“同心鼓”策略的轉動定理分析

吳昊　肖滟琳

摘要：通過轉動定理分析，建立了刻畫鼓的傾斜角度與隊員的發力力度、時機和某一時刻關系的旋轉軸模型，用循環迭代算法進行求解。根據已知條件，用MATLAB編程求解得到在0.1S時鼓面的傾斜角度分別為1.03度、1.11度、2.69度、3.66度、3.96度、9.61度、7.80度、9.61度、6.89度。

關鍵詞：轉動定理分析旋轉軸模型循環迭代

要解決的問題

考慮到真實情況下，隊員無法準確控制發力的時機和力度，由此會導致鼓面傾斜。建立數學模型找到隊員在某時刻的發力時機、發力大小與鼓面傾斜角度的關系。在隊員人數共有8人，繩長1.7米，初始時刻鼓面水平，鼓面低于繩水平時11CM，又已知隊員的不同發力時機和發力大小時，計算0.1S時鼓面的傾斜角度。

問題的分析

在實際控制中整個過程中F的作用時間很短，繩與鼓水平角度變化很小。因此過程中可將每個節點受力近似處理，為零時角度為零時力。考慮實際情況中，隊員出力會出現偏差與搶跑現象，利用物理轉化法，建立在時刻搶跑、作用力分別為與鼓面的傾斜角度函數關系式。

問題的模型準備

鼓在受力不均勻時會產生一個傾斜角度，且鼓在水平方向和豎直方向上都會產生位移，分別在不同大小的力下分析鼓的上升高度，此時即會產生一個最高的高度，如圖3。

旋轉點即為引起鼓面旋轉的作用點，由空間平面知識可知，任意三個點可組成一個平面。若有，在時任意三個點可組成一個平面。由這個旋轉點中任意取兩個點旋轉點，找到與之對稱的對應點（對應點與旋轉點的連線穿過鼓心）。旋轉點與其對應點的距離差跟兩旋轉點間距離的比值即為旋轉角的正弦值。圖4

4.7問題二的模型

1.統一用力參數

為運動過程中繩與水平方向的夾角，為隊員人數，為當所有隊員的用力參數為時鼓在豎直方向上所受到的拉力，為用力參數對應的用力大小，通過受力分析知：

2.加速度

為鼓的質量，為鼓在豎直方向上的加速度，G為重力加速度，為鼓的重力，為鼓在豎直方向上受到的拉力，/為鼓在豎直方向上受到的合力。根據牛頓第二定律知，在鼓在豎直方向上滿足如下關系式：

3.求位移

鼓是由靜止開始運動且鼓做勻加速直線運動，則鼓的位移滿足如下關系式：

式中為鼓在豎直方向上的位移，為鼓在豎直方向上的加速度，為發力時機，為某一特定時刻，為鼓的運動時間。

4.最大位移

5.求傾斜角度

（1）.若均為同一個值，則鼓不會發生傾斜。

（2）.若取值不同，則鼓必然會發生傾斜，傾斜角度為，若為，則旋轉點為，對應轉軸點為，為傾斜角，轉軸點的上升高度為，為旋轉軸長

傾斜角為：

4.8問題的算法

第一步：導入各個繩上的搶跑時間TI和實際發力FI

第二步：將各繩上參數設為全局參數，令

第三步：尋找最大位移

第四步：尋找最大位移點的轉軸點上升高度

第五步：計算傾斜角度

4.9問題二的求解

通過計算，得到結果如下表：

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（作者信息：西華大學）