指數(shù)有效久期模型的建立及分析

摘要:指數(shù)有效久期模型是一個新的用來衡量固定收益證券市場上的利率風險的模型#65377;它建立在有效久期的基礎之上，因而體現(xiàn)了附有選擇權債券的價格變動情況#65377;在利率上升時，指數(shù)有效久期是一種能夠更好地被風險規(guī)避型投資者用作測算可回售債券利率風險的工具，避免了使用指數(shù)久期所帶來的過分夸大債券價格下跌幅度的缺陷#65377;而在利率下降時，該模型又可以部分克服指數(shù)久期過度高估可贖回債券的價格上漲幅度的缺憾#65377;

關鍵詞:指數(shù)有效久期;指數(shù)久期;利率風險;債券

中圖分類號:F830.91文獻標志碼:A 文章編號:1673-291X(2007)01-0049-04

一#65380;引論

固定收益證券的久期理論隨著資本市場環(huán)境的變化而不斷得到發(fā)展和完善#65377;從20世紀30年代有學者首次提出久期(duration)的概念直至70年代，由于西方國家普遍存在的利率管制，利率的波動很小，因此實務界對于能夠用來衡量債券利率風險的久期方法關注甚少，在理論上也幾乎未有重大的創(chuàng)新#65377;隨著20世紀80年代以來，各發(fā)達國家對市場利率紛紛放松管制，實現(xiàn)利率的市場化，利率的變動開始變得頻繁而劇烈#65377;廣大投資者和實務工作者迫切需要一種簡便而又準確的工具來衡量固定收益證券市場上的利率風險，從而能有效指導他們在市場上的行為，規(guī)避風險#65377;

二#65380;研究背景

Macaulay(1938)最先提出久期(duration)的概念，他使用久期來衡量債券的加權平均到期時間，反映投資者以債券利息和本金的方式最終收回初始投資所需要的時間，即Macaulay久期#65377;Hicks(1939)以Macaulay久期為基礎進行了一些修改，加入當期收益率因素，建立了修正久期(Modified Duration)模型，用來度量利率每變動100個基點，債券價格的變化百分比#65377;其后，眾多的西方學者對久期理論又進行了不斷的發(fā)展和完善#65377;

2005年Miles Livingston和Lei Zhou共同提出了指數(shù)久期(exponential duration)的概念#65377;他們認為當市場利率上升時用修正久期和修正凸性方法來衡量價格變動會低估債券價格的下降幅度，高估其價格，這會誤導風險規(guī)避型投資者的市場行為#65377;而指數(shù)久期模型得出的變動后的價格則會略低于真實價格，避免了傳統(tǒng)久期跟凸性高估價格的缺陷#65377;①但是我們看到，這一模型有一定的局限性，在于它所依賴的是修正久期，而目前西方國家相當一部分債券是附有可贖回或者可回售條款的，修正久期并不適用于判斷這類債券的利率敏感性#65377;這就導致了指數(shù)久期理論在應用時會存在與修正久期相類似的缺陷#65377;我們可斷定，在利率上升時，指數(shù)久期會過分夸大附有可回售條款的債券價格下跌幅度，因為對于這種債券，其在利率上升特別是幅度較大時，具有一定的抗下跌特性;而當利率下跌時，指數(shù)久期則會過度夸大可贖回債券價格的上漲幅度#65377;

正是考慮到指數(shù)久期的這一局限性，我們試圖發(fā)掘一種無論是否附有選擇權(本文指可回售和可贖回)，都能用來有效指導市場上絕大多數(shù)投資者行為的工具，我們稱之為指數(shù)有效久期#65377;與先前由Miles Livingston和Lei Zhou提出的指數(shù)久期的差異在于，它的推導是建立在有效久期的基礎上的，而不是修正久期#65377;而根據(jù)前人已有結論，對于普通債券，有效久期與修正久期的結論十分一致，①而當衡量的是附有選擇權的債券的價格敏感性時，它就顯示出自身獨特的解釋力上的優(yōu)勢#65377;所以，指數(shù)有效久期從某種意義上來說是指數(shù)久期的修正#65377;在本文中，我們主要討論固定利率債券價格的利率敏感性#65377;

三#65380;指數(shù)有效久期模型

有學者指出，債券價格的對數(shù)形式能夠更好地用來衡量市場利率變動時債券價格變動的情況(Bierwag， Kaufman及Latta 1988； Campbell， Lo及MacKinlay 1997;Crack和Nawalkha 2001)#65377;鑒于此，我們可首先對lnP求關于y的導數(shù):

我們需要假設可回售和可贖回這兩個條款不同時出現(xiàn)在一個債券上，而且在現(xiàn)行的市場利率或者說收益率的水平上，利率一旦開始變動就會呈現(xiàn)出可贖回或可回售的特性，在債券價格曲線的圖形上表示為:利率上升時，曲線較無可回售選擇權時要平坦;利率下降時，曲線會出現(xiàn)負凸性#65377;

我們先來分析附有可回售條款的債券的情況，這時需要dy>0#65377;因為債券價格與市場利率是呈反向變動關系的:利率y上升時，市場價格P下跌，即dP<0#65377;我們現(xiàn)在用P+-P-/2近似地表示在市場利率上升時，債券價格變動的幅度dP#65377;其中P-和P+分別是市場利率下跌和上升相同基點時債券的價格水平#65377;利率變化越小，這一近似值就越接近真實變動情況，這是由債券價格曲線的凸性決定的#65377;

于是我們可得:

那么市場利率y變動后的價格P1=P*e-De△y，價格的變動百分比%△P=(e-De△y-1)*100#65377;我們可以看到，分別考察可贖回和可回售債券價格敏感性時的模型是一致的#65377;

這里需要提示的是，指數(shù)有效久期模型的形式與Miles Livingston和Lei Zhou的指數(shù)久期模型十分類似，③其差別或者說優(yōu)勢在于有效久期De的引入#65377;而且根據(jù)已知理論，在不存在可回售和可贖回條款時Dm與De近似，因此指數(shù)有效久期具有與指數(shù)久期跟傳統(tǒng)的修正久期和凸性相比相同的優(yōu)點;而當存在這些條款時，由于Dm與De解釋力的不同導致的差異，使得指數(shù)有效久期要優(yōu)于指數(shù)久期#65377;

四#65380;關于指數(shù)有效久期模型適用性的論證

下面我們先來證明在附有可回售條款時，指數(shù)有效久期更適合于投資者用來衡量市場利率變動的風險#65377;

由于當附有可回售條款時，債券價格相對于利率在圖形上呈現(xiàn)正凸性的性質，也就是說利率上升時債券價格下降的幅度要小于利率下降相同基點時債券價格上升的幅度#65377;所以

我們可知該公式夸大了#65377;當利率變動很小時，譬如說只有10個基點或者更小，那么這種夸大幾乎微不足道，而如果利率變動100個基點或者更多時，這種夸大就會突顯出來，并且隨著利率變動的不斷增大，這種差異也會不斷增加，因此有1Pexponential≤P+，其中P+為利率上升后可回售債券的實際價格#65377;所以根據(jù)指數(shù)有效久期計算得出的價格會低于變動后的真實的債券價格#65377;

現(xiàn)在我們需要比較在利率上升情況下分別使用指數(shù)有效久期與指數(shù)久期模型得出的可回售債券價格的變動情況#65377;

在dy>0的情況下，因為修正久期Dm在數(shù)值上不小于有效久期De①，所以由單調性得P*e-De△y≥P*e-De△y，即使用指數(shù)有效久期測算出的價格要大于使用指數(shù)久期得出的價格#65377;

綜上，我們的結論是，雖然Miles Livingston和Lei Zhou的指數(shù)久期高估債券價格下降幅度的特性相對于風險規(guī)避型投資者來說不失為一個有效的工具，但是其未能體現(xiàn)附有選擇權債券的特性#65377;而我們知道，在市場利率上升時，可回售債券的價格具有抗下跌性，而有效久期模型過分夸大了債券的下跌幅度，如果投資者使用這一模型來指導自己的市場操作，可能會引起債券市場上的過度恐慌，造成市場動蕩#65377;而指數(shù)有效久期可以有效地避免這種情況的發(fā)生，因為它所依賴的有效久期，本身就是作為一種可以用來衡量附有選擇權的債券價格變動的敏感性工具#65377;根據(jù)我們前面的證明，使用指數(shù)有效久期將不會過度夸大債券價格下跌的幅度(我們將在后文舉例進行進一步闡述)，所以說，當內置可回售選擇權時，指數(shù)有效久期將優(yōu)于指數(shù)久期#65377;而如果債券無任何選擇權，那么根據(jù)已知理論(修正久期十分近似有效久期)，指數(shù)有效久期的效果將與指數(shù)久期趨于一致#65377;

現(xiàn)在假設有一只10年期，票面利率為8%，半年付一次息，面值為1 000元的附有可回售條款的債券，目前市場利率也為8%#65377;表1列出了在利率變動不同基點時分別使用指數(shù)久期和指數(shù)有效久期模型得到的價格以及市場價格的情況#65377;其中第一縱列是在利率變動不同基點后的市場利率情況#65377;最后兩列是分別使用指數(shù)久期模型和指數(shù)有效久期模型得出的可回售債券的價格#65377;而市場價格的計算使用《中國人民銀行關于全國銀行間債券市場債券到期收益率計算有關事項的通知》(銀發(fā)[2004]116號)上載明的對不處于最后付息周期的固定利率債券的定價公式:

其中PV代表債券全價，C代表票面年利息， 代表年付息頻率，f代表到期收益率，y代表債券結算日至下一最近付息日的實際天數(shù)，n代表結算日至到期兌付日的債券付息次數(shù)，M代表債券面值#65377;

通過比較表1的第3#65380;6#65380;7列發(fā)現(xiàn)，我們的指數(shù)有效久期模型算得的價格會低估可回售債券的市場價格，但會高于指數(shù)久期估算的價格#65377;也就是說，使用指數(shù)久期會過度低估債券的價格#65377;這一點也可從與表1相對應的表2的低估水平(用小數(shù)表示)來獲得證實#65377;

我們發(fā)現(xiàn)在市場利率變動很小的基點(如5#65380;10)指數(shù)久期和指數(shù)有效久期模型的低估水平趨近0，差異不是很大#65377;但當利率變動較大，如100個基點，200個基點時，指數(shù)久期過分夸大的“特性”就暴露出來了，較指數(shù)有效久期夸大降幅達70%以上#65377;所以說，在附有可回售條款時，指數(shù)有效久期更適合作為一種被市場參與者，特別是風險規(guī)避者指導其行為的工具#65377;

對于可贖回債券，市場利率下降時指數(shù)有效久期與指數(shù)久期一樣都存在著高估債券價格的現(xiàn)象，但是值得說明的是指數(shù)有效久期更趨近于指數(shù)久期#65377;所以在考察可贖回債券的利率敏感性時，指數(shù)有效久期仍然優(yōu)于指數(shù)久期#65377;

另外需要指出的是，根據(jù)前人理論，有效久期與有效凸性一起能很準確地來衡量債券價格的真實情況，那么似乎指數(shù)有效久期在此變得毫無意義#65377;但是我們在此必須重申，指數(shù)有效久期模型提供了一種能夠更便捷和迅速地估測出債券價格變動率的方法，因為我們無須再去計算復雜的有效凸性Ce，只需知道De，再取冪e就可以了解債券的價格變動情況了，而且又不會像修正久期和修正凸性那樣在市場利率上升時誤導市場參與者的投資行為，損害投資者的利益#65377;

五#65380;結論

我們提出并闡述了指數(shù)有效久期模型的基本思想，并且通過一系列論證和比較最終認為它是一種更適合于風險規(guī)避型投資者用來揭示固定收益證券市場上各種資產(chǎn)利率風險的有效方法#65377;這一模型主要有以下幾個優(yōu)點:第一，在衡量無選擇權的債券的利率風險時，具有與指數(shù)久期一樣避免了傳統(tǒng)的修正久期和凸性方法在衡量利率上升時高估債券價格的長處;第二，克服了指數(shù)久期不能用來很好地揭示附有選擇權債券的利率風險的缺陷，避免了過分夸大可回售債券價格的下跌幅度以及可贖回債券的上漲幅度#65377;特別是在解釋可回售債券利率敏感性問題上，具有其獨特的優(yōu)勢，可以有效防止過度低估價格而造成的市場恐慌和拋售行為;第三，可以免去計算繁雜的有效凸性，因為指數(shù)有效久期模型的提出使得我們只要取e的(-De*Δy)次方就可以了，計算簡單，而且又與真實值十分近似#65377;所以，基于以上的論述，我們認為，指數(shù)有效久期模型憑借其自身的優(yōu)勢，一定會在實踐中得到風險規(guī)避型投資者的廣泛運用#65377;

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