極限法在物理解題中的應(yīng)用例析

季龍祥　張維昌

極限思維法是一種科學(xué)的思維方法。假若某物理量在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)變化的，我們可以將該物理量或它的變化過(guò)程和現(xiàn)象外推到該區(qū)域內(nèi)的極限情況(或極端值)，使物理問(wèn)題的本質(zhì)迅速暴露出來(lái)，再根據(jù)己知的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)很快得出規(guī)律性的認(rèn)識(shí)或正確的判斷。這種思維方法稱(chēng)為極限思維法。

極限法在物理學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用。開(kāi)爾文把查理定律外推到零壓強(qiáng)這一極限情況，而引入了熱力學(xué)溫標(biāo)，使氣體實(shí)驗(yàn)定律的表述大大簡(jiǎn)化。伽利略在研究自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，先證明從斜面上滾下的小球做勻變速運(yùn)動(dòng)，后又把結(jié)論外推到斜面傾角增大到90°的極限情況——小球自由下落，從而用極限思維法間接證明了自己對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的論斷是正確的。

極限法(又稱(chēng)極端法)在物理解題中有比較廣泛的應(yīng)用。若將貌似復(fù)雜的問(wèn)題推到極端狀態(tài)或極限值條件下進(jìn)行分析，問(wèn)題往往變得十分簡(jiǎn)單。利用極限法可以將傾角變化的斜面轉(zhuǎn)化成平面或豎直面?？蓪?fù)雜電路變成簡(jiǎn)單電路，可將運(yùn)動(dòng)物體視為靜止物體，可將變量轉(zhuǎn)化成特殊的恒定值，可將非理想物理模型轉(zhuǎn)化成理想物理模型，從而避免了不必要的詳盡的物理過(guò)程分析和繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)運(yùn)算，使問(wèn)題的隱含條件暴露，陌生結(jié)果變得熟悉，難以判斷的結(jié)論變得一目了然。

極限法常見(jiàn)的方法有三種：極限假設(shè)法、特殊值分析法和臨界狀態(tài)分析法。下面舉例說(shuō)明。

例1 物體A可在傾角為θ的斜面上運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，若A的初速度為v0，它與斜面間的

動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。在相同情況下，A上滑與下滑的加速度大小之比為

A.sinθ-μcosθμcosθ-sinθ。

B.sinθ+μcosθsinθ-μcosθ。

C.μ+tanθ。

D.μcosθsinθ-μcos。

析與解 本題的常規(guī)解法，是先對(duì)A進(jìn)行受力分析，再應(yīng)用牛頓第二定律，分別求A上滑和下滑時(shí)的加速度表達(dá)式，最后求二者之比。這樣做，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，容易出錯(cuò)。今用極限假設(shè)法求解；則能迅速、準(zhǔn)確得出正確結(jié)論。

假設(shè)斜面傾角為90°，即斜面變成豎直面，A物體的上滑和下滑，就等同于豎直上拋和自由落體。上滑、下滑加速度都是g，比值為1。對(duì)照四個(gè)供選答案，將θ=90°代入檢查，只有B答案能符合假設(shè)的要求。應(yīng)選B。

點(diǎn)評(píng) 將斜面改成豎直面(即θ=90°)并未改變上滑減速、下滑加速這一運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。這樣的極端假設(shè)是合理的。若將斜面改成水平面(即θ=0°)，無(wú)論上滑還是下滑都變成減速運(yùn)動(dòng)，就改變了題目中約定的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。這種假設(shè)就是不合理的，當(dāng)然也得不出正確結(jié)果。

對(duì)本題我們還可以做這樣的極端假設(shè)：

認(rèn)為斜面是光滑的(即μ=0)，同樣可得到正確結(jié)果B。

例2 如圖2所示，兩點(diǎn)電荷所帶電量均為+Q，A處有一電子沿兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，方向指向O點(diǎn)。設(shè)電子原來(lái)靜止，A點(diǎn)離O點(diǎn)足夠遠(yuǎn)，電子只受電場(chǎng)力作用。那么在從A到O過(guò)程中電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是下面所述的哪一個(gè)

A.先勻加速，后勻減速。

B.加速度越來(lái)越小，速度越來(lái)越大。

C.加速度越來(lái)越大，速度越來(lái)越小。

D.加速度先變大后變小，最后變?yōu)榱恪?/p>

析與解 采用特殊值分析法，先考察兩個(gè)特殊位置：A點(diǎn)離O點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)，則電子在A點(diǎn)所受電場(chǎng)力便為零；而O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零，電子在O點(diǎn)的電場(chǎng)力也為零，所以電子在A點(diǎn)、O點(diǎn)的加速度均為零。再在AO之間任選一點(diǎn)，該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不為零，電場(chǎng)力不為零，加速度也不為零。電子從A到O，其加速度是從零變大后又變?yōu)榱?，正確答案應(yīng)為D。

點(diǎn)評(píng) 用極限法考慮問(wèn)題時(shí)，在選定的區(qū)域內(nèi)所研究的物理量必須是連續(xù)單調(diào)變化的。在本題中，A到O變化區(qū)域內(nèi)，加速度a并不是單調(diào)變化的，為什么也可以應(yīng)用極限法呢?實(shí)際上我們選用了兩個(gè)特殊點(diǎn)A和O點(diǎn)，只研究了這兩個(gè)點(diǎn)附近區(qū)域a的變化。在A點(diǎn)和O點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)a仍是單調(diào)變化的。在A和O之間還存一個(gè)a為極大值的位置B。從A到B，a是單調(diào)增大的，從B到O，a是單調(diào)減小的。將A到O分成兩個(gè)單調(diào)區(qū)域，極限法可以使用了。

例3 如圖3所示，A物體和B物體由輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)連接跨過(guò)定滑輪，A置于斜面上。A、B均靜止。且mA∶mB=3∶2，斜面傾角θ=30°。若將一小物體C輕放在A上，A仍保持靜止，則這時(shí)A受到斜面給它的摩擦力可能是

A.變大，方向沿斜面向下。

B.變小，方向沿斜面向下。

C.變?yōu)榱恪?/p>

D.變小，方向沿斜面向上。

析與解 若摩擦力恰好為零，A能靜止在斜面上，有mAgsin30°=T=mBg。

即mAmB=21。

今mAmB=32，說(shuō)明A有沿斜面向上滑動(dòng)的趨勢(shì)，A受到的靜摩擦力fs，方向沿斜面向下，若在A上放一小物體C，A仍保持靜止。則有三種可能：

①mA+mCmB=2,fs=0。

②mA+mCmB仍小于2，fs變小，仍沿斜面向下。

③mA+mCmB已大于2，fs變?yōu)檠匦泵嫦蛏?，有可能比原fs大，也有可能比原fs小。因此選B、C、D。

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)A受到靜摩擦力fs=0就是一種臨界狀態(tài)。將fs推至臨界狀態(tài)進(jìn)行分析，就能很快得出正確結(jié)論。

(欄目編輯陳 潔)

<注>：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文