馬德堡半球實驗中大氣壓力的計算

在馬德堡半球實驗中，將直徑為30多厘米的兩個銅制空心半球合在一起，用抽氣機抽出其中的空氣，用了十六匹馬才艱難地將二半球拉開。可見大氣壓作用在二半球上的壓力是非常大的。有很多學生常常想計算出這個壓力究竟有多大?而半球外表面所受大氣壓力的合力的求法要用到高等數學知識，所以在中學階段不能直接去求，有很多資料采用了一種等效的解決方案，那就是利用直徑與半球直徑相等的圓盤來代替半球如圖1所示，即認為每一圓盤外表面上受到的大氣壓力與一半球外表面受到的大氣壓力的合力相等，如果這種處理方案合理的話，這就大大簡化了對拉開馬德堡半球用力大小的計算，下面筆者就從理論上來探討一下這種等效處理是否合理。

問題如圖2，設將二半球合在一起，形成球形，置于O—XYZ空間直角坐標系中(圖中坐標系的Z軸垂直紙面向外)，球心與坐標系原點O重合，二半球的交接面恰在Y軸和Z軸相交而成的平面上，假設將二半球拉開所加的外力F外作用在二半球與X軸的二交點A、B上，且分別沿X軸的正方向和負方向。

分析在一半球面上任取一面積元ds受到的大氣壓力為dF=Pds(P表示大氣壓)，其方向沿半徑指向球心，該力相對于拉開馬德堡半球的外力F外來說，只有dF沿X軸方向的分力才形成阻力，而由于幾何對稱性，沿Y軸和Z軸方向的分力會與該半球面上關于X軸位置對稱的面積元上受到的大氣壓力沿Y軸和Z軸方向的分力相抵消(注意：dF沿X軸的分力大小為dFx=dFcosφ，其中φ表示面積元dS所受指向球心的大氣壓力與X軸的夾角)，所以每一半球球面上受到的大氣壓力的合力一定是沿著X軸方向的，因此只需要研究一半球球面上各面積元受大氣壓力沿X軸方向的分力并對其求和，即為該半球外表面上所受大氣壓力的合力。

解(1)右半球外表面受大氣壓力的合力

如圖2，在右半球球面上，以X軸為對稱軸，取一微圓環帶，帶寬dI=Rda(R表示半球的半徑，a表示微圓環帶上一點和原點的連線與X軸的夾角)，微圓環帶所在圓環的半徑應為r=Rsina，則微圓環的周長為2πRsina，故微圓環帶的面積為ds=2πRsinadI=2πR2sinada，該微圓環帶受到的壓力dF=Pds=2πR2Psinada，該微圓環帶受到的壓力dF沿X軸方向的分量為：dFx=dFcosa=2πR2Psinacosada。

所以，右半球外表面受到的合力

F合=∫π20dFx=∫π202πR2Psinacosada

=∫π20πR2Psin(2a)da

=∫π20［(πR2P)/2］sin(2a)d(2a)

=［(πR2P)/2］·［-cos(2a)］π0

=［(πR2P)/2］·(-cosπ+cos0)

=πR2P

(2)等直徑圓盤表面受到的大氣壓力：

因為圓盤外表面的面積S圓盤=πR2，故圓盤外表面受到的大氣壓力為:

F圓盤=PS圓

盤=πR2P。

從上面推導的結果來看，一半球外表面上受到的大氣壓力的合力F合的值，與一等直徑的圓盤外表面上受到的大氣壓力F圓盤恰好相等。故在研究馬德堡半球受大氣壓力相關問題時，將二半球等效為二圓盤的處理方法是合理的。例在馬德堡半球實驗中，若R=30cm，大氣壓強約為一標準大氣壓，則八對馬拉開

二半球所需的力約為多大?

解(1)與半球等效的圓盤的面積為：

S=πR2=3.14×(0.3m)2=0.2826m2

(2)半球外表面所受大氣壓力約為：

F=PS=(100000Pa)×0.2826m2

=28260(N)

答：拉開二半球所需的力約為28260N。

(欄目編輯王柏廬)

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