基于消費者保留價格的易逝品定價和訂貨的聯合策略

摘要：文章通過分析消費者期望價值（因保留價格引起）對需求的影響，構建了與消費者期望價值有關的乘性隨機需求函數，其中消費者期望價值是保留價格和銷售價格的差與期望滿足率的乘積。在此假設下，討論了單一產品的最優價格和最優訂貨量的聯合決策問題。在單一產品情況下，報童的最優訂貨量應使得期望缺貨率為產品成本與保留價格的比值，最優價格則與保留價格、產品成本、期望滿足率及需求的期望價值彈性相關。

關鍵詞：易逝品；保留價格；消費者期望價值；定價；庫存控制；聯合決策

一、 引言

經典的報童模型是經銷商面對隨機需求時決定最優訂購量的數學模型。由于具有簡單的結構、清晰的特性和較強的實用性，這一問題已成為隨機庫存理論的重要內容之一，被大量應用于供應鏈管理的研究中，尤其是針對易逝品。經典的報童模型有許多擴展模型，Kjouja將這些擴展模型歸結為11大類。

本文研究的是其中的一種擴展模型——定價和訂貨聯合決策的報童模型。該模型研究的是：面臨受價格影響的隨機需求，報童如何對產品的價格和訂貨量進行決策，以獲取最多的利潤。Whitin首先對這一問題進行了研究；Mills、Karlin分別研究了加性需求和乘性需求下的聯合決策問題；Young則研究了一般需求下的聯合決策問題；Petruzzi和Dada以及Chan等對這一模型進行了綜述。

然而，上述文獻都沒有考慮消費者的購買行為。而消費者在做出購買決策時，不僅僅受到價格絕對量的影響，而且還將商品的價格與其他價格相比較，形成所謂的參考價格，以此作為購買決策的依據。Winer最早提出了基于參考價格的消費者選擇模型，該模型中除了采用觀察到的價格（實際價格）外，還采用參考價格作為影響消費者購買可能性的影響變量。結果表明，該模型與傳統的“價格—選擇”模型（無參考價格）相比有明顯的優勢。這證明了，消費者選擇行為確實受參考價格作用。其后，又有許多學者對參考價格的形成及其影響作進一步研究，提出一些新的基于價格參考效應的消費者動態選擇模型，并對參考價格的影響機制和作用過程作了深入研究。

參考價格有多種形式：過去價格、保留價格、公平價格等等。其中保留價格指的是，消費者選購產品時愿意支付的最大價格。本文重點考慮基于保留價格的易逝品定價和訂貨聯合決策問題。

二、 問題描述

經銷商將成本為c的易逝品以價格p銷售給一個消費群體。該群體中每個消費者在選購產品時會參考自己的保留價格進行購買。假設該消費群體的期望保留價格為a，即僅當產品的銷售價格p≤a時，消費者才會購買產品。另一方面，當消費者欲購某產品時，該產品有可能會缺貨，此時，消費者的需求就不會得到滿足。設消費者的期望滿足率為q，即實際購買到產品的消費者比例。從而，消費者因購買產品而獲取的期望價值為（a-p）q。消費者對產品的期望價值越高，購買產品的消費者就越多，既而產品的需求量越大。此時，經銷商所要作出的決策是：根據消費者因保留價格引起的期望價值來制定產品的價格和訂貨量，以獲取最大的期望利潤。

三、 模型的建立與求解

假設：

1． 消費者的期望價值為Vc=（a-p）q。

2． 需求是消費者期望價值的函數：D（Vc，）=y（Vc）·。其中y（Vc）=Vc（＞0，1）是關于Vc的確定需求，為產品的基本需求量，為產品需求的期望價值彈性（、已知）；為[0，∞]上的隨機變量，且其均值為1，其分布函數和密度函數分別為F（x）、f（x）。

3． 消費者的保留價格不低于產品的成本，a-c＞0。

4． 不考慮產品的缺貨成本和期末殘值。

根據問題描述和基本假設知，經銷商的期望利潤為：

E[?仔（P，Q）]= （py-cQ）f（）d+ （p-c）Qf（）d

=p[ yf（）d+ Qf（）d]-cQ

又期望銷售量為s（P，Q）= yf（）d+ Qf（）d，期望需求為y（Vc），期望滿足率q= 。類似于文獻1，令z=Q/（Vc），稱為庫存因子（Stocking Factor），則期望利潤函數可以表示為：

E[（P，z）]=（pq-cz）y（1）

且期望滿足率為：

q=q（z）=f（）d+ zf（）d（2）

從而，經銷商的目標就是maxE[?仔（P，z）]。

“聯合決策問題有唯一最優解的充要條件為2y′y′＞yy″（y′、y″分別是y對Vc的一階、二階導數）”將在另文中給出。本文僅討論最優解的具體求解方法。

令 =q·y+（pq-cz）y′·（-q）=0（y′是y對Vc的一階導函數）可得：

y=（pq-cz）y′（3）

再令

=（p -c）·y+（a-p）（pq，cz）y′·=0 （4）

將（3）式代入（4）式中可得： = 。又由（2）式知 =1-F（z）。從而，最優庫存因子應滿足：

1-F（z）=（5）

即產品缺貨概率1-P（DQ）=1-P（y yz）=1-P（z）為c/a。

定理1：若隨機需求為滿足假設（2）的乘性需求，顧客的保留價格為a，產品的單位成本為c，訂貨量為Q，庫存因子為z=Q/y（Vc），則聯合決策問題的最優訂貨量應使得產品的缺貨概率為：1-F（z）=。

由定理1知，最優庫存因子z*與價格p無關。因此，根據假設“2”中的需求函數形式以及（3）式可得：?琢Vc?茁=（aq-cz-Vc）?琢?茁Vc?茁-1?圯?茁（aq-cz）=（+1）Vc=（+1）（aq-pq）

故聯合決策問題的最優價格應為：

p*= + （6）

于是，價格和訂購量的聯合決策問題的求解步驟為：由（5）式求出最優的庫存因子z*；將其帶入（2）計算相應的q*；再根據（6）求出最優價格p*；最后，通過Q=y·z求得最優訂貨量Q*。

四、 數值實驗

假設隨機變量 服從[A，B]上的均勻分布，則由 d =1得，0＜A＜1且B=2-A。從而，F（z）= = ，由（5）式、（2）式可計算得z=B-（B-A）、q=1- （B-A）。因?孜服從[A，B]上的均勻分布且期望為1，故B-A＜2，從而，z A，0＜q＜1。

取均勻分布的下界為A=0.5，基本需求量為 =200，需求的期望價值彈性為 =2，消費群體的保留價格a=2.5，產品的單位成本為c=1。則均勻分布的上界為B=1.5，最優庫存因子為：z*=1.1，最優期望滿足率為：q*=0.92，最優價格為：p*≈1.51，此時的期望需求為：y= （（a-p*）q*） ≈167，最優庫存為：Q*≈184，最優期望利潤為：E*=47.87。

下面討論在變量 服從[A，B]上的均勻分布下，各參數變化對最優策略的影響。

1． 各參數變化對最優庫存因子的影響。

因為z=B-（B-A）=2-A-（2-2A）=（-1）A+2（1-），因此，庫存因子受到分布下界A、保留價格a和單位成本c的影響，并且z隨A、a增加而增加、隨c增加而減少。

2． 各參數變化對最優價格的影響。

由（6）式知，最優價格受A、a、c和 的影響。但具體的變化情況從解析表達式中不易得出，下面通過數值實驗來說明各參數變化對最優價格、最優訂貨量的影響（如下表所示）。

3． 各參數變化對最優訂貨量的影響。

由Q=y·z知，最優訂貨量受A、a、c、的影響。但同樣具體的變化情況從解析表達式中不易得出，仍通過數值實驗來說明各參數變化對最優訂貨量的影響（如表1所示）。

表1各參數變化對最優價格和最優訂貨量的影響

五、 結論

本文首先假設基于保留價格和期望滿足率，消費者在選購產品時可以獲得一定的期望價值，該期望價值進而影響產品的需求量。在此假設下，利用多元函數的最優化方法求解了單一產品的最優價格和最優訂貨量，其中最優訂貨量應使得期望缺貨率為產品成本與保留價格的比值，而最優價格則與保留價格、產品成本、期望滿足率及需求的期望價值彈性相關。

然而，本研究還有一些不足之處值得進一步深入研究：首先，保留價格是消費者選擇考慮的因素之一，雖然非常重要，但仍然存在其他對消費者選擇有重要影響。將這些因素考慮到模型中來，可以使得該項研究更完善。其次，可以將上述模型擴展到兩個或多個產品。再者，上述模型的實證研究也是一個值得繼續關注的研究內容之一。

參考文獻：

1．Petruzzi N C，Dada M．Pricing and the newsvendor problem：A review with extensions．Operations Research，1999，47（2）：183-194．

2．Chan L M A，Shen Z J M，Simchi-levi D，et al．Coordination of pricing and inventory decisions：a survey and classification，2004．

3．Kopalle P K，Lindsey-mullikin J．The impact of external reference price on consumer price expectations．Journal of Retailing，2003，79（4）：225-236．

基金項目：國家自然科學基金（70571035）．

作者簡介：李君靈，南京大學工程管理學院博士生；蔣維，中國解放軍理工大學工程兵工程學院博士生。

收稿日期：2007-02-11。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。