用數學方法求解高中物理極值

描述某一過程或某一狀態的物理量，在其發展變化中，由于受到物理規律和條件的制約，其取值往往是能取在一定范嗣的邊界值等一些特殊值。由此，物理問題中常常涉及到這些物理量的特殊值的問題。我們把這些問題稱為極值間題。在各種習題和高考習題中，此類問題屢見不鮮。極值問題是高中物理習題中常見的一種題型，掌握這類習題的特點，加強這方面的訓練和指導，有利于提高學生的理解能力、推理能力和分析綜合能力。

常見的極值問題有兩類：一類是直接指明某量有極值而要求其極值，另一類則是通過求出某量的極值，進而以此作為依據而解出與之相關的問題。中學物理中涉及到的一些求極值的問題，使有的同學感到十分棘手，其原因是，此類問題的綜合性較強、靈活性大。本文對求解極值問題的方法歸納如下，供參考。

一、運用二次函數的極值求解

此方法主要根據二次函數y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，當x＝－b/2a時，有極值y_m＝(4ac－b²)/4a，其中當a＜O時，y_m為最大值，當a＞0時，y^m為最小值。

例1 在電場強度為E的水平勻強電場中，以初速度v₀豎直向上發射一個質量為m，電量為q的小球，求小球從運動開始需多少時間速度達到最小值，并求出最小值。

解析：設物體的運動時間為t時，豎直向上的速度為v₁，水平勻加速運動的速度為v₂，則有：

二、運用均值不等式求解

例2 如圖1所示，為一穩壓電路，電源電動勢為E，內阻為r，負載電阻為R，求當R取何值時電源的輸出功率為最大值，并求出最大值?

解析：設電源的輸出功率為P，則有：

因為(r²/R)·R＝r²(定值)，故當r²/R＝R時，即R＝r時，r²/R＋R有最小值2r，這時P為最大值p_max，即p＝E²/4r。

此方法主要根據三角函數sin(θ＋φ)＝±1時，asinθ+bcosθ有最值，且taφ＝b/a。

例3 如圖2所示，用力F拉一物體在水平地面上勻速前進，物體的質量為m，物體與地面間的動摩擦因數為u，欲使F為最小，則F應與豎直方向成多大的夾角?最小的力為多大?

解析：設F與豎直方向的夾角為0，物體勻速前進則有：

四、運用判別式法求解

此方法主要根據一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的判別式△＝b²＋4ac來確定各物理量之間的相互關系進行求解。

例4 如圖3所示，處于平直軌道上的甲、乙兩物體相距s，同時開始向右運動。甲以速度v做勻速運動，乙做初速度為零的勻加速運動，加速度為a。試求a應該滿足什么條件才能使兩物體相遇?

解析：設經過時間t兩物體相遇，相遇時兩物體位移分別為s_甲＝vt，S_乙＝at²/2

根據題意可知：S_甲＝S_乙＋S

即vt＝at²/2＋S

或寫成at²－2vt＋2S＝O

要使兩物體相遇，上方程的判別式須滿足△≥0，即4v²－8aS≥0，由此可得：a≤v₂/2S

五、運用導數求解

此方法主要應用函數y＝f(x)的一階導數y^′＝O，y有極值進行求解。

例5 如圖4所示，M、N為兩個等量同種電荷，其間的距離已知，在其連線的中垂線上有一P點，PM與MN的夾角為θ。求θ為何值時P點的場強E為最大值，并求出最大值。

解析：設MN＝2a，M、N兩電荷的電量都為q，兩電荷在P產生的場強分別為E₁、E₂，根據點電荷的場強公式可得：

E₁＝E₂＝kqcos²θ/a²

由平行四邊形定則，P的場強為：

E＝2E₁sinθ＝2kqcos²θsin¹θ/a％=2kq(sinθ－sin³θ/a²

令X＝sinθ，y＝sinθ－sin³θ＝x－x³關于y對x求導得：

y^′＝l－3x³