錐形樁形成的物理機制探究*

孫瑞雪，孫葳清，黃力行，吳建琴，馬曉棟

（新疆師范大學 物理與電子工程學院，新疆 烏魯木齊 830054）

2018年中國大學生物理學術競賽第七題：用非粘性顆粒物質可以澆筑形成圓錐形樁，研究影響錐體形成的參數及其與地面的角度。目前，國內對這方面的學術研究較多[1-6]，且大多數學者都是從顆粒物質的直徑、錐形樁的高度、顆粒物質表面的摩擦力和靜止角等方面，對錐形樁的形成過程進行了探討；而通過實驗去探究錐形樁的形成因素的研究卻很少[1]。國外學者S.Dorbolo等人用數值模擬去研究錐形樁形成后的靜止角和底面半徑等因素，對于實驗裝置也設定了一定的角度[2]。筆者在前者的理論基礎上采用控制變量法對形成錐形樁的影響因素逐一進行實驗探究，例如錐形樁的靜止角、高度、底面半徑，為今后研究學術性競賽題目提供參考。

1 構建模型

所謂靜止角，是指在澆筑形成錐形樁時，顆粒物質相對于水平面的最陡下降角或傾角；因為在這個角度下，斜面上的物質處于相對滑動的邊緣，故又稱其為臨界靜止角[3]，范圍在0°到90°不等；如圖1，經力學簡單表述可知靜止角與顆粒物質表面間靜態摩擦系數存在一定聯系[4-5]。

圖1 斜坡面上的物質處于滑動狀態的分析圖

構建理論模型如圖2，根據日常生活經驗猜想出澆筑錐形樁的物理過程。

圖2 形成錐形樁的理想模型

相關參數為：V表示非粘性顆粒物質的總體量；T表示顆粒物質全部流出并完成澆筑的總時間；ν0表示非粘性顆粒物質出口時的流速；S0表示出口處的橫截面積；H為漏斗口到水平面的距離；h為錐體的高度。θ是靜止角，r0是錐體的底面半徑，h（t）是任意時刻錐形樁的高度。

根據所建構的模型可推導出：

由此可知：（1）出口處顆粒物質的流速影響形成錐形樁的快慢；（2）形成錐形樁過程中自身參數的相互關系（該錐形樁的約束關系），為實驗的探究過程提供有效論證，以下的實驗中則著重探究錐形樁自身參數的約束關系。

所采用的實驗裝置：如圖3（a），用鐵架臺將漏斗固定，便于在實驗中靈活調節高度；一個近似于二維平面的實驗裝置如圖3（b），便于測量錐形樁的靜止角與高度。近似于二維平面實驗裝置類似于一個矩形（長40cm、寬2cm、高30cm），其底部是較為光滑的材質，減少了顆粒物質下落時與底部碰撞所產生的摩擦力；在裝置的兩端都固定了30cm高的擋板，便于澆筑時更直觀地觀察到錐形樁的狀態。澆筑過程中漏斗口應垂直于水平桌面。

圖3

2 錐形樁影響因素的實驗探究

2.1 不同流速的影響

采用控制變量法進行探究。選取相同體量的玉米粉、白砂糖、小米，分別依次從口徑不同且置于同一高度的漏斗中流出，形成錐形樁（注：漏斗口到底面高度H=10cm；顆粒物質體量V=55cm3）。錐形樁澆筑完成后，分別測量出樁的高度h和樁底面最大直徑d；通過公式計算出顆粒物質的出口流速，進行多組實驗并取平均值，數據如表1所示。

表1 不同流速的影響

由表1可知，同一體量不同種物質，經同一口徑漏斗流出，其流速各不相同，但澆筑成形的錐形樁參數近似一致；同一體量同種物質，經不同口徑流出，錐形樁參數也近似一致。從而得出結論：流速對澆筑形成錐形樁的過程影響不明顯。

2.2 澆筑時間與靜止角的關系

選取兩種顆粒物質并設定其流速和高度都相同（S0=1.28cm2、H=10cm）的情況下，測量其下落過程中不同時間段內所形成錐形樁的參量（h（t）、θ、r0），經多組實驗取平均值如表2。

表2 不同下落時間對錐形樁的影響

由表2可知，當顆粒物質流速、下落高度一定時，同種顆粒物質和不同種顆粒物質所澆筑的錐形樁的形狀及其靜止角不同。原因在于在澆筑過程中錐形樁體逐漸增大，流至樁形表面的顆粒物質公攤面積增大，此時顆粒物質滾動速度加速減小，因此顆粒物質在樁面的穩定性增大，故而其靜止角增大。

2.3 自然生長的顆粒物質大小對靜止角的影響

研究自然生長顆粒物質是否影響靜止角的大小時，分別選取小米、大米、綠豆為研究對象，其實驗過程中分別形成錐形樁；測量并記錄實驗數據：小米直徑1-1.5mm，靜止角30°；大米直徑1-3mm，靜止角32°；綠豆3-4mm，靜止角40°。由此可知當三種顆粒物質的體量與流速一定時（S0=1.28cm2），其澆筑形成的錐形樁形狀各不相同（即靜止角的大小不同）；換而言之，體量與流速一定時，不同顆粒物質構成的非粘性顆粒錐形樁，在近似的二維平面上形成錐形樁的靜止角是明顯不同的。

自然顆粒物質自身半徑越大，其所澆筑錐形樁的靜止角就越大。這是因為自然生長的顆粒表面光滑，且顆粒越小光滑程度也就越大，而顆粒較大其表面就容易形成紋路，也因此容易形成凹凸不平的疤痕，使其摩擦力較大，故而在堆積過程中減少了相對滑動，錐形樁就越高，靜止角也就越大。所以自然顆粒物自身半徑越大其澆筑錐形樁的靜止角越大。

2.4 研磨顆粒大小對靜止角的影響

選擇體量相同的三份大米分別置于研磨機里研磨，通過控制其研磨時間為變量，得到三份不同研磨程度的顆粒物質，使其分別通過三個相同漏斗（S0=1.28cm2）澆筑形成錐形樁，經過實驗及測量發現其靜止角各不相同，實驗數據為：大米研磨5分鐘時靜止角為29.35°，研磨10分鐘時靜止角為34.24°，研磨15分鐘時靜止角為40.17°，且經過研磨后顆粒研磨越小越細，靜止角就越大。

通過理論分析可知，之所以大米研磨越細其形成錐形的靜止角越大，是因為經過研磨后的顆粒物質表面是粗糙的，從而導致表面纖維相接觸摩擦力大；另外，隨著研磨程度的增大，顆粒物質面積減小的程度比顆粒物質體積減小的程度小，而顆粒物質面積正比于摩擦力，顆粒物質體積正比于顆粒物質重量，顆粒物質單位質量所受的摩擦力增加，所以研磨越細靜止角越大。

2.5 探究錐形樁的形成過程及底面碰撞的關系

以小米、白砂糖兩種物質為研究對象，來探究非粘性顆粒分別在硬質桌面、泡沫板上澆筑錐形樁的影響因素。在實驗過程中發現，非粘性顆粒在于底面接觸初期與底面發生了碰撞，且碰撞恢復系數不同；底面彈性越好，非粘性顆粒與之發生碰撞就越劇烈，澆筑初期在底面上隨機鋪開的面積也就相對越大，但在錐形樁澆筑形成穩定之后，便與底面無關。

3 結束語

本文對非粘性顆粒物質形成錐形樁的過程，及其相關參數進行了詳細的理論分析和實驗探究。發現非粘性顆粒物質自身的形狀、尺寸都會影響它所澆筑形成的錐形樁的大小（靜止角）：（1）隨著時間的變化錐形樁的大小也在變大，靜止角增大；（2）顆粒物質越大，靜止角越大；（3）研磨后顆粒物質越小越細，靜止角越大；（4）非粘性顆粒物質下落時的流速和顆粒物質接觸底面的粗糙程度都不影響錐形樁的大小和靜止角的大小。在本次實驗探究過程中，其結論與任博等人的研究結論較為吻合[1]；但所采取的探究方式與任博等人有不同之處[3-6]，如：（1）物質種類的選取比較多樣，能夠發現在形成錐形樁的時候多個因素的考慮；（2）對靜止角和底面半徑的影響做了詳細的討論。