淺談高考中冪.對數值比較大小

李仙芝

冪式、對數式等數值比較大小問題，利用同底數、同指數或同真數等借助于函數單調性或圖象求解.比較函數值的大小（1）同底冪比大小，則利用指數函數，同底對數比大小則利用對數函數的單調性進行比較；（2）當底數不同，指數也不同時，則需要引入中間量進行比較；對數值比較：當（a-1）（N-1）>0時，log >0；當（a-1）（N-1）<0時，log <0，即底和真數在1同側，對數值為正，1異側對數為負；（3）對多個數進行比較，可用0或1或其它值作為為中介值進行比較（4）. 當底數中含有字母時要注意分類討論；下面介紹幾種常見方法和題型。

基礎方法1：同底對數式或同底指數式比大小，利用單調性；不可化同底找中介值比大小

例題1：（1）（文）設a=log954，b=log953，c=log545，則（ ）

A.a

C.a

[答案] D

[解析] ∵y=log9x為增函數，∴log954>log953，∴a>b，又c=log545=1+log59>2，a=log954=1+log96<2，∴c>a>b，故選D.

變式：（1）已知a=21.2，b=12-0.8，c=2log52，則a，b，c的大小關系為（ ）

A.c

C.b

解析 （1）b=12-0.8=20.8<21.2=a，

c=2log52=log522

故c

基礎方法2：不同底能化同底的盡量化同底，再用單調性

例題2：（2013·課標全國Ⅱ）設a=log36，b=log510，c=log714，則 （ ）

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

答案 D

解析 a=log36=1+log32=1+1log23，

b=log510=1+log52=1+1log25，

c=log714=1+log72=1+1log27，顯然a>b>c.

基礎方法3：指數，對數比較大小，找中介值進行比較

例題3：已知x=ln π，y=log52，z=e ，則 （ ）

A.x

C.z

答案 D

解析 ∵x=ln π>ln e，∴x>1.

∵y=log52

∵z=e =1e>14=12，∴12

綜上可得，y

基礎方法4：底數不同，指數相同，則構造冪函數

例題4：設a=0.50.5，b=0.30.5，c=log0.30.2，則a，b，c的大小關系是（ ）

A.a>b>c B.a

C.b

解析 （1）根據冪函數y=x0.5的單調性，可得0.30.5<0.50.5<10.5=1，即b

根據對數函數y=log0.3x的單調性，可得log0.30.2>log0.30.3=1，即c>1.

所以b

基礎方法 5：利用同底數、同指數或同真數等借助于函數單調性或圖象求解

例題5：已知a=5log23.4，b=5log43.6，c=（1/5）log30.3 （ ）

A.a>b>c B.b>a>c

C.a>c>b D.c>a>b

解析：方法一 在同一坐標系中分別作出函數y=log2x，y=log3x，y=log4x的圖象，如圖所示.

由圖象知：

log23.4>log3103>log43.6.

方法二 ∵log3103>log33=1，且103<3.4，

∴log3103

∵log43.61，

∴log43.6

∴log23.4>log3103>log43.6.

由于為y=5x增函數，5log23.4>（1/5）log30.3>5log43.6， 即5log23.4>（1/5）log30.3>5log43.6

基礎方法6：函數奇偶性及指數式、對數式的運算.

例題6：（2015·天津理，7）已知定義在R上的函數f（x）=2|x-m|-1（m為實數）為偶函數.記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關系為（ ）

A.a

C.c

[答案] C

[解析] 考查函數奇偶性及指數式、對數式的運算.

因為函數f（x）=2|x-m|-1為偶函數，所以m=0，

即f（x）=2|x|-1，所以

a=f（log0.53）=flog213=2log213-1

=2log23-1=3-1=2，

b=f（log25）=2log25-1=4，c=f（2m）=f（0）=20-1=0，

所以c

總之，比較幾個數（冪或對數）的大小是指數函數、對數函數和冪函數性質的重要應用，在具體解題過程中，應先觀察要比較的數的特征再選用合適的方法比較大小，有時需要先結合冪與對數的運算性質對要比較的數進行合理的變形，再進行大小比較。