古典概率在中學(xué)教學(xué)中的探討

【摘要】概率統(tǒng)計是大學(xué)許多專業(yè)的重點(diǎn)課程，特別是數(shù)學(xué)系的必修之課。在最近幾年，中學(xué)增加了概率統(tǒng)計的一些初步知識，在高考的試題中，關(guān)于概率統(tǒng)計的試題也逐漸增加。但課本上的知識講得較淺，知識面狹窄，從而導(dǎo)致學(xué)生易學(xué)易懂但不易解題。所以應(yīng)該作適當(dāng)?shù)闹R拓展，以適應(yīng)新形勢的需要。

【關(guān)鍵詞】古典概率 中學(xué)教學(xué) 探討

遵義學(xué)院數(shù)學(xué)系同學(xué)在各個縣中學(xué)實(shí)習(xí)期間，對所在實(shí)習(xí)學(xué)校進(jìn)行了教學(xué)調(diào)查。重點(diǎn)是調(diào)查概率統(tǒng)計這門課在中學(xué)的教學(xué)情況。通過調(diào)查他們得出了一致的結(jié)論，概率統(tǒng)計這門課，中學(xué)課本上講得較淺，導(dǎo)致學(xué)生易學(xué)易懂而不易解題。均一致要求作適當(dāng)?shù)闹R拓展，以適應(yīng)新形勢的需要。

某同學(xué)說：“近幾年高考中，談得比較多的是概率的得分率偏低，特別是古典概率方面的考題”，針對這個問題，他在實(shí)習(xí)期間，調(diào)查了遵義縣某中學(xué)的高三年級800多名學(xué)生，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，對概率統(tǒng)計的應(yīng)用進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果如下：

從上表中可以清楚看出：比例顯然不符合正態(tài)分布。該同學(xué)說：究其原因，依據(jù)同學(xué)們的反映，課本上的知識講得較淺，知識面狹窄，從而導(dǎo)致他們易學(xué)易懂而不易解，均要求將”等可能事件”這部分內(nèi)容作適當(dāng)?shù)耐卣埂?/p>

在高考試題中，關(guān)于概率統(tǒng)計的試題也逐漸增加，而且難度超過了普通高中數(shù)學(xué)課程的標(biāo)準(zhǔn)。又一同學(xué)舉了這樣一個例子：

2005年高考湖北卷文科第21題：某會議室有5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈泡的壽命為1年以上的概率為P₁，壽命為2年以上的概率為P₂。從使用之日起每滿一年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換。 (I)在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換 2只燈泡的概率；(II)在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；(III)當(dāng)P₁=0.8，P₂=0.3時，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)。

在這道考題中，在求(Ⅱ)的解答時，其過程涉及到要求在第一次未更換燈泡，而在第二次需要更換燈泡的概率。如果設(shè)A=“該型號燈泡壽命在一年以上”，B=“該型號燈泡壽命在2年以上”，由題意得：P(A）=P₁，P(B)=P₂，則P()=1-P₂，則P（第1次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡)= P(A )。在求P(A )中，就涉及到獨(dú)立與非獨(dú)立的問題。在公開發(fā)表的論文中，關(guān)于這一道題的這一步解，就有兩種截然不同的答案。在湖北省教育考試院主辦的《湖北招生考試》2005年6月10日出版的《2005年高考試卷與參考答案》中，認(rèn)為A與是獨(dú)立的，有P(A ）=P(A)P()=P₁(1－P₂)，而華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院2006年出版的《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》第一期34頁上的文章認(rèn)為A與非獨(dú)立，認(rèn)為B是A的子集，有P(A )=P₁－P₂。在這里，我們暫時不討論這兩種解答誰是誰非。大部分高中生在這種試題的面前，是束手無策的。而在高中的課本里，關(guān)于事件的獨(dú)立性，僅僅是通過具體的情景中，介紹兩個事件的相互獨(dú)立性。課本的要求僅僅是“了解”。所以許多學(xué)生在了解了高考試題的難度以后，迫切要求老師在講授概率統(tǒng)計時，作適當(dāng)?shù)募由钔卣埂?/p>

又一同學(xué)在論文“伯努利概型在初等教學(xué)應(yīng)用的拓展”中，闡述了她在遵義市某中學(xué)高二年級十一個班，總計七百零九名學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計這部分內(nèi)容的大致情況。她發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍認(rèn)為概率統(tǒng)計易學(xué)易懂，但不易掌握，“尤其是n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中有k次發(fā)生的概率最不易掌握”，該同學(xué)把全日制普通高級中學(xué)教科書《數(shù)學(xué)》（必修、人教版、第二冊B下）關(guān)于伯努利概型的內(nèi)容與大學(xué)教科書中有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了比較。認(rèn)為“高等數(shù)學(xué)的表述及證明為高中教材計算在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率的計算方法奠定了理論基礎(chǔ)。”最后得出一個結(jié)論：高等數(shù)學(xué)中伯努利概型對于高中的n重獨(dú)立試驗(yàn)發(fā)生k次的概率具有理論指導(dǎo)意義。

另一同學(xué)利用實(shí)習(xí)期間，對遵義縣一些中學(xué)作了調(diào)查，在畢業(yè)論文“對高中數(shù)學(xué)等可能性事件的探討”中說：“在調(diào)查時，我發(fā)現(xiàn)高中生在解決概率問題時，總是容易犯一些分析問題不足的錯誤”。“我認(rèn)為這是因?yàn)閷W(xué)生在最開始學(xué)習(xí)概率時，對‘等可能性事件的概率’問題沒有能夠深刻地認(rèn)識理解。”

高中數(shù)學(xué)的定義：

一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱一個基本事件，通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個基本事件組成，如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗(yàn)由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1/n。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率: P(A)=m/n。大學(xué)里，把“等可能性事件的概率”問題歸為有限等可能概型——古典概型，其定義為：設(shè)古典概型的所有基本事件為:，事件A含有其中的m個基本事件，則定義事件A的概率，P(A)=m/n。其中n是基本事件的總數(shù)，m是A包含的基本事件數(shù)。然后他根據(jù)高中學(xué)生的反映，評價說：“其實(shí)，大學(xué)里對‘等可能性事件的概率’的定義比中學(xué)里的定義還要簡單” 該同學(xué)進(jìn)一步地說：“集合是高中生進(jìn)入高中后最先學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識”，如果把集合的知識重新定義“等可能性事件的概率”，問題會更清楚。下面是他重新下的定義：“如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗(yàn)由n個基本事件組成，那么這n個基本事件就組成一個集合I(I為全集)；且集合I中所有元素出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個元素（基本事件）出現(xiàn)的概率都是。如果某個事件A含有m個元素（結(jié)果），即A為全集I的一個子集，那么事件A的概率就為：P(A)=m/n”。

以上就這些同學(xué)的調(diào)查，寫的畢業(yè)論文。我們可以看出，同學(xué)們這次利用實(shí)習(xí)，進(jìn)行了專項調(diào)查，獲得了豐收的碩果。筆者同意他們的看法，初等教育的概率統(tǒng)計部分內(nèi)容，應(yīng)該作適當(dāng)?shù)耐卣梗汛髮W(xué)的內(nèi)容與中學(xué)的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來。

高中數(shù)學(xué)課程是義務(wù)教育后普通高級中學(xué)的一門主要課程，它包含了數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容。是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程。高中數(shù)學(xué)課程對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然，數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，文化價值，提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用。高中數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，形成解決簡單實(shí)際問題的能力。高中數(shù)學(xué)課程是學(xué)習(xí)高中物理，化學(xué)，技術(shù)等課程和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。同時，它為學(xué)生的終身發(fā)展，形成科學(xué)的世界觀，價值觀奠定基礎(chǔ)，對提高全民族素質(zhì)具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]湖北招生考試[J].《2005年高考試題與參考答案》．2005-06-10.

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]．華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》編輯部．2006年第1期．

[3]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）中華人民共和國教育部制訂.人民教育出版社．

（作者單位：貴州省遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。