基于主成分分析的ＤＥＡ復合評價模式及其應用研究

摘要：對于給定的一組決策單元，評價指標集擴大，每一決策單元的有效性系數也會增大，當指標多到一定程度時，就會使每一決策單元的有效性系數普遍接近1。文章嘗試將主成分分析（PCA）與之相結合，在不影響DEA方法使用的情況下，對評價體系中的眾多指標進行分類和壓縮，既可以降低信息損失，又滿足DEA方法的要求。

關鍵詞：DEA；主成分分析；評價體系；綜合評價

一、 引言

數據包絡分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是運籌學研究的一個新領域，由著名運籌學家A． Charnes等人于1978年提出，迄今己成為管理科學、決策分析和評價技術等領域中一種常用而且重要的分析工具和研究手段。DEA方法在評估企業技術進步、區域發展比較、金融機構效率、科研評價、系統預測預警等領域都有應用。該方法經常用來評價決策單元（Decision Making Units，簡稱DMU）的相對效率，它的優勢在于能處理多輸入、多輸出的復雜系統。

吳廣謀、盛昭瀚曾在論文中指出，“若給定一組決策單元，當評價指標增加時，某一決策單元的有效性會發生變化”。并得出了“評價指標集擴大到一定程度會使所有決策單元的有效性普遍接近1”的結論。而以往評價體系中引入評價指標個數的經驗是DMU數最好不少于輸入輸出指標總數的2倍。在此之后，張俊榮，郭耀煌對評價指標與DEA有效的關系進行了研究，并得出“為使DEA評價結果具有合理的區分度，參考集元素的個數（即DMU數）應與輸入輸出指標數之積保持恰當的數量關系”的開創性結論。但仍不能使DEA方法運用于復雜系統的評價（這里指投入產出指標的總數超出經驗規律的情況）。對于指標眾多的評價體系而言，若滿足評價方法的要求，減少評價指標的數量，則大大影響了評價的質量和可信度；若直接采用DEA方法進行分析評價，則不利于從有效性系數中提取決策單元差異的信息，得到的結論必然不符合客觀實際，從而導致方法的失效。鑒于此，本文嘗試將主成分分析法（PCA）與之相結合，提出了PCA—DEA復合評價模式，以尋求解決此問題的有效途徑。

二、 PCA—DEA復合評價模式

1． PCA—DEA復合評價模式的特點。在處理多指標綜合評價時，這兩種方法均體現了各自的優勢。若將這兩種方法結合，形成PCA—DEA復合評價模式，可以有效地解決本文提出的問題。PCA—DEA復合評價模式具有以下特點：（1）對于多輸入—多輸出復雜結構系統，在處理多投入和多產出問題上具有絕對優勢；（2）不需要選擇生產函數，也不需要進行參數估計；（3）壓縮后的評價指標能夠盡量保持原有信息的完整性，且各綜合指標之間互不相關，信息上不會發生重疊；（4）不需要主觀賦予每個指標的權重，從而保證了評價結果的客觀性。該方法大體的思路是，在不影響DEA方法使用的情況下，先運用主成分分析對評價體系中的眾多指標進行分類和壓縮，然后，將壓縮后的綜合指標利用DEA及其擴展的DEA模型進行分析評價，這樣既可以降低信息損失，又滿足DEA方法的要求。

2． PCA—DEA復合評價過程。本文結合以往經驗公式和文獻3所得到的指標與評價單元之間的關系，對PCA—DEA綜合評價過程分別進行討論，相關的評價流程如圖1所示。

注：NDMU=評價單元的個數，n1=評價指標集中投入指標的個數，n2=評價指標集中產出指標的個數

圖1PCA—DEA復合分析流程圖

（1）當2（n1+n2）≥NDMU時，評價指標已超過評價單元半數以上，會使每一決策單元的有效性系數都較大，甚至普遍接近1。因此，需要分別對評價指標集中的投入和產出指標進行分類，如：按指標性質、用途、投入和產出的方式等進行劃分。然后，分別對每一類指標進行主成分分析，再利用DEA及其擴展的DEA模型進行分析評價。

（2）當2（n1+n2）≤NDMU，n1×n2≥NDMU時，根據文獻3的結論得知，評價結果的區分度會較差。由于有效的DMU在數量上很可能接近n1×n2，往往會出現絕大多數DMU的效率值為1的情況。所以，可以先將投入、產出指標分別進行主成分分析，然后將所有的綜合指標按統一標準正向化處理，再利用DEA模型進行分析評價。

（3）當2（n1+n2）≥NDMU，n1×n2≥NDMU時，只需將其按照情況（1）進行處理即可。

三、 實例分析

本文采用了具有實際應用背景的數據，以2004年我國各地區高等教育投入產出效率評價為例，來考察多指標體系下決策單元在不同方法下的有效性，以說明PCA與DEA相結合的效果。基于上述考慮，本文構建了我國區域高等教育投入產出的評價體系如表1所示。

由表1可以得出，2（n1+n2）=44，NDMU=31。我們可以按照上述情況（1）進行處理，將所有指標按一級指標進行分類，將所有的逆向指標進行調整，使其滿足評價的基本要求。在進行主成分分析時，先將所有指標進行標準化處理，消除量綱的影響，壓縮后產生的新指標利用公式（1）進行正向化處理：

根據《中國教育經費統計年鑒》（2004年）、《中國科技統計年鑒》（2004年）和《中國教育統計年鑒》（2003年）的統計數據，利用非阿基米德無窮小的C2R模型，分別對指標體系直接運用DEA方法和PCA-DEA復合評價方法，所得計算結果如表2示。

由表2的對比可以看出，直接利用DEA進行分析會使所有的評價單元都變成有效的，這樣，使得DEA方法失去了評價的作用，而經過指標壓縮后的DEA評價使各評價單元明顯具有可比性，同時也保證了指標信息的完整。

四、 結論

本文通過理論、實例和統計數據的分析和說明，對比研究了主成分分析對DEA評價結果產生的影響。結果表明，當我們對復雜的決策系統（即指標繁雜的評價體系）進行DEA評價時，可以不受指標數量的約束，尤其是針對一些類別清晰的指標體系而言，可以先按指標的性質進行分類，然后對每一類指標分別進行主成分分析，將各類指標壓縮至最少，然后再對其進行DEA分析評價。通過這樣的處理，可以擴大DEA的適用范圍，而且不會對DEA方法的應用產生較大的影響。但需要指出的是，PCA-DEA復合評價并不能替代DEA方法，只為彌補DEA方法在評價指標數量方面的約束，并希望它能成為DEA方法的有效補充。

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基金項目：本文為2004年度四川省教育廳人文社會科學重點研究基地——西華師范大學教育發展研究中心資助項目（200406）。

作者簡介：史本山，西南交通大學管理學院教授、博士生導師；曹陽龍，西南交通大學管理學院技術經濟及管理專業碩士生。

收稿日期：2006-08-02。

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