粗糙集理論及其在圖像處理中的應(yīng)用

摘要：首先描述了粗糙集理論的基本概念，包括粗糙集知識(shí)表示方法和粗糙集約簡(jiǎn)理論；敘述了粗糙集理論及其與其他非線性理論相結(jié)合在圖像處理中的應(yīng)用情況；最后指出了粗糙集理論應(yīng)用于圖像處理的基本思路，并指出將粗糙集理論與其他非線性理論相結(jié)合應(yīng)用于圖像處理，將會(huì)產(chǎn)生更加有效的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：粗糙集； 知識(shí)系統(tǒng)； 不確定性； 圖像處理

中圖分類號(hào)：TP18； TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695(2007)04-0176-03

RS(Rough Sets，粗糙集，又稱為粗集)理論是一種刻畫(huà)不完整性和不確定性的數(shù)學(xué)工具，能有效分析和處理不精確、不一致、不完整等各種不完備信息，并從中發(fā)現(xiàn)隱含知識(shí)，揭示潛在的規(guī)律^[1]。粗集理論是由波蘭學(xué)者Zdzislaw Pawlak在1982年^[2]提出的。1991年P(guān)awlak Z.出版了專著^[3]，系統(tǒng)全面地闡述了RS理論，奠定了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。該書(shū)與1992年出版的RS理論應(yīng)用專集^[4]較好地總結(jié)了這一時(shí)期RS理論與實(shí)踐的研究成果，促進(jìn)了它的發(fā)展。

Rough Sets的生命力在于它具有較強(qiáng)的實(shí)用性，目前已經(jīng)在人工智能、知識(shí)與數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)、模式識(shí)別與分類、故障檢測(cè)等方面得到了較為成功的應(yīng)用。目前，大量學(xué)者將粗糙集理論應(yīng)用于圖像處理的各個(gè)方面，取得了較好的效果。

1粗糙集理論基本概念

粗糙集理論的出發(fā)點(diǎn)在于：根據(jù)目前已有的對(duì)給定問(wèn)題的知識(shí)將問(wèn)題的論域進(jìn)行劃分；然后對(duì)劃分后的每一個(gè)組成部分確定其對(duì)某一概念的支持程度，即肯定支持此概念、肯定不支持此概念和可能支持此概念。基本粗糙集理論包括兩方面的內(nèi)容，即RS知識(shí)表示方法和粗糙集約簡(jiǎn)理論。

1.1RS知識(shí)表示方法

基于Rough Sets理論的知識(shí)發(fā)現(xiàn)，主要是借助于信息表這樣一種有效的數(shù)據(jù)表知識(shí)表達(dá)方式。信息表知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)的基本成分是研究對(duì)象的集合。關(guān)于這些對(duì)象的知識(shí)是通過(guò)指定對(duì)象的屬性(特征)和它們的屬性值(特征值)來(lái)描述的。一般地，一個(gè)信息表知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)S可以表示為一個(gè)四元組S=(U，R，V， f )。這里，U是對(duì)象的集合，也稱為論域；R是屬性的非空有限集合；V=∪a∈A，Va表示屬性a的值域； f ∶U×R→V是一個(gè)信息函數(shù)，它指定U中每一個(gè)對(duì)象x的屬性值。 在粗集理論中，知識(shí)被認(rèn)為是一種分類能力，即根據(jù)事物的特征差別將其分門(mén)別類的能力。分類過(guò)程中相差不大的個(gè)體被歸于同一類，它們的關(guān)系就是不可分辨關(guān)系，即等價(jià)關(guān)系。其定義為：對(duì)于每個(gè)屬性子集BR，本文定義一個(gè)不可分辨關(guān)系(Indiscernibility Relation)IND(B)，即

顯然，IND(B)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系(滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性)。

粗糙集理論的不確定性是建立在上、下近似的概念之上的。給定知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)S=(U，R，V， f)，對(duì)于每個(gè)子集XU和不可分辨關(guān)系B，X的上近似(Upper Approximation)和下近似(Lower Approximation)分別定義如下：

X的上近似B-(X)=∪{Yi|Yi∈U|IND(B)，Yi∩X≠φ}

X的下近似B-(X)=∪{Yi|Yi∈U|IND(B)，YiX}

集合BNB(X)=B-(X)-B-(X)稱為X的B邊界(Boundary)；POSB(X)=B-(X)稱為X的B正域(Positive Region)；NEGB(X)=U-B-(X)稱為X的B負(fù)域(Negative Region)。

B-(X)是根據(jù)知識(shí)B(屬性子集B)、U中所有一定能歸入集合X的元素構(gòu)成的集合，即所有包含于X的基本集Yi的并；B-(X)是根據(jù)知識(shí)B、U中所有一定和可能歸入集合X的元素構(gòu)成的集合，即所有與X的交不為空集的基本集Yi的并；BNB(X)是根據(jù)知識(shí)B、U中既不能肯定歸入X，又不能肯定歸入集合X的元素構(gòu)成的集合；正域POSB(X)是根據(jù)知識(shí)B、U中所有能確定一定歸入X的元素的集合；負(fù)域NEGB(X)是根據(jù)知識(shí)B、U中所有不能確定一定歸入X的元素的集合；邊界域BNB(X)是某種意義上論域上的不確定域，邊界域中的元素既不能肯定地屬于集合X，也不能肯定地屬于X。

集合的不精確性正是由于邊界域的存在而引起的。集合的邊界域越大，其精確性則越低。如果BNB(X)是空集，則X關(guān)于R是清晰的(Crisp)，稱集合X為精確集；反之如果BNB(X)不是空集，則稱集合X為關(guān)于R的粗糙集(Rough Sets)。

1.2RS約簡(jiǎn)理論

RS約簡(jiǎn)理論是粗糙集的核心內(nèi)容。其主要思想是：保持相對(duì)分類能力不變的條件下，刪除冗余的、不必要的屬性或?qū)傩灾担_(dá)到知識(shí)簡(jiǎn)化的目的。

知識(shí)庫(kù)中的知識(shí)(屬性)并不是同等重要的，甚至其中某些知識(shí)是冗余的。所謂知識(shí)約簡(jiǎn)，就是在保持知識(shí)庫(kù)分類能力不變的條件下，刪除其中不相關(guān)或不重要的知識(shí)。

令R為由特征集定義的一等價(jià)關(guān)系族。對(duì)于任一屬性a∈R，如果IND(R)≠I(mǎi)ND(R-{a})，則稱a為R中不可省略的(Indispensable)；否則a為R中可省略的(Dispensable)。R中所有不可省略關(guān)系的集合稱為R的核，記為CORE(R)，即CORE(R)=∩RED(R)。這里RED(R)是R的所有簡(jiǎn)化族。核中的屬性是影響分類的重要屬性。

約簡(jiǎn)和核這兩個(gè)概念很重要，是RS方法的精華。RS理論提供了搜索約簡(jiǎn)和核的方法。

綜上所述，粗糙集理論的基本框架可歸納為：以不可分辨關(guān)系劃分所研究論域的知識(shí)，形成知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)；利用上、下近似集逼近描述對(duì)象，通過(guò)知識(shí)約簡(jiǎn)，從而獲得最簡(jiǎn)知識(shí)。 

2粗糙集理論在圖像處理中的應(yīng)用

由于圖像信息本身的復(fù)雜性和較強(qiáng)的相關(guān)性，圖像處理過(guò)程中的各個(gè)層次可能出現(xiàn)不完整和不精確的問(wèn)題。將粗糙集理論應(yīng)用于圖像處理，在一些場(chǎng)合具有比硬計(jì)算方法(即精確、固定的算法) 更好的效果。目前，粗糙集理論已應(yīng)用于圖像處理的各個(gè)方面，產(chǎn)生了較好的效果。下面對(duì)國(guó)內(nèi)外關(guān)于粗糙集理論及其與其他理論相結(jié)合應(yīng)用于圖像處理的各個(gè)方面加以闡述。

2.1粗糙集應(yīng)用于圖像處理

（1）圖像濾波

粗糙集理論應(yīng)用于圖像濾波的基本思想是將每一幅圖像表達(dá)的信息作為一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，利用粗糙集中的近似集合概念檢測(cè)并處理圖像中的噪聲像素^[5]。胡小梅等人^[6]在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于粗糙集理論的彩色圖像濾波算法。該算法可以有效地去除彩色圖像中的椒鹽噪聲，并能較好地保持圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。為更好地保護(hù)邊緣，楊平先等人^[7]根據(jù)噪聲和邊緣的特征以粗集方法劃分噪聲和邊緣，并分別予以不同的處理，得到一個(gè)改進(jìn)的粗集方法中值濾波器。由此，將粗糙集理論用于圖像濾波，不僅能有效地抑制噪聲，又能更好地保護(hù)邊緣信息。

（2）圖像增強(qiáng)

粗糙集理論用于圖像增強(qiáng)是將知識(shí)系統(tǒng)看做圖像近似空間。其基本步驟為：①對(duì)圖像根據(jù)不同特性利用不可分辨關(guān)系的等價(jià)概念進(jìn)行子圖劃分；②對(duì)各個(gè)子圖進(jìn)行適當(dāng)?shù)臑V波增強(qiáng)操作；③最后進(jìn)行子圖合并得到增強(qiáng)后的圖像。很多學(xué)者^[8~12]根據(jù)此方法對(duì)不同圖像作增強(qiáng)處理，取得了較好的效果。 

（3）圖像分割

圖像分割是把目標(biāo)從背景中提取出來(lái)，為更高層次的圖像處理和理解打下基礎(chǔ)。劉巖等人^[13]將原圖像按等價(jià)關(guān)系進(jìn)行劃分，基于屬性約簡(jiǎn)的概念對(duì)不同區(qū)域按照不可分辨關(guān)系分類。通過(guò)綜合不同分類所得到的等價(jià)關(guān)系得到滿意的分割結(jié)果。Akash Mohabey等人^[14]將粗糙集的思想應(yīng)用到彩色圖像分割中，采用待分割圖像直方圖的上逼近和下逼近來(lái)分割原圖像，提出了將粗糙集應(yīng)用于彩色文本圖像區(qū)域特征的軟分類算法。而萬(wàn)長(zhǎng)明等人^[15]在一種改進(jìn)的RGB橢圓彩色模型^[16]上，對(duì)每一個(gè)分量進(jìn)行若干次小波變換后的高頻小波系數(shù)塊進(jìn)行直方圖特征分析，并應(yīng)用粗糙集的分類思想，將彩色文本圖像分割為相應(yīng)的區(qū)域，得到了較好的分割效果。

（4）圖像特征提取與分類

特征選擇是圖像識(shí)別中一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題。在圖像處理中，圖像可以看成是一個(gè)知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)。其像素是對(duì)象，像素的各種特征，如灰度、紋理、幾何特征等則視為其屬性。根據(jù)這些屬性進(jìn)行分類的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一種知識(shí)的表達(dá)過(guò)程，而研究知識(shí)的約簡(jiǎn)是粗集理論的核心內(nèi)容之一。潘勵(lì)等人^[17]把知識(shí)約簡(jiǎn)的思想應(yīng)用到圖像特征選擇中，結(jié)合粗集理論提出了一種圖像特征選擇算法。該算法先把抽象的特征搜索空間變?yōu)橐环N意義明確的知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)，利用Kohonen網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)離散化、歸一化；然后根據(jù)人的邏輯推理思想進(jìn)行知識(shí)約簡(jiǎn)。其算法能有效地進(jìn)行圖像特征的約簡(jiǎn)。

圖像分類屬于模式識(shí)別的范疇。其主要內(nèi)容是圖像經(jīng)過(guò)某些預(yù)處理（增強(qiáng)、復(fù)原、壓縮）后，進(jìn)行圖像特征提取，從而進(jìn)行判決分類。 粗集理論應(yīng)用于圖像分類，可以把圖像分類問(wèn)題看做是簡(jiǎn)化知識(shí)表達(dá)與信息分類處理問(wèn)題。基于此，陳添丁^[18]通過(guò)聚類分析，利用直方圖計(jì)算，獲取顏色特征。通過(guò)計(jì)算二值映射操作后的二值圖像的共生矩陣，獲取能量的紋理特征。利用MATLAB進(jìn)行這些特征提取的預(yù)處理計(jì)算工作，并利用粗糙集理論進(jìn)行分類，取得了較好的分類效果。董廣軍等人^[19]將粗糙集理論引入遙感影像的處理中，充分利用了粗糙集處理不確定性問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種新的遙感圖像知識(shí)分類算法，即粗糙分類法，取得了較好的效果。

2.2粗糙集理論與其他非線性理論相結(jié)合應(yīng)用于圖像處理

粗糙集是一種描述不完整性和不確定性知識(shí)的方法。其優(yōu)勢(shì)是它不需要任何預(yù)備的、額外的有關(guān)數(shù)據(jù)信息；但是粗糙集也有其局限性。單純地使用粗糙集理論不一定能完全有效地描述不精確或不確定問(wèn)題。粗糙集理論和其他軟計(jì)算方法的結(jié)合，能夠提高數(shù)據(jù)開(kāi)采能力。目前，已經(jīng)有大量學(xué)者將粗糙集理論與其他非線性理論相結(jié)合應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，彌補(bǔ)了單一理論研究的不足，產(chǎn)生了可觀、有效的結(jié)果。其中粗糙集與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)利用復(fù)雜的非線性系統(tǒng)對(duì)圖像中大量不準(zhǔn)確而且不完整的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并且克服網(wǎng)絡(luò)本身的不精確性，有較強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)能力。但是冗余信息甚至錯(cuò)誤信息的干擾，容易導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、訓(xùn)練時(shí)間過(guò)長(zhǎng)、收斂速度過(guò)慢、計(jì)算量急劇增加等問(wèn)題。而粗糙集理論提供了一個(gè)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的框架，從事實(shí)中抽取規(guī)則，用決策表的形式來(lái)獲取更簡(jiǎn)單的知識(shí)表示，從而實(shí)現(xiàn)從樣本數(shù)據(jù)中進(jìn)行特征選擇，加快概念學(xué)習(xí)和分類，減少分類的代價(jià)，提供分類的質(zhì)量。因此，將粗糙集與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)避短，將更加有效地解決實(shí)際問(wèn)題，目前已有了大量的成果。

粗糙集和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最常用的結(jié)合方式是粗糙集作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前端處理器。這不僅可以減少網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)所需的數(shù)據(jù)量，濃縮數(shù)據(jù)蘊(yùn)涵的規(guī)律，改善網(wǎng)絡(luò)因數(shù)據(jù)量大帶來(lái)的效率問(wèn)題，同時(shí)使網(wǎng)絡(luò)有較好的泛化能力和預(yù)測(cè)精度^[20]。Wang Yu等人^[21]將粗糙集與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合應(yīng)用于圖像恢復(fù)，使用粗糙集作為系統(tǒng)的預(yù)處理，簡(jiǎn)化分類規(guī)則，約簡(jiǎn)圖像的特征；然后再用簡(jiǎn)化后的樣本集訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，圖像恢復(fù)性能大為提高。余春艷等人^[22]將其應(yīng)用于遙感圖像識(shí)別中。首先使用粗糙集對(duì)特征進(jìn)行處理，形成輸入數(shù)據(jù)，然后利用處理特征時(shí)產(chǎn)生的規(guī)則，進(jìn)一步指導(dǎo)識(shí)別網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造，從而提高網(wǎng)絡(luò)的效率。實(shí)驗(yàn)表明，針對(duì)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模式識(shí)別在冗余數(shù)據(jù)處理上的不足，結(jié)合粗糙集理論，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入樣本特征集進(jìn)行一定的約簡(jiǎn)，利用粗糙集推導(dǎo)知識(shí)的能力來(lái)構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是可行的，并且能夠提高整個(gè)系統(tǒng)的效率。

另外，還有一些學(xué)者將粗糙集理論與其他非線性理論相結(jié)合，如粗糙集與模糊集相融合，提出了模糊粗糙集與粗糙模糊集^[23~25]。文獻(xiàn)[26，27]將其應(yīng)用到圖像增強(qiáng)中，產(chǎn)生了比傳統(tǒng)圖像增強(qiáng)方法更好的效果。

3總結(jié)與展望

粗糙集理論是一種處理不精確、不確定或不完全數(shù)據(jù)的新的數(shù)學(xué)方法。這一理論處理不確定性問(wèn)題的獨(dú)特思想以及它與其他理論較好的融合性，使其在眾多領(lǐng)域，特別是在智能信息處理中得到了廣泛的關(guān)注和成功的應(yīng)用。圖像處理過(guò)程中的各個(gè)層次可能出現(xiàn)不完整和不精確的問(wèn)題。將粗糙集理論應(yīng)用于圖像處理，在一些場(chǎng)合產(chǎn)生了更好的效果。

粗糙集理論應(yīng)用于圖像處理。其基本思路是將圖像所表達(dá)的信息作為一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，其像素是對(duì)象；利用粗糙集中的不可分辨概念、近似集合和知識(shí)約簡(jiǎn)的思想，對(duì)圖像進(jìn)行相關(guān)的操作（檢測(cè)噪聲、特征選擇與約簡(jiǎn)、分類等）。

值得說(shuō)明的是，粗糙集理論仍是一個(gè)處在發(fā)展中的學(xué)科，還有不少有意義且極具挑戰(zhàn)性的研究方向及應(yīng)用領(lǐng)域。因此，如何將不斷完善中的粗糙集理論應(yīng)用于圖像處理，利用粗糙集理論的知識(shí)約簡(jiǎn)性質(zhì)對(duì)已有的圖像處理方法進(jìn)行優(yōu)化，或者將粗糙集理論與現(xiàn)有的其他理論，如模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)等理論相結(jié)合處理數(shù)字圖像。這樣的探索將是有益的，而且也一定會(huì)產(chǎn)生更加有效的結(jié)果。

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