怎樣解答函數應用題

小學里，我們學習了用算術方法解應用題，進入初中之后，我們學會了用方程方法解應用題，現在我們又學習了用函數解答應用題.用算術方法解應用題，關鍵是列算式;用方程方法解應用題，關鍵是列方程或方程組;用函數知識解答應用題，關鍵又是什么呢?關鍵當然是求出蘊含于實際問題中的函數解析式，然后運用函數性質去解答各種各樣的實際問題.

下面，我們通過實例來談談怎樣運用一次函數來解答應用題.

例1(2006年臨沂課改區中考試題)一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的.估計步行不能準時到達，于是他改乘出租車趕往考場.他的行程s與時間t的關系如圖所示(假定總路程為1)，則他到達考場的時間比一直步行提前了().

(A)20分鐘(B)22分鐘

(C)24分鐘(D)26分鐘

分析:本題由圖象給出已知條件，是圖象信息題.由已知，這位考生步行時，用10分鐘走了總路程的，如果他繼續步行走完全程，則需要40分鐘.10分鐘之后，這位考生改乘出租車，要求出他到達考場總共用了多少時間，因此我們必需求出10分鐘之后的那段圖象的函數解析式.由函數圖象提供的信息，有兩個點(10，)，(12，)在這個圖象上，這樣，后一段圖象的解析式可求.

解:設t≥10時的函數圖象解析式為s=kt+b，將兩點(10，)，(12，)代入得:10k+b=，12k+b=，得k=，b=-1.所以s=t-1.

當s=1時，解t-1=1得t=16(分).

這說明，僅需16分鐘，這個考生可到達考場.如果他一直步行需40分鐘，這位考生提前40-16=24分鐘到達考場.故選(C).

本題也可用算術方法解:

解法2由圖象知，這位考生乘出租車之后，僅用2分鐘走了全程的，那么出租車走完全程的只要6分鐘，到考場實際用16分鐘，比一直步行前往提前40-16=24分鐘.選(C).

例2(2006年遵義市中考試題)我市某停車場在“五一”節這天停放大小車輛共300輛次.該停車場的收費標準為:大車每輛次5元，小車每輛次3元.解答下列問題:

(1)寫出“五一”節這天停車場收費總金額y(元)與大車停放輛次x(輛)之間的函數關系式;

(2)如果“五一”節這天停放大車輛次占停車總輛次的15%~35%.請你估計“五一”節這天停車場收費金額的范圍.

分析:(1)因為停車場“五一”這天的“收費總金額=大車停放收費金額+小車停放收費金額”，大車停放為x輛，收費金額為5x元，小車停放為(300-x)輛，收費金額為3(300-x)元，這樣，y與x的函數關系式不難求出;(2)當x值為總數300輛次的15%~35%時，x值的范圍可求，相應的y值范圍也可求.

解:(1)由題意知:y=5x+3(300-x)，化簡得:y=2x+900(0≤x≤300，x為整數).

(2)300×15%=45，300×35%=105，因此大車停放輛次為45~105輛次.

當x=45時，y=2×45+900=990(元).

當x=105時，y=2×105+900=1110(元).

答:估計“五一”節這天停車場收費金額為990~1110元之間.

例3(2006年山東臨沂課改區中考試題)某報亭從報社買來某種日報的價格是每份0.3元，賣出的價格是每份0.5元，賣不出的報紙可以按每份0.1元的價格退還報社.經驗表明，在一個月(30天)里，有20天每天只能賣出150份報紙，其余10天每天可以賣出200份.設每天從報社買進報紙的份數必須相同，那么這個報亭每天買進多少份報紙才能使每月所獲利潤最大?最大利潤是多少?

分析:設報亭每天買進x份報紙，把x設定在150≤x≤200(x為整數)的范圍，每月可獲利潤y元.10天中，如果全賣掉可獲利(0.5-0.3)x×10元，20天中由題意可獲利(0.5-0.3)×150×20元，賣不掉的報紙虧損(0.3-0.1)(x-150)×20元，前兩部分獲利之和減去虧損的部分即為月利潤.

解:設該報亭每天從報社買進報紙x份，所獲月利潤為y元.由題意得:y

=(0.5-0.3)x×10+(0.5-0.3)×150×20-(0.3-0.1)(x-150)×20，化簡得y=-2x+1200(150≤x≤200).

由于k=-2<0，所以y隨x的增大而減小.

所以當x=150時，y有最大值，其最大值為y=-2×150+1200=900(元).

答:報亭每天從報社買進150份報紙時，每月獲得最大利潤，最大利潤為900元.

例4(2006年長沙市實驗區中考試題)我市某鄉A#65380;B兩村盛產柑桔，A村有柑桔200噸，B村有柑桔300噸.現將這些柑桔運到C#65380;D兩個冷藏倉庫，已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸;從A村運往C#65380;D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B村運往C#65380;D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸，A#65380;B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元.

(1)請填寫下表，并求出yA#65380;yB與x之間的函數關系;

(2)試討論A#65380;B兩村中，哪個村的運費較少;

(3)考慮到B村的經濟承受能力，B村的柑桔運費不得超過4830元.在這種情況下，請問怎樣調運，才能使兩村運費之和最小?求出這個最小值.

分析:這是一個運輸方案的設計問題.當A村運往C倉庫的柑桔重量x(噸)變化時，yA#65380;yB也隨著變化.第(1)題的表格數據的填寫，實際上是數據的梳理和分析過程，為求yA#65380;yB的函數關系式作準備，根據“運費=運往C村的運費+運往D村的運費”即可求yA#65380;yB的函數關系式;第(2)問是yA與yB值的比較，應分別討論yA>yB#65380;yA=yB#65380;yA

解:(1)A村運往D處(200-x)噸，B村運往C處(240-x)噸，運往D處為:260-(200-x)=60+x噸.

所以yA=20x+25(200-x)=-5x+5000(0≤x≤200);

yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680 (0≤x≤300).

(2)當yA=yB時，由-5x+5000=3x+4680，得x=40(噸);當yA>yB，由-5x+5000>3x+4680，得x<40，由(1)得0≤x<40;當yA40，由(1)得40

答:當x=40時，A#65380;B兩村的運費相等;當0≤x<40時，A村運費較大;當0

(3)當yB≤4830時，解3x+4680≤4830，得x≤50.

設兩村運費之和為y(元)，由y=yA+yB=-5x+5000+(3x+4860)=-2x+9680，又因為0≤x<50，函數y=-2x+9680隨x的增大而減小，所以當x=50時，y有最小值:y=-2×50+9680=9580(元).

答:當A村調往C倉庫柑桔為50噸，調往D倉庫為150噸，B村調往C倉庫為190噸，調往D倉庫為110噸時，兩村的運費之和最小，最小運費為9580元.

從以上幾個比較典型的例子的解答中，我們可歸納出解答函數應用題的基本方法是:

(1)仔細審題.理清實際問題中的數量關系，特別是找已知條件中兩個變量之間的變化狀況#65380;變化規律，找出聯系這兩個變量關系的一個相關量，為建立函數關系式作好準備.

(2)設.將實際問題中相互制約的兩個變量設為x#65380; y(當然也可設為其他字母;題意中已設的，這一步可省).

(3)列.列出x#65380; y之間的關系式，化簡，寫成用x表示y的式子;必要時，確定自變量x的取值范圍(在不少實際問題中，這個范圍非常重要).

(4)解.運用函數的性質(或者畫出相應的圖象)，針對實際問題提出的解題目標，作出解答.

(5)答.檢驗答案是否符合實際，寫出完整的答句.

審#65380;設#65380;列#65380;解#65380;答，這幾步，不也正是列方程解答應用題的基本步驟和方法嗎?上述幾步中，分析是基礎，列函數關系式往往是解答的關鍵!

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