期限結構問題，即在同一敲定價格上。隨著到期日的不同，期權價格不同，隱含波動率也不同。但是隨著到期日的增加趨向于長期平均波動率，這就是著名的波動率錐，并且此時波動率的笑容越來越扁平，也就是說笑容將不存在而逐漸趨向一個常數。
　　綜上所述，BSM模型隱含波動率是一個長遠的平均隱含波動率，從遠期來說沒有任何問題，但在短期波動率的計算上一定要注意波動率的笑容，對于某一特定標的資產應采用加權隱含波動率。有三種加權法：以交易量，以與平價期權的距離和以各自的Vega為權重加權。
　　1．交易量加權法，對任意一個期權品種權重是該品種期權交易量與該期權總交易量的比值。
　　2．距離加權法，就是以當前標的資產的市場價格S和各期權品種的敲定價格 和我們設置一個閥值A，得出距離公式 Zi=[（|（S-Xi）/S|-A）/A]2來計算。
　　3．Vega加權法，這里的Vega是指期權價格對于標的資產的波動性的敏感系數，公式為
　　最新方法是構造波動率距陣。首先，利用該期權的市場價格，對具有不同敲定價格和不同到期日的期權品種分別計算隱含波動率；其次，將敲定價格標準化，即用敲定價格除以標的資產當時的市場價格；最后，將所得到的隱含波動率按到期日和標準化敲定價格進行排序，就形成了波動率距陣。在此基礎上算出波動率笑容指數距陣，即對給定的到期日，用不同的執行價格所對應的隱含波動率除以該到期日平價期權所對應的隱含波動率，再乘以100，就得到所謂的笑容指數（VSI）距陣，可以利用它來估計未來的隱含波動率。首先根據期權定價公式算出當前平價期權的隱含波動率V，再根據到期日和敲定價格在笑容指數距陣中找出對應的VSI，則其波動率就是 V×VSI/100。
　　
　　三、隱含波動率的研究方向
　　
　　當代波動率的研究方向：
　　（一）用新的模型來代替BSM模型，在這個模型中波動率是資產和時間的函數。
　　（二）實際波動率模型，使用高頻數據研究日內累計收益平方和并將它作為實際波動率的無偏估計，當抽樣頻率趨向于無窮時，實際波動率是沒有誤差的，就是隱含波動率的真實值。
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