一種基于乘性可變尺度形態(tài)分形模型的分割新算法

摘要：在定義乘性可變尺度結(jié)構(gòu)算子對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)維分形模型進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)的基礎(chǔ)上，提出了一種基于提取分形特征參數(shù)的圖像分割算法。首先定義并比較了加性和乘性可變尺度形態(tài)結(jié)構(gòu)算子，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行形態(tài)學(xué)膨脹運(yùn)算，提取歸一化模型下的數(shù)學(xué)形態(tài)維分形維數(shù)，再用分形特征維數(shù)調(diào)制灰度值，以拉開各個(gè)灰度級(jí)間的距離，有效地增大了目標(biāo)和背景的差異，最后進(jìn)行自適應(yīng)閾值分割。大量對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)取得了良好的分割效果，并且證明了本算法的有效性和可靠性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)形態(tài)維； 歸一化； 分形維數(shù)； 閾值分割； 分形調(diào)制

中圖分類號(hào)：TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695(2007)04-0151-03

0引言

分形理論為研究自然界中不規(guī)則的復(fù)雜物體提供了一種極好的數(shù)學(xué)手段。它反映的是統(tǒng)計(jì)意義下圖像紋理的不規(guī)則性和復(fù)雜度，既不易受灰度均值的影響，又不會(huì)因圖像尺度的改變而產(chǎn)生大的變化。因此它是描述自然紋理的有效工具^[1]。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像形態(tài)濾波技術(shù)的理論基石，是一種成功的非線性圖像處理和分析理論^[2，3]。形態(tài)濾波就是從集合角度刻畫和分析圖像，并進(jìn)行變換以突出所需要信息的過程。宏觀上它是通過一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素在目標(biāo)對(duì)象中移動(dòng)，保持圖像基本特征，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像信息的濾波處理，并且能根據(jù)定義結(jié)構(gòu)尺度大小除去小于結(jié)構(gòu)元的細(xì)節(jié)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)恰好成為不同尺度下度量幾何體分形維數(shù)的有力手段。近年來，數(shù)學(xué)形態(tài)維分形模型形成了一套系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摵退惴w系，迅速成為分形處理領(lǐng)域重要的理論模型。

1數(shù)學(xué)形態(tài)維分形模型

分形維數(shù)是在尺度ε下測(cè)得的由標(biāo)度關(guān)系得出的定量數(shù)值，標(biāo)志了該結(jié)構(gòu)的自相似規(guī)律。數(shù)學(xué)形態(tài)維是在Blanket算法^[4]上發(fā)展起來的ε規(guī)模下的測(cè)量法，即圖像集合F的維數(shù)服從由ε→0時(shí)ε的指數(shù)關(guān)系：

對(duì)于理想分形體，維數(shù)s與尺度ε無關(guān)。其物理意義表示為覆蓋F所需要的以ε＞0為直徑的互不相交的閉球簇的最小數(shù)目。

Samarabandu等人^[5]給出了一種基于固定結(jié)構(gòu)元的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)分維數(shù)估計(jì)方法。分別用膨脹與腐蝕算子卷積原圖像（圖1）以構(gòu)建上、下覆蓋層（圖2），并使兩側(cè)覆蓋層與圖像灰度表面距離小于等于ε。實(shí)際應(yīng)用中，由于引入腐蝕算子并不能使估計(jì)精度顯著提高，反而大大增加了算法的復(fù)雜性，可以僅僅使用膨脹算子構(gòu)建。膨脹算子為令覆蓋層的體積為V(ε)，則灰度表面的面積將是ε趨近于0時(shí)V(ε)與 ε之商的極限。設(shè)A(i， j，ε)為圖像上I(i， j)像素處圖像曲面面積，M、I為上、下覆蓋層，s(i， j)該點(diǎn)處分形維數(shù)值，則可以得到對(duì)于具有統(tǒng)計(jì)意義下分形特征的圖像表面，其面積將隨尺度減小而指數(shù)級(jí)增加，對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì){ln[A(i， j，ε)]，ln(1/ε)}進(jìn)行最小二乘直線擬合即可求出分形維數(shù)。

2加性和乘性結(jié)構(gòu)算子

形態(tài)濾波是具有等冪性和單調(diào)性的形態(tài)變換，其性能由兩個(gè)因素決定：結(jié)構(gòu)元素和變換函數(shù)。其中，單調(diào)性是機(jī)遇用于描述圖像空間的偏序關(guān)系；等冪性則是機(jī)遇建立在函數(shù)空間代數(shù)結(jié)構(gòu)上的變換函數(shù)。一種有效的圖像處理方法除賦予相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型外，還應(yīng)建立相應(yīng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。根據(jù)Heijmans H.的理論^[6]，如果將圖像灰度曲面I視為空間集合P(R2)中的點(diǎn)集合，則可以定義復(fù)平面中的兩類形態(tài)膨脹運(yùn)算。

（1）加性形態(tài)膨脹運(yùn)算為

其中，集合B被稱為結(jié)構(gòu)元素。

形態(tài)膨脹運(yùn)算可以通過在實(shí)施對(duì)象中填放結(jié)構(gòu)元的方法實(shí)現(xiàn)，但是加性和乘性運(yùn)算填放的方式是完全不同的。加性形態(tài)運(yùn)算在結(jié)構(gòu)元素的平移過程中只有結(jié)構(gòu)元素的空間位置變化，而并不改變尺寸和形狀；乘性形態(tài)運(yùn)算在作用過程中伴隨著結(jié)構(gòu)元素尺寸和形狀的變化，其空間位置的改變則是通過旋轉(zhuǎn)變換完成的。從對(duì)圖像濾波的角度看，由于形態(tài)運(yùn)算不受原點(diǎn)相對(duì)于結(jié)構(gòu)元的位置影響，加性運(yùn)算保留圖像I中半徑不小于ε的鄰域。而乘性運(yùn)算保留圖像I中半徑不小于εd的鄰域，這里的d是鄰域中心與原點(diǎn)的距離。

通常的形態(tài)分形維模型應(yīng)用加性形態(tài)膨脹運(yùn)算，會(huì)反復(fù)使用固定的尺度結(jié)構(gòu)元，其缺點(diǎn)非常明顯^[7]。首先，不同尺度下實(shí)際使用的等效結(jié)構(gòu)元的半徑是成倍增長(zhǎng)的。例如，結(jié)構(gòu)元為5，尺度為2時(shí)，等效于用半徑為10的結(jié)構(gòu)元去膨脹；而尺度為3時(shí)，等效半徑變?yōu)?5。這種膨脹會(huì)使計(jì)算結(jié)果受到較大鄰域內(nèi)像素的影響，造成邊緣區(qū)域難以準(zhǔn)確定位，降低分割的精度。其次，由于數(shù)字圖像總定義于離散網(wǎng)格上，使得大尺度上膨脹結(jié)果偏小，最終的分維數(shù)估計(jì)值偏大。

乘性形態(tài)膨脹算子（圖3）具有旋轉(zhuǎn)縮放特性，因此具有比普通加性算子更好的分析能力。可以用這樣的方式構(gòu)建：n×n大小算子以(n-1)×(n-1)算子為中心，邊界行列以(n-1)/2行為軸旋轉(zhuǎn)180°，則得到了一組具有可變結(jié)構(gòu)元的乘性形態(tài)膨脹算子rn。方框內(nèi)表示上一級(jí)算子，方框以外表示隨尺度擴(kuò)大，結(jié)構(gòu)元的支撐區(qū)域擴(kuò)展部分。顯然求所有尺度下膨脹運(yùn)算的計(jì)算量?jī)H相當(dāng)于求最大尺度下的計(jì)算量，減小了復(fù)雜性和運(yùn)算量。而這一組算子由于具有固有的代數(shù)結(jié)構(gòu)和旋轉(zhuǎn)縮放的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得乘性形態(tài)膨脹運(yùn)算能夠刪除圖像中尺度小于結(jié)構(gòu)元的幾何結(jié)構(gòu)，光滑圖像外凸邊緣，起到低通濾波的作用。

乘性形態(tài)模型提高了對(duì)圖像表面自相似性的描述能力，減小了傳統(tǒng)加性形態(tài)模型的固有誤差，也大大提高了分形維數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確度。

3模型歸一化

面積度量A的幾何意義很明確，即它代表以像素為中心的鄰域中像素所占據(jù)的平均表面積，并且反映了表面積隨尺度和空間的變化，是重要影響參數(shù)之一。其計(jì)算精度直接影響了分形維數(shù)的估計(jì)。

然而若以這種未經(jīng)歸一化的面積直接參與度量計(jì)算，會(huì)導(dǎo)致不正確的結(jié)果。設(shè)想有一個(gè)理想的均勻的圖像灰度表面，該表面中任意一點(diǎn)在尺度ε時(shí)的表面積為

同理，在尺度ε-1時(shí)的表面積為

代入度量特性，兩式相比，則

當(dāng)圖像灰度曲面既是均勻灰度表面又是平坦分形表面時(shí)，d=D。因此右半邊等于1，而左半邊卻是一個(gè)大于1的實(shí)數(shù)。由正確等式卻導(dǎo)出了不相等的矛盾結(jié)果。為此，必須對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，將其進(jìn)行歸一化即

得到歸一化面積量度后，再通過對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)(log A′(i， j，ε)，log (1/ε))進(jìn)行最小二乘擬合，就可以得到圖像的改進(jìn)型形態(tài)覆蓋維數(shù)s。

4分形特征提取與閾值分割

由于目標(biāo)分形差異較大，分形維數(shù)中較大的部分將對(duì)應(yīng)圖像中較少的目標(biāo)區(qū)域；而且分形維數(shù)通常都是非整數(shù)（其范圍在[0，r)內(nèi)，r為某一實(shí)數(shù)，因圖像類型而變化），所以分布比較集中、缺乏層次、對(duì)比度低，也很難精確確定從目標(biāo)過渡到背景的臨界點(diǎn)。如果能有效拉開背景與目標(biāo)類間的距離，構(gòu)造出更多的層次，可以有效防止分割不足與過分割。

顯然，分形維數(shù)表現(xiàn)的是圖像灰度在多分辨率分析下的線形性，那么分形變換就是建立在空域“灰度信號(hào)”與分形特征域“分形維數(shù)”之間的變化關(guān)系。把分形維數(shù)作為加權(quán)因子來調(diào)制圖像灰度值，利用了分維數(shù)對(duì)灰度分布的自相似性與差異性。在時(shí)域中考慮的是不同的灰度段，在頻域中體現(xiàn)的是多個(gè)頻率范圍，是一種利用特征信息對(duì)灰度信息的擴(kuò)充。加權(quán)調(diào)制后的變換圖像將包含小數(shù)位的信息，因此具有更豐富的灰度級(jí)。它既能保留圖像中原有細(xì)節(jié)和邊緣，又能突出視覺不易覺察的區(qū)域。由于目前的圖像格式都是用整數(shù)來描述的，可以用歸整化處理將小數(shù)域變換到實(shí)數(shù)域之后，再對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行最高位截?cái)啵箞D像的數(shù)據(jù)大小歸一化到[0，255]之間。原圖像窗口內(nèi)灰度分布差別越大，則分維數(shù)越大，調(diào)制后的圖像擴(kuò)大原來的灰度差；灰度分布差別小，分維數(shù)小，調(diào)制后灰度級(jí)差變大，突出了圖像中細(xì)節(jié)的灰度差別。

定義分形調(diào)制度（Fractal Modulation Degree，F(xiàn)MD）為

其中*運(yùn)算表示了歸整和截?cái)嗟倪\(yùn)算。

分形調(diào)制度很好地將灰度空間信息轉(zhuǎn)換為特征空間信息，設(shè)分形維圖像僅包含目標(biāo)和背景兩類區(qū)域，背景和目標(biāo)的概率密度分別為pb(z)和pt(z)，先驗(yàn)概率分別為Pb和Pt，μb和μt分別為背景和目標(biāo)區(qū)域的灰度平均值，分割最優(yōu)閾值為

具體計(jì)算中，基于不同尺度灰度鄰域的像素點(diǎn)灰度值在尺度變化下表現(xiàn)出強(qiáng)線形性。不同尺度窗口平滑了不同尺度鄰域的灰度起伏，受隨機(jī)影響很小，所以具有很好的抗噪聲干擾性。分割結(jié)果如圖4所示。

5結(jié)束語

實(shí)驗(yàn)證明，分形調(diào)制度(FMD)分割算法簡(jiǎn)單、可靠、實(shí)用。乘性形態(tài)分維模型更準(zhǔn)確地描述圖像表面粗糙度和自相似性，減小了傳統(tǒng)加性形態(tài)模型的固有誤差，因此也大大提高了分形維數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確度。根據(jù)目標(biāo)和背景的分形特性，不僅較好地消除了系統(tǒng)噪聲的干擾，有效地抑制了背景中灰度變化劇烈的區(qū)域、增強(qiáng)了目標(biāo)的分形特性，而且通過結(jié)合空域灰度和分形域特征，更準(zhǔn)確地提取出目標(biāo)，為復(fù)雜背景下目標(biāo)的分形檢測(cè)算法開辟了一條可行的途徑，具有重要的研究意義。

本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。