用變換的思想看全等

三角形全等是學習推理論證至關重要的一章，也是幾何學習中一大難點.如果我們用運動的眼光、變換的思想去看全等，則可化繁為簡，從本質上把握三角形全等．

任何三角形全等都可以看成是一個三角形通過適當的變換得來的.這類變換主要有三種:平移、翻折、旋轉．有的可一步變換到位，有的則要通過幾次組合變換得到．如下圖中△ABC與△DEF全等．

圖(1)由△ABC沿直線BC平移得△DEF．

圖(2)由△ABC沿直線BC翻折得△DEF．

圖(3)由△ABC沿直線BC翻折再沿直線BC平移得△DEF．

圖(4)由△ABC繞點C順時針旋轉得△DEF．

圖(5)由△ABC繞點C旋轉180°得△DEF．

圖(6)由△ABC沿直線AC翻折，再繞點A順時針旋轉而得△DEF．

不僅在找三角形全等時可以把其中一個三角形看作是由另一個三角形變換得來的，而且變換的思想(平移、翻折、旋轉)在添加輔助線構造三角形全等中有極其重要的作用．

如：題1在△ABC中，AB=AC，E是AB上的一點，BE=CF，EF交BC于點D，試證明DE=DF．

分析：過E作EG∥AF，交BC于G，得△EGD.由∠B=∠EGB得EG=EB，再因為BE=CF，所以CF=EG，從而可證△DEG≌△DFC，所以，DE=DF.

本題中△DEG≌△DFC，相當于△DFC繞點D旋轉180°得△DEG；也可看成線段CF平移得線段EG.

題2如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分線，求證：AC+CD=AB.

分析：在△ABC上取一點E，使AE=AC，連接DE，則△ACD

≌△AED(SAS).所以CD=DE，∠C=∠AED=2∠B．又因為∠AED

=∠B+∠EDB，所以∠B=∠EDB.

所以BE=DE，因此BE=CD.

可得：AC+CD=AB．

說明：在已知三角形角平分線時，翻折是常用的一種構造三角形全等的方法．連接ED得△AED，相當于將△ACD沿直線AD翻折得△ADE.本題介紹了用“截長”法(將AB截成AE、BE兩段)證一線段(AB)是另兩線段(AC、CD)的和.

思考：如果將△ABD沿AD翻折，那么，輔助線怎么添，又如何證明呢?

這種證兩線段之和等于第三條線段的方法與上面介紹的方法有什么不同？

例3如圖，AD是△ABC的一條中線.求證：AB+AC＞2AD．

證明：延長AD到A′，使得DA′=DA，連接A′C．

在△ADB與△A′DC中，

AD=A′D，∠ADB=∠A′DC，BD=CD，

∴△ADB≌△A′DC(SAS)． ∴ AB=A′C．

在△ACA′中，AC+A′C＞AA′，

∴ AC+AB＞2AD．

說明：本例也是一種常用的構造三角形全等的方法，遇到三角形中線加倍延長構造△A′DC，其實可看成繞著D點，將△ADB旋轉180°得△A′DC.本題介紹了加倍法，即把2AD化為一條線段來證明的方法.

由上可知，用“變換的思想”看全等，使靜態的幾何圖形動了起來，一方面便于我們從復雜的圖形中找出全等三角形，另一方面有助于我們構造(添加輔助線)全等三角形.其實，變換的思想不僅是探索圖形性質，認識和描述空間位置關系的必要手段，而且也是解決現實世界中的具體問題，進行數學交流的重要工具.愿我們用一雙動態的眼睛學數學，看世界.

責任編輯/王寫之