有關變力做功問題的探討

華容縣懷鄉中學湖南華容414200

功的計算是中學物理中的一個重要知識點，因此在高中物理學習中要求同學們能熟練掌握功的計算，對恒力做功，可用公式W=Fscosθ來求解，容易掌握，但涉及變力做功的問題，同學們往往束手無策，下面介紹七種變力做功的處理方法及思路。

1將變力做功轉化為恒力做功

如果作用在物體上的變力是由恒力通過定滑輪而產生的，那么這個變力對物體所做的功就等效于這一恒力所做功.

例1 如圖1所示，質量為m的物體，靜止于水平地面的A點，用質量不計的細繩系住，通過距地面高為h的無摩擦定滑輪對物體施加恒過拉力F，使物體由A點運動到B點，求此過程中拉力對物體所做的功。

解析：物體從A運動到B的過程中，繩子對物體的拉力F的方向時刻變化，故此力是變力，從圖1可以看出，此變力對物體所做的功W，等效于恒力F由a移動到b時對繩做的功WF。

2利用力的大小和路程的乘積來求解

在曲線或往復運動中，力（如滑動摩擦力）的大小不變但方向可變，且此力的方向始終與物體的運動方向相同或相反，則此力做的功可將其“視為”恒力做功，其功等于力F和路程 s路的乘積。

例2 某人用力F拉質量為M 物體，使物體在水平面上的半徑為R的圓周軌道上運動，如圖2所示，若拉力F的大小不變，但方向始終與圓周軌道的切線一致，則物體在轉動一周的過程中拉力F做的功。

解析：物體在轉動一周的過程中，拉力F的大小不變、方向時刻變化，但方向始終與物體的運動方向一致，所以拉力F所做功為正功其值等于拉力和物體運動一周的路程的乘積.即W=2πRF可以看出，在變力的大小不變時，不但變力始終與速度方向相同或相反，可用W=F s路計算，而變力始終與速度方向成某一固定的θ角度，也可用W=F s路 cosθ進行計算。

3利用動能定理來求解

利用動能定理求變力做功是一種最基本的、最有效的方法，它適用于只涉及動能的變化與變力做功之間的轉換。

例3 如圖3所示，在光滑的平臺上，有一質量為m的物體，物體與輕繩的一端相連，輕繩跨過定滑輪（定滑輪的質量和摩擦不計）另一端被滑輪正下方站在地面上的人拉住，人與繩的接觸點和定滑輪的高度差為h，若此人以速度v0 向右勻速前進s，求在此過程中人的拉力對物體所做的功。

解析：當人向右勻速前進的過程中，繩子與豎直方向的夾角由0°逐漸增大，人的拉力就發生了變化，故無法用W=Fscosθ計算拉力所做的功，而在這個過程中，人的拉力對物體做的功使物體的動能發生了變化，故可以用動能定理來計算拉力做的功.當人在滑輪的正下方時，物體的初速度為零，當人水平向右勻速前進s 時物體的速度為v1，由圖4可知： v1= v0sina

⑴根據動能定理，人的拉力對物體所做的功W=mv12/2－0

⑵由⑴、⑵兩式得W=ms2 v12/2(s2+h2)

4 利用微元分析法求解

微元分析法就是把整個運動過程劃分成很多個微元，整個過程中變力做功就等效于每個微元中恒力做功之和的一種方法。

例4、 如圖5所示，質量為m的小車以恒定的速率v沿半徑為R的豎直圓環軌道運動，已知動摩擦因數為μ，試求小車從軌道的最低點運動到最高點的過程中摩擦力做的功。

解析：如果考慮小車與水平軸對稱的1、2兩段由微小位置下摩擦力做的功，如圖6所示，動力學方程得

N1－mgsina=mv2/R

N1=mgsina+mv2/R

同理小車在2處的彈力N2= mv2/R－mgsina

由此可見，小車在1、2兩段微元下摩擦力做的功

之和為：△Wf=△Wf1+△Wf2=－μN1△s－△N2△s=－2μmv2△s/R=－2μmv2△a整個過程中摩擦力做的功W=∑△Wf=－2μmv2∑△a=－2πμmv2

5 利用F－s圖象求解

從如圖7的F－s圖象中不難看出，圖線與橫坐標圍成的面積(陰影部分)在數值上等于這個力所做功的值，所以在題中已知F－s圖象或能作出F－s圖象，我們就可以把復雜的變力做功利用簡單的面積來計算。例5 面積很大的水池，水深為H，水面上浮著一正方體木塊，木塊邊長為a，密度為水的1/2，質量為m，開始時，木塊靜止，有一半沒入水中，如圖8所示，現用力F將木塊壓到池底，不計摩擦，求從開始到木塊，剛好壓到池底的過程中，為F對木塊做的功.

解析：木塊從開始緩慢地壓到剛好完全沒入水的過程中，壓力F與下降的位移成正比，下降位移a/2時壓力F最大，Fm=mg，以后的運動過程中壓力始終為Fm，，由此，可作出如圖9的F－s圖象，圖象中斜線所圍成的面積值就等于壓力對物體所做功的值.即W=mg[(H－a/2)+H]=mgH－mga/4

6利用平均力求解

若題中的變力與位移成線性關系，即F1=ks+b，也就是說，變力F1線性地變化到F2的過程中所做的功等于該過程的平均力所做的功。

例6 用大錘將一木樁打入泥地里，木樁長為L，大錘第一次擊樁時，使木樁從地面鉆入泥地L/4，如果木樁受到泥的土的阻力遠大于木樁的重力，且與木樁鉆入泥中的深度成正比，問打多少次后木樁將全部鉆入泥中.

解析：因木樁受到的阻力與木樁進入泥土的深度成正比，所以可用平均力來求這個阻力做的功.設阻力Ff=ks，當第一次將木樁打入泥地L/4過程中，克服阻力做功為W1=kL/8×L/4=kL2/32將木樁全部打入泥地L 的過程中，克服阻力做功為W2=kL/2×L=kL2/2需要打擊的次數為n=W2/W1=16。

7利用保守力做功與路徑無關求解

因重力和電場力（保守力）做功與路徑無關，只與物體的初、末狀態有關，且重力和電場力不論是恒力還是變力，其做的功可以用公式Wab=mghab和Wab=qUab來計算，所以題中只要已知重力或電荷的電量和始、末兩點之間的高度差或電勢差，就可以用上面的公式進行計算.

例7 如圖10所示，一個點電荷的電場的電場線和等勢線（虛線），兩等勢線間的電勢差為4V，有q=－1.0×10-8C的電荷，從A點沿不規則曲線移到B點電場力做功為多少?

解析：點電荷從A點沿不規則曲線運動B點的過程中，電場力是變力，電場力做功只能用Wab=qUab來計算.

∵Uab=4V ∴Wab=qUab=－1.0×10-8×4 =－4.0×10-8(J)

注：本文中所涉及到的“圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”