抓住原型 領悟方法

數學課本是數學教學的主要依據，課本中的典型例題和習題，體現了重要的數學思想方法。中考試卷中的一些重要試題，就是以這些典型例題和習題為原型，拓展創新而得。在中考復習時，教師要引導學生對課本中的這些題重新作一番探索研究，使學生深刻領悟其中蘊含的數學思想方法，能舉一反三，觸類旁通，提高運用數學知識解決問題的能力。同時，教師要通過廣泛收集和精心設計，向學生提供各種類型的適量的由原型題演變而來的改型題，引導學生探索研究，使學生能綜合運用相關知識，掌握題型變化規律，發展創新精神和實踐能力。

這里舉例一二，并予以評析。

【例1】原型 [人教版九年義務教育三年制初中課本《代數》第一冊(上)第157頁“想一想”]棱長為a的正方體擺放成如右圖的形狀，問：

(1)有幾個正方體；

(2)擺放成如圖形式后，表面積是多少。

改型 圖1是棱長為a的小正方體，圖2由這樣的小正方體擺放而成。按照這樣的方法，繼續擺放，自上而下，分別叫第1層，第2層……第n層，若把第n層的小正方體的個數記為s，請解答下列問題：

(2)寫出當n=10時，s=_______。

(3)根據上表的數，把s作為縱坐標，n作為橫坐標，在平面直角坐標系中描出相應的各點。

(4)請你猜一猜上述各點會在某一個函數圖像上嗎?若在某一個函數圖像上，求出該函數的解析式。

【評析】改型正是借助了原型的條件，即正方體的擺放規律，加深和拓寬了知識應用的考察范圍，能很好地啟發學生產生聯想，主動積極地去思考、去探索。只要認真研究了課本中的原型，就能發現s和n之間的對應關系，即從而很容易地解決改型所呈現的問題。

【例2】原型 [人數版九年義務教育三年制初中課本《幾何》第二冊第157頁“想一想”]如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O。點O是正方形A'B'C'O的一個頂點。如果兩正方形的邊長相等，那么正方形A'B'C'O繞點O無論怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的1/4，想一想這是為什么。

改型 操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。探究：設A、P兩點間的距離為x。

(1)當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系?試證明你觀察的結論。

(2)當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍。

(3)當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形?若可能，指出所有能使A△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并指出相應的x的值；若不可能，說明理由。

【評析】原型中的規律是：無論怎樣轉動四邊形A'B'C'O，始終存在△AEO≌△BFO或同類情況，因此，重疊部分的面積總是一個正方形面積的1/4。而改型借助了類似于原型的條件——“直角頂點P在對角線AC上移動，且直角的一邊始終經過點B”，從而就隱含著如下結論：Rt△PMB≌Rt△QNP。這樣，就能順利地找到解決改型問題的突破口。由此，對于一個看似十分復雜的探究題。只要對課本中原型的規律全面理解，深入研究，就能便捷地加以解決。