《空間向量與立體幾何》教材教學(xué)的建議

楊玉明

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）35-0110-01

《空間向量與立體幾何》是高中數(shù)學(xué)選修2-1的第三章內(nèi)容，本章內(nèi)容既是必修四《平面向量》在空間的推廣與引申，一些結(jié)論和定理在空間仍然成立，也是必修二《立體幾何》的初步延伸，空間向量為立體幾何在證明線線、線面、面面平行與垂直的證明，以及求解線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角提供了一種運(yùn)用向量或者坐標(biāo)解決問題的方法和途徑。在《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本章內(nèi)容明確提出：“通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生在對(duì)已由平面向量的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量并運(yùn)用空間向量研究立體幾何中的問題，進(jìn)一步體會(huì)向量方法在解決幾何問題中的作用。”

在江蘇高考中本模塊知識(shí)是江蘇高考理科學(xué)生選考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。在江蘇高考中空間向量與立體幾何的知識(shí)是作為附件分40分中的一題，在試題中僅僅是以解答題的形式出現(xiàn)、主要考查是通過建系求線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角等相關(guān)知識(shí)。高考大綱中要求如下：

本章教材在編寫方面在內(nèi)容的章節(jié)安排上采取了與空間向量對(duì)應(yīng)的方式、在例題的處理上也大同小異，在內(nèi)容的安排、例題的選取與方法有一些不盡人意的得分，在對(duì)本章的教學(xué)中，教師要合理的運(yùn)用教材、開發(fā)教材，在教材的使用上要注意以下兩點(diǎn)：

一、調(diào)整課時(shí)、合并內(nèi)容、適當(dāng)調(diào)整

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》上安排《平面向量與立體幾何》部分在課時(shí)上安排了12課時(shí)（其中包括小結(jié)與復(fù)習(xí)1課時(shí)），如下表，由于本教材在內(nèi)容上是空間向量的延續(xù)。在課堂教學(xué)中針對(duì)江蘇高考的特點(diǎn)以及《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》并且再參考學(xué)生已由的知識(shí)的基礎(chǔ)上，我們對(duì)教材在內(nèi)容安排上進(jìn)行如下調(diào)整：如下表。其中前面的內(nèi)容由于是在平面向量的基礎(chǔ)上的推廣與延伸，所以課時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，由于本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)是空間向量的運(yùn)用，重點(diǎn)是解決線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角，所以在在內(nèi)容安排上盡量多安排，安排了4課時(shí)比較合適。因此，對(duì)課時(shí)進(jìn)行了如下調(diào)整：空間向量的特點(diǎn)、空間向量共線、共面的充要條件（1課時(shí)）空間向量的特點(diǎn)、空間向量共線、共面的充要條件（1課時(shí)）。空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1課時(shí)），空間向量的數(shù)量積（1課時(shí)），空間向量的共線與垂直（1課時(shí)），直線的方向向量與平面的法向量（1課時(shí)），空間向量的應(yīng)用（4課時(shí)）。

二、瞄準(zhǔn)高考、活用例題、注意通法

高考在本章的考查重點(diǎn)就是運(yùn)用向量坐標(biāo)的知識(shí)，解決立體幾何問題，因此，在本章的教學(xué)重點(diǎn)就是建系，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)坐標(biāo)的形式。因此，課堂教學(xué)中要圍繞這一中心。如2015年江蘇高考試題：如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值。

解：以{，，}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）。

（1）因?yàn)锳D⊥平面PAB，所以是平面PAB的一個(gè)法向量，=（0，2，0）。

因?yàn)?（1，1，-2），=（0，2，-2），.設(shè)平面PCD的法向量為=（x，y，z），則·=0，·=0，即x+y-2z=02y-2z=0，令y=1，解得z=1，x=1，所以=（1，1，1）是平面PCD的一個(gè)法向量，從而cos<，>==，所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為。

試題分析：本題主要考查運(yùn)用建立空間坐標(biāo)系的思想方法，運(yùn)行坐標(biāo)的知識(shí)解決平面與平面所成的角與異面直線所成的角等相關(guān)知識(shí)，這就是本章內(nèi)容所考查的重點(diǎn)所在。

因此，在課堂的例題教學(xué)中，要把握住建系、表示點(diǎn)的基本思路。如在《空間的角的計(jì)算》一節(jié)中例1，在教材中例1給予了兩種解法。

例1 ：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E1，F(xiàn)1分別在A1B1，C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1與DF1所成角的大小。

課本中給出了兩種解法，而解法1與解法2運(yùn)用向量的數(shù)量積等知識(shí)，在本章中這種方法顯然是不恰當(dāng)?shù)模處煵环吝\(yùn)用建系的方法，這樣就更具有針對(duì)性。

解題過程：不妨設(shè)正方體的棱長為4.以{，，}為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為D（0，0，0），B（4，4，0），E1（4，3，4），F(xiàn)1（0，1，4），

所以=（0，-1，4），=（0，1，4），因此·=0×0+（-1）×1+4×4=15.

由cos<，>===.

可得異面直線BE1與DF1所成的角約為28.07度。