雙圓弧諧波傳動齒廓修形及嚙合特性分析

杜雅寧 王士軍 齊 娜 王 程 鄭蘇芮

（山東理工大學機械工程學院，山東 淄博 255000）

諧波傳動因其體積小、傳動精度高、承載能力強等特點，被廣泛應(yīng)用于航空航天、工業(yè)機器人、精密機床等多個領(lǐng)域[1-2]。諧波傳動主要依靠柔輪在波發(fā)生器的作用下產(chǎn)生周期性的波動變形與剛輪進行嚙合運動來實現(xiàn)運動的傳遞[3]，柔輪在與剛輪的嚙合運動過程中極易發(fā)生嚙合干涉導(dǎo)致柔輪發(fā)生應(yīng)力集中、輪齒磨損等現(xiàn)象，因此柔輪齒與剛輪齒間的無干涉嚙合是研究的重點。張立勇等[4]根據(jù)諧波傳動的包絡(luò)理論，分析了諧波傳動徑向變形量對嚙合特性的影響，并通過有限元法進行驗證。張寧等[5]發(fā)現(xiàn)柔輪在裝配后實際齒廓線空間位置與理論位置不符，提出了一種輪齒齒廓線的修正方法。李鵬超等[6]通過線性法調(diào)整柔輪齒的軸向齒高，使柔輪齒與剛輪齒不發(fā)生嚙合干涉。但在實際工作工程中，由于柔輪齒圈的存在，使得柔輪沿軸向的徑向變形量呈非線性關(guān)系，導(dǎo)致線性法設(shè)計修形存在一定偏差，不滿足實際的傳動要求。

本文以無公切線雙圓弧齒廓為研究對象，采用改進運動學法求解出共軛剛輪齒廓。為消除柔輪在不同徑向變形量下與剛輪嚙合產(chǎn)生的干涉，基于有限元徑向變形量結(jié)合輪齒修形理論，對柔輪齒廓進行三維修形，并對比分析了線性修形法與有限元修形法修形后的柔輪等效應(yīng)力分布情況。

1 雙圓弧諧波傳動共軛齒廓設(shè)計

1.1 柔輪輪齒雙圓弧齒廓設(shè)計

諧波傳動中，雙圓弧齒廓具有更大的包絡(luò)存在區(qū)間。本文研究采用無公切線雙圓弧齒廓，相較于公切線雙圓弧齒廓，其共軛存在區(qū)間較大且設(shè)計求解過程更加簡單，便于加工生產(chǎn)，其基本齒形如圖1 所示，圖1 中各參數(shù)的意義見表1。

表1 雙圓弧齒廓參數(shù)及意義

圖1 無公切線雙圓弧齒廓坐標系

將柔輪輪齒的對稱軸定義為Y1軸，將Y1軸與柔輪中性層曲線的交點定義為坐標原點O1，過原點O1作中性面的切線，切線定義為X1軸，建立柔輪輪齒局部動坐標系{O1,X1,Y1}。

雙圓弧齒廓由凸圓弧AB、凹圓弧BC以及過渡圓弧CD組成。以從齒頂A處起的弧長s為參數(shù)，r為右側(cè)齒廓的失徑，n為其對應(yīng)的法向量。

凸圓弧齒廓AB段為

凹圓弧齒廓BC段為

將分段函數(shù)的弧長s離散為n個點，采用改進運動學法[7-8]求解不同弧長s對應(yīng)的共軛轉(zhuǎn)角φli（i=1,2,···,n），通過諧波傳動精確轉(zhuǎn)角關(guān)系將式（1）與式（3）進行坐標變換，再將φli代入到變換后的公式中即可以求得離散的剛輪齒廓數(shù)值坐標點集合，最后通過最小二乘法擬合得到特定的剛輪實際齒廓。

1.2 雙圓弧柔輪齒廓修形原理

假設(shè)柔輪內(nèi)壁與波發(fā)生器的接觸狀態(tài)為線接觸，在波發(fā)生器裝入柔輪后，柔輪輪齒在柔輪筒底和波發(fā)生器的影響下會產(chǎn)生彈性變形和法向傾角，柔輪齒在波發(fā)生器長軸附近會向外張開一定角度，在短軸處會向內(nèi)收縮一定角度，柔輪齒沿軸向方向發(fā)生不同程度的徑向變形。變形示意圖如圖2 所示。

圖2 柔輪變狀態(tài)圖

根據(jù)理論線性變形原理[9]可以求得在柔輪軸向上距筒底為Zg的任意截面的理論徑向變形量為

式中：ω0為柔輪主截面最大徑向變形量；Z0為主截面到柔輪筒底的距離。

在實際工作中，由于柔輪內(nèi)壁與波發(fā)生器接觸狀態(tài)復(fù)雜以及柔輪齒圈的影響，導(dǎo)致線性計算的徑向變形量不滿足使用要求，故需要通過有限元法計算柔輪長短軸實際徑向變形量。

通過改進運動學嚙合理論與Matlab 參數(shù)化編程，在不改變?nèi)我饨孛纨X廓形狀的條件下，合理調(diào)整柔輪齒根壁厚，使柔輪齒廓在任意轉(zhuǎn)角下都位于剛輪齒槽內(nèi)，從而實現(xiàn)無干涉嚙合。線性法修形是根據(jù)柔輪壁厚的調(diào)整量與齒寬的線性關(guān)系，確定其余各截面的壁厚調(diào)整量的。有限元法修形是根據(jù)各截面的徑向變形量與輪齒間的嚙合狀態(tài)來確定壁厚調(diào)整量的。

線性法修形后與有限元法修形后的柔輪齒形如圖3 所示，圖中dq與dh分別為前端修形量與后端修形量，虛線為修行前的柔輪齒，實線為修形后的柔輪齒。

圖3 柔輪輪齒軸向修形圖

2 諧波傳動的有限元分析

2.1 共軛空間齒廓計算實例

以模數(shù)m=0.4、柔輪齒數(shù)z1=160、剛輪齒數(shù)z2=162、徑向變形量ω0=0.42、剛輪固定、余弦波發(fā)生器作為輸入、柔輪作為輸出、傳動比i=80 的無公切線雙圓弧諧波減速器為研究對象，采用改進運動學法計算出柔輪齒廓和共軛剛輪齒廓參數(shù)，結(jié)果見表2 和表3。

表2 柔輪齒廓參數(shù)

表3 剛輪齒廓參數(shù)

2.2 仿真實體建模

在SolidWorks 中建立諧波減速器三維模型，此時柔輪輪齒在軸向為平齒，未修形。諧波減速器的波發(fā)生器由凸輪和柔性軸承組成，在有限元分析中可將凸輪與軸承進行一體化建模[10]。建模過程中從短軸處將凸輪對稱分為兩部分，并施加位移約束，約束方向與凸輪長軸方向一致，約束大小為柔輪徑向變形量0.42 mm，這樣做可以避免裝配過程中柔輪與波發(fā)生器產(chǎn)生干涉。將模型導(dǎo)入到Ansys Workbench 進行分析，具體分析過程如下。

（1）材料選取。諧波減速器中柔輪材料選用30CrMnSiA（密度為7 750 kg/m3，彈性模量為204 GPa，泊松比為0.29）；剛輪和余弦凸輪材料選用45#優(yōu)質(zhì)碳素結(jié)構(gòu)鋼（密度為7 850 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.269）。

（2）接觸設(shè)計與網(wǎng)格劃分。波發(fā)生器與柔輪，柔輪齒與剛輪齒間的接觸方式為面與面的摩擦接觸，波發(fā)生器外表面、剛輪輪齒表面為目標面（Target），柔輪齒圈內(nèi)表面與輪齒表面為接觸面（Contact），摩擦系數(shù)設(shè)定為0.2，法向剛度因數(shù)設(shè)定為0.1，采用八節(jié)點六面體單元對模型進行網(wǎng)格劃分[11]。

（3）設(shè)置約束及載荷。有限元分析步驟設(shè)定為3。第1 步對分割后的波發(fā)生器施加位移約束，使波發(fā)生器恢復(fù)處理前的形狀，模擬波發(fā)生器的裝配；第2 步對剛輪設(shè)置位移約束，使剛輪從后端裝入柔輪，剛輪齒廓與柔輪齒廓接觸；第3 步釋放柔輪繞軸向的旋轉(zhuǎn)約束并對柔輪輸出端施加額定扭矩T，T=60 N·m。

2.3 柔輪變形分析

通過Ansys Workbench 進行三維實體有限元分析，得到柔輪徑向位移分布云圖，如圖4 所示。

圖4 柔輪徑向位移分布云圖

提取圖4 中截面1（前端截面）、截面2（主截面）、截面3（后端截面）中性層最大徑向變形量見表4。表中理論徑向變形量由式（5）計算而得。

表4 柔輪各截面中性層最大徑向變形量 mm

由表4 可知，柔輪中性層長短軸實際徑向變形量與理論值相差較大，前端截面和主截面柔輪最大徑向變形量小于理論值，而在后端截面柔輪最大徑向變形量大于理論值，故線性修形不滿足實際要求，需采用有限元法對柔輪齒廓進行修形。

將有限元仿真結(jié)果帶入Matlab 仿真程序中，可得到單個柔輪輪齒相對固定剛輪齒槽的運動軌跡，如圖5 所示，柔輪齒與剛輪齒在前端截面整體產(chǎn)生干涉，在主截面和后端截面柔輪齒與剛輪齒在嚙合區(qū)產(chǎn)生干涉。

圖5 未修形時柔輪齒運動軌跡

3 柔輪有限元法齒廓修形

柔輪有限元法修形的具體方法是利用有限元分析得到的柔輪輪齒軸向各截面的徑向變形量結(jié)合Matlab 參數(shù)化編程，觀察單個柔輪齒與剛輪齒的運動軌跡，根據(jù)輪齒間的干涉情況，調(diào)整各截面柔輪齒根壁厚，使剛輪齒與柔輪齒無干涉嚙合。

圖6 所示為線性修形法與有限元修形法的修形量對比圖，對有限元法的修形量進行多項式擬合得到修形量方程：

圖6 柔輪齒修形量對比圖

式中：h為壁厚修形量，b為各截面距后端截面3的距離。修形后各截面運動軌跡如圖7 所示，有限元法修形后各截面柔輪齒與剛輪齒均可實現(xiàn)無干涉嚙合。

圖7 修形后柔輪各截面嚙合軌跡

通過Ansys Workbench 分別對未修形、線性法修形、有限元法修形后的仿真模型進行有限元分析，柔輪在不同修形法下的應(yīng)力云圖如圖8 所示。由圖8可知，未修形時柔輪最大等效應(yīng)力為592.6 MPa，柔輪齒前端和后端產(chǎn)生了應(yīng)力集中的現(xiàn)象。線性法修形后柔輪最大等效應(yīng)力為404.09 MPa，有限元法修形后柔輪最大等效應(yīng)力為344.89 MPa，有限元法修形后柔輪最大等效應(yīng)力主要集中在柔輪齒中間截面附近，且應(yīng)力沿圓周方向分布更加均勻。

圖8 不同修形法修形后柔輪等效應(yīng)力云圖

4 結(jié)語

本文基于裝配變形與改進運動學理論，對諧波傳動無公切線雙圓弧齒廓進行了設(shè)計和修形，并對實體模型進行有限元仿真，分析了柔輪的變形及應(yīng)力分布情況，得到以下結(jié)論：

（1）柔輪在實際工作過程中柔輪徑向變形量與理論變形量有較大的差異，在齒圈前端柔輪最大徑向變形量小于理論值，而在齒圈后端柔輪最大徑向變形量大于理論值。

（2）通過有限元法修形后柔輪齒廓與剛輪齒廓在各截面均可實現(xiàn)無干涉嚙合。

（3）未修形時柔輪齒圈處最大等效應(yīng)力集中在柔輪齒圈前端位置、齒圈與筒體過度位置。有限元法修形后最大等效應(yīng)力集中在齒圈中間截面附近且齒圈圓周方向的應(yīng)力分布更加均勻。

（4）有限元法修形后柔輪的最大等效應(yīng)力比線性法修形后減小14.65%，比未修形減小41.79%，說明有限元法修形可以有效解決線性法修形不充分以及未修形時輪齒間的嚙合干涉引起應(yīng)力集中的問題。