放射形配網潮流計算的一種新的牛頓法

摘 要:前推回推法是放射形配網潮流計算最基本的算法#65377;通過對前推回推法求解過程的數學演化，導出一種新的牛頓類型的算法及其雅可比矩陣直接分解公式#65377;利用比較原理，間接證明該算法是一種具有超線性收斂性的近似牛頓法#65377;與經典牛頓法相比，該算法無須計算雅可比矩陣#65380;無須三角因子分解等過程，直接由前代/回代或回代/前代過程就能完成;與前推回推法相比，該算法無須特定的節點和支路編號過程#65377;文中以一個實際的中等規模配電系統為例，分析#65380;比較前推回推法#65380;導出的近似牛頓法#65380;經典牛頓法等的收斂性和計算速度，證實上述研究結論#65377;

關鍵詞:放射形配電系統;潮流計算;前推回推法;牛頓法;雅可比矩陣

中圖分類號:TM744文獻標識碼:A

1 引 言

關于配電網潮流計算問題，國內外學者近年來做了大量的工作，提出了不少算法并發表了不少研究論文1-8]#65377;迄今為止，對放射形配電網而言，最基本和應用較廣的潮流計算方法應該是前推回推法(Back/forward sweep method)^[1，2]#65377;

前推回推法具有物理概念簡單明了#65380;求解過程簡便快捷#65380;收斂性較好等優點#65377;但是，前推回推法必須對節點和支路按一定的規則進行分層和編號，亦即是在具體的計算前，必須對配電網絡進行拓撲分析，這對于大規模配電網和工程實際應用來說是一件比較麻煩的事情#65377;此外，前推回推法與電力系統中多年使用的牛頓求解方法在求解過程#65380;編程思路等方面完全不一樣#65377;因此，盡管前推回推法在具體應用中體現出較好的收斂性能和具有計算簡捷的特點，但人們對前推回推法的數學機理以及其與牛頓法之間的關系應該說不是很清楚#65377;

本文通過對前推回推法求解過程的數學演化，導出了一種新穎的牛頓法求解形式及其雅可比矩陣直接分解公式#65377;因此，該方法在實際應用中兼具前推回推法和牛頓類方法兩者的優點，其整體求解效率比經典的前推回推法更高，求解形式和編程思路與牛頓類方法一致#65377;利用比較原理，本文對所導出的算法的收斂性進行了定性分析#65377;

2 放射形配網潮流計算的近似牛頓法

在采用直角坐標系的前提條件下，節點功率注入可由下列方程描述:

pijk和qijk分別是支路k上由i節點流向j節點的有功功率和無功功率#65377;若不考慮各支路對地電納(配電網潮流計算中即是如此)，則有

因此，方程(1)成為

由于支路存在功率損耗，一般情況下有

上式意味著pijk和pjik#65380;qijk和qjik是兩個不同的變量#65377;為此，假設

計算技術與自動化2007年6月第26卷第2期汪芳宗等:放射形配網潮流計算的一種新的牛頓法ei≈ej;fi≈fj (i，j)∈k(5)

則從方程(2)可以推出

若對每條支路定義一個功率方向，則在上述假設條件下，方程(4)可以寫成矩陣形式，即

B為帶方向性的節點—支路關聯矩陣#65377;

將節點電壓看作常量#65380;支路功率看作變量，對方程(8)應用牛頓法可得出

BΔL=ΔW(9)

式中ΔW為節點注入功率殘差向量，ΔL為待求的各支路功率改變量向量#65377;

由于在放射形配電網中，節點數與支路數相等(n=m)，因此B為一滿秩稀疏矩陣，方程(8)有唯一解#65377;方程(8)的求解，與前推回推法中的前推過程相類似#65377;

由于有下列公式

對該式兩邊同時求導并采用與方程(5)同樣的假設條件，可以得到

前推回推法中的回推過程，是利用支路功率從父節點向子節點逐次推出各節點電壓降落并節點電壓值#65377;據此思路，對方程(2)兩邊同時求導并利用方程(10)，可以得到下列方程:

矩陣C在形式結構上與矩陣B的轉置相同#65377;若支路的功率方向定義為從節點流向j節點，則有

若k支路為根支路，即i#65380;j兩節點有一個為根節點即松弛節點，例如j為根節點(用s表示)，則有

方程(12)的求解，與前推回推法中的回推過程相類似#65377;

將方程(9)與方程(12)合并即得

方程(13)與方程(14)即是本文所導出的“近似牛頓法”求解形式;方程(14)即是其雅可比矩陣的分解公式或算法#65377;

3 近似牛頓法的應用方法

“近似牛頓法”雅可比矩陣的分解公式具有以下特性:

1)若對節點#65380;支路按自然方式編號，支路功率方向亦按自然方式定義，則矩陣B為一稀疏矩陣，但其有多行只含一個非零(塊)元素#65377;

2)若對節點按先父節點后子節點#65380;對支路按先父層后子層的方法編號，則矩陣B為一上三角陣#65380;矩陣C為一下三角陣;反之，則矩陣B為一下三角陣#65380;矩陣C為一上三角陣#65377;

后一種情況是經典的前推回推法所必須的編號方法#65377;在此前提下，應用“近似牛頓法”對放射形配電網進行潮流計算，其求解過程與經典牛頓法中最后一步的前代/回代(Forward/backward substitution)或回代/前代(Backward/forward substitution)過程是完全一樣的#65377;顯然，此種應用方法仍需對配電網絡進行拓撲分析進而對節點和支路進行編號#65377;

基于以下事實，本文推薦直接采用自然編號方式(經典牛頓法對節點和支路是采用自然編號方式的):

1)采用自然編號方式無需網絡拓撲分析，可節省編號所需時間;

2)B矩陣中與葉節點相對應的行均只含一個非零(塊矩陣)元素，C矩陣中與根支路相對應的行只含一個非零元素#65380;其它行均只含2個非零元素#65377;這是由放射形配電網固有特點所決定的#65377;因此，可采用類似的前代/回代或回代/前代方法對方程(13)進行求解#65377;

應該著重說明的是:應用“近似牛頓法”，方程(13)中的雅可比矩陣(J)無需事先直接計算和形成;方程(14)中的B#65380;Y#65380;C無需進行任何數值計算(因子分解)而是直接形成#65377;因此，“近似牛頓法”在實際應用中具有極快的計算速度，它在求解形式和編程思路上與牛頓法潮流計算相似，但省掉了費時的雅可比矩陣計算#65380;雅可比矩陣三角因子分解等過程，保留了前推回推法的優點#65377;

4 近似牛頓法的收斂性證明

對方程(1)直接應用牛頓法可以導出下列公式:

利用方程(3)及假設條件(5)，可以導出

將方程(16)#65380;(18)與方程(11)對比，可以很方便地推出或驗證

至此，驗證了第2節所導出的方法，是在假設條件(5)的前提下的一種嚴格的牛頓類方法#65377;

若進一步采用以下假設條件

則有

上兩式中Y′為電網系統的節點導納矩陣#65377;很顯然，在方程(20)的假設條件下，“近似牛頓法”成為定雅可比方法#65377;

眾所周知:經典牛頓法是2階收斂的;定雅可比方法是線性收斂的#65377;因此，根據比較原理可以得知:本文所導出的“近似牛頓法”是超線性收斂的，即1

5 算例檢驗結果及分析

為敘述方便，若對雅可比矩陣按方程(16)和(17)進行嚴格計算和形成#65380;同時進行三角因子分解，則將其稱為“經典牛頓法”;若采用與“經典牛頓法”相同的自然編號法，同時不計算雅可比矩陣而是直接形成B#65380;Y#65380;C，然后進行前代/回代計算，則將其簡稱為“本文方法”(即“近似牛頓法”)#65377;

5.1 算例系統簡介

算例系統采用了某縣級供電公司一個35kv變電站內#65380;10kv母線上負荷最大的一條10kv主出線所供電的配電系統#65377;該系統含71條10kv線路(嚴格的說法應為71段線路)#65380;43個配變，是一個典型的放射形配電系統#65377;以10kv母線為源點#65380;配變低壓側母線為邊界點，該系統共計114條支路和114個節點#65377;

線路全為架空線路，導線型號大部分為LGJ-50，少量為LGJ-35，據此并結合線路長度可以計算出所有線路的原始阻抗#65377;配變支路參數可直接根據配變銘牌參數進行簡單計算得出#65377;各配變負荷按其月度平均功率進行計算，同時均設為恒功率負荷#65377;

之所以選用上述配電網絡作為算例系統，主要是因為:該系統為一中等規模的放射形配電網絡，具有實際性和普遍性;潮流計算所用數據直接從該配網管理系統數據庫中導出，所有節點和支路均是隨機#65380;自然編號的#65377;

5.2 測試結果及分析

表1是分別利用“本文方法”#65380;前推回推法#65380;經典牛頓法等三種方法對上述系統進行實際編程計算所測得的結果#65377;因負荷水平為kW/kVar量級，所以收斂精度均統一定為‖ΔWi‖≤10-5p.u.#65377;

表1 三種算法的測試結果比較

所用方法計算時間/s迭代次數本文方法0.645前推回推法0.735經典牛頓法5.884

從表1可以看出，本文所導出的方法在收斂性方面與經典牛頓法差別不大#65380;與前推回推法相同或相近，在計算速度上比前推回推法更快，這主要是因為前推回推法的數值計算過程與本文所導出的方法基本相同，但前推回推法須對節點和支路進行“重新編號”(非數值計算過程)#65377;

經典牛頓法由于在每步求解中均須計算雅可比矩陣并進行三角分解，因而極費時間，這是必然的結論#65377;本文之所以將“近似牛頓法”與經典牛頓法進行對比，主要是對比和測試本文所提方法的收斂性#65377;

6 結 論

本文通過對前推回推法求解過程的數學演化，導出了一種新的牛頓類型的算法及其雅可比矩陣直接分解公式#65377;利用比較原理，間接證明了該算法是一種具有超線性收斂性的近似牛頓法#65377;與經典牛頓法相比，該算法無須計算雅可比矩陣#65380;無須三角因子分解等過程;與前推回推法相比，該算法無須特定的節點和支路編號過程#65377;

本文的推導方法及其過程，間接但直觀地闡明了前推回推法的數學機理#65377;

本文所提方法及相關計算公式可推廣應用于放射形配網的三相潮流計算#65380;狀態估計等#65377;

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。