時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)滯依賴的魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則

摘 要:基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式技術(shù)，針對(duì)一類帶有范數(shù)有界不確定性的時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，給出時(shí)滯依賴的魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則#65377;系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是在激勵(lì)函數(shù)滿足一類更為通用的條件下得到的，即激勵(lì)函數(shù)不必是單調(diào)可微的，并且消除對(duì)時(shí)變時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的限制#65377;所給的準(zhǔn)則可用Matlab中的線性矩陣不等式控制工具箱進(jìn)行驗(yàn)證#65377;仿真結(jié)果進(jìn)一步證明結(jié)論的有效性#65377;

關(guān)鍵詞:時(shí)滯依賴魯棒穩(wěn)定性;時(shí)變時(shí)滯;范數(shù)有界不確定性

中圖分類號(hào):TP183文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 引 言

近年來，各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)如Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^[1]，細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^[2]，雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^[3]和Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^[4]都被廣泛的研究#65377;在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電子線路實(shí)現(xiàn)中，由于運(yùn)算放大器的有限切換速度，時(shí)滯的存在是不可避免的#65377;時(shí)滯會(huì)影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性，如產(chǎn)生動(dòng)蕩或不穩(wěn)定性等#65377;于是人們對(duì)不同類型的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了廣泛的研究#65377;目前，人們所得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則包括兩類:時(shí)滯獨(dú)立穩(wěn)定性準(zhǔn)則^[5-8]和時(shí)滯依賴穩(wěn)定性準(zhǔn)則^[9-10]#65377;眾所周知，時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性準(zhǔn)則比時(shí)滯依賴的保守性大，所以人們更注重于研究時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性準(zhǔn)則#65377;文獻(xiàn)[9]給出了時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，但他們沒有考慮系統(tǒng)不確定性#65377;然而，由于模型誤差，外部擾動(dòng)和參數(shù)波動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致模型不確定性的產(chǎn)生，從而使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變得更加復(fù)雜#65377;所以系統(tǒng)模型應(yīng)該具有一定的魯棒性#65377;文獻(xiàn)[10]雖然給出了時(shí)滯依賴的魯棒穩(wěn)定性，但由于所取的Lyapunov函數(shù)需要進(jìn)一步改進(jìn)，所以仍有一定的保守性#65377;

本文針對(duì)一類帶有范數(shù)有界不確定性的時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式技術(shù)給出了時(shí)滯依賴的魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則#65377;在推導(dǎo)過程中，沒有采用不等式放大技術(shù)，從而降低了保守性，并且解除了對(duì)時(shí)變時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的限制，適用性更廣#65377;最后通過數(shù)值例子進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論的有效性#65377;

2 系統(tǒng)描述

考慮如下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng):

其中x(t)=[x1(t)，…，xn(t)]T∈Rn是神經(jīng)元的狀態(tài)，f(x)=[f1(x1(t))，…，fn(xn(t))]T表示神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)，C=diɑg(ci)其中ci>0，A，B表示連接矩陣的系數(shù)，ΔC(t)，ΔA(t)和ΔB(t)是參數(shù)不確定性，I=[I1，…，In]表示外界常值輸入.時(shí)變時(shí)滯滿足0≤d(t)≤d和(t)≤μ.

本文考慮的不確定性是范數(shù)有界的，形式如下:

其中Ei，Hi(i=1，2，3)是已知的適當(dāng)維數(shù)的矩陣，Gi(t)(i=1，2，3)是時(shí)變不確定矩陣，滿足

另外，假設(shè)激勵(lì)函數(shù)fi(·)(i=1，2，…，n)有界且滿足如下條件

其中h-i，h+i(i=1，2，…，n)是常數(shù).h-i，h+i可以是正的，負(fù)的和零#65377;所以它比Sigmoid型激勵(lì)函數(shù)和Lipschitz型激勵(lì)函數(shù)更弱一些#65377;

計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化2007年6月第26卷第2期蘇衛(wèi)衛(wèi)等:時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)滯依賴的魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則由上面的假設(shè)可知系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)平衡點(diǎn)#65377;令x=[x1，x2，…，xn]T為系統(tǒng)(1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，為方便，通過坐標(biāo)變換z(t)=x(t)-x將平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)， 則式(1)變?yōu)?/p>

其中z(t)=[z1(t)，z2(t)，…，zn(t)]T，g(z(t))=[g1(z1(t))，g2(z2(t))，…，gn(zn(t))]T是變化后的激勵(lì)函數(shù)，gi(zi(t))=fi(zi(t)+xi)-fi(xi)且滿足如下的條件

等價(jià)于

為方便，將(5)簡記為

其中=C+ΔC(t)，=A+ΔA(t)，=B+ΔB(t)

引理1 設(shè)E，F(xiàn)和H是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，F(xiàn)滿足FTF≤I.則對(duì)任意的ε>0

EFH+HTFTET≤ε-1EET+εHTH

3 主要結(jié)果

在這部分，我們討論系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性#65377;

定理1 定義H1=diɑg{h-1h+1，…，h-nh+n}，H2=diɑg{h-1+h+1，…，h-n#65380;，h+n}，對(duì)給定的0

代表矩陣對(duì)稱位置元素的轉(zhuǎn)置#65377;

證明 對(duì)系統(tǒng)(1)構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

其中P，R，Q1和Q2是正定矩陣，li(i=1，2，…，n)是正的常數(shù).

沿系統(tǒng)(8)的軌跡對(duì)t求導(dǎo)，可以得到

所以存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣Yi(i=1，2，3)滿足

考慮系統(tǒng)中矩陣的關(guān)系，存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣Ti(i=1，2)滿足

把(12) 和(13)加到(t).

應(yīng)用S-procedure， 如果存在正定對(duì)角矩陣S和M， 滿足

則系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的#65377;

其中

考慮由(2)和(3)描述的不確定性，應(yīng)用引理1和Schur補(bǔ)，由F1<0，可得到Ξ(t)<0#65377;證畢#65377;

注 在定理的證明過程中，沒有應(yīng)用不等式放大技術(shù)，從而減少了保守性，并且時(shí)變時(shí)滯導(dǎo)數(shù)可以大于1，擴(kuò)大了適用范圍#65377;進(jìn)一步，分離了系統(tǒng)矩陣和Lyapunov矩陣，此定理可以很容易地應(yīng)用于多胞型不確定性系統(tǒng)#65377;

4 仿真實(shí)例

考慮系統(tǒng)(1)，系統(tǒng)系數(shù)如下

根據(jù)時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性準(zhǔn)則如文獻(xiàn)[5]，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的#65377;應(yīng)用文獻(xiàn)[9]中的定理1，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的所允許的最大時(shí)滯是1.9321，應(yīng)用本文中的定理可得最大時(shí)滯是h=3.5841，從而可知本文所給的穩(wěn)定性準(zhǔn)則比以前的結(jié)果要好#65377; 

5 結(jié) 論

本文討論了一類帶有范數(shù)有界不確定性的時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)滯依賴的魯棒穩(wěn)定性#65377;所考慮的不確定性是時(shí)變范數(shù)有界的#65377;準(zhǔn)則是以矩陣不等式的形式給出的，可用Matlab中的LMI控制工具箱求解#65377;該判據(jù)不僅適用于系統(tǒng)時(shí)滯變化率大于1 的情形，且與現(xiàn)有的方法相比具有更小的保守性#65377;數(shù)值仿真結(jié)果證明了所給準(zhǔn)則的有效性#65377;

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。