死亡游戲

□編著／余般石

□提示撰寫/劉一哲

瓊斯上尉對著他疲憊不堪的七名部下說：“我們中間出了一個奸細，我們必須把他除掉！”

特種兵小隊自從進入叢林以來，處處受阻，進展很不順利，已經有四位兄弟陣亡?，F在只剩下八個人，大家都已經到了崩潰的邊緣。聽到瓊斯隊長突然這么說，大家都很詫異：“那么他是誰呢？奸細又不會自己承認。”

上尉冷冷地一笑：“雖然我不知道他是誰，但上帝一定知道。而且，上帝很樂意指明誰是告密者！上帝告訴我一個方法，很快就能把奸細找出來。”

上尉說：“從我開始是１號，以順時針的方向，２號是費舍，３號是加里，依此類推是哈維、伊恩、卡爾、李、馬休，大家站成一個圈子。上帝給我兩顆骰子，我同時將兩顆骰子擲出，看擲出的是幾點，把兩個點數加起來，記住這個數，并一直按這個數數下去。從我開始以順時針方向數起，每當數到這個點數時，這個人就離開，然后繼續，再有一個人離開……直到剩下最后一個人，那么這個人就是清白的。然后再擲，我們再用這個方法鑒別出下一個清白者——直到七個清白者都被鑒定出來，剩下的那個就是叛徒，我們要處決他！”

“你瘋了？”副隊長費舍中尉喊道，“怎么能開這種玩笑？”

隊長很堅定地說：“我沒開玩笑。不這樣大伙兒都得死！現在說不定只死一個，其他的七個人都能活下去！”

馬休問：“被上帝證明是清白的人就不必繼續參加這個游戲了吧？”

隊長回答說：“不，他還是要參加，因為清白者有義務為其他的清白者作證?！?/p>

其他人默默無語，游戲就這樣開始了。但沒有人知道，隊長早有預謀：站在某個位置上是必死的，因為他已經懷疑到其中一個人了。那么請問：隊長懷疑誰是奸細？

（方華摘自《國內外數學趣題集錦》，上?？萍冀逃霭嫔纾?/p>

提示：

這道題是所謂的約瑟夫斯問題的變形。

約瑟夫斯是公元一世紀的猶太歷史學家，他領導了反抗羅馬帝國的武裝起義，但是失敗了。彈盡糧絕之時，他和四十名猶太士兵被困在一個山洞里。這四十名猶太勇士寧死不屈，決定殺身成仁，但約瑟夫斯卻另有想法。

于是，他對四十個同伴說：“上帝是不允許自殺的。但我這里有一個不用自殺又可以殉國的方式——我們大家圍成一個圓圈，從某個人開始，一二三一二三地數，凡是數到三的人，就由旁邊的人成全他，讓他升天，直到剩下最后一個人。雖然這個人仍然要自殺，但總比大家都自殺要好得多?！?/p>

一心赴死的猶太士兵當然不會反對，于是便隨便指了一個人開始，反正都是要死，誰先死已經不再重要了。約瑟夫斯有意地站在了31號的位置上，結果他就是剩下的那個人，他沒有選擇自殺，而是投降了羅馬人，作為事件的記錄者活了下去。

而這道題中，隊長要找出七個“約瑟夫斯”，把另外那個“倒霉鬼”干掉。

這類問題，初看很簡單，但實際上卻涉及到一些讓人腦感到棘手的問題，直到發明了計算機，這類問題在計算上的障礙才得以解除。而現在，約瑟夫斯問題已經成為計算機編程的典型練習題。想知道人腦和電腦的區別在哪里嗎？來看看這道題吧。

首先我們復習兩個概念。

第一個是整除求余數，數學符號是mod。如果你覺得用字母眼暈，也不要緊，反正不是正式場合，我們可以換個符號，比如“→”；如果你不介意自己的英語有口音，也可以把它稱為“貓的”。舉個例子： 4÷5＝0余4，則4貓的5就等于4。6÷4＝1余2，則6→4=2。

第二個概念是映射，說白了就是一個蘿卜對著一個坑，我們要往坑里填蘿卜。

概念介紹完，我們不妨試做一下。八個人，假設我們投出骰子點數和是10。那么2號首先出局，用算式表示就是10→8＝2。

然后剩下的七個人重新排隊，最初8個蘿卜各司其位，號碼數與坑號相同，現在2號被剔除，那么3號蘿卜要栽進2號坑、4號蘿卜栽進3號坑……一直到8號蘿卜占上7號坑，8號坑空著。這時你就會發現一個蘿卜一個坑的好處，不然很容易搞亂。

這時開始第二輪挑選，我們要從2號坑開始數（現在里面裝的是3號蘿卜）再數10個，結果好像應該是（2＋10）→7＝5，可是如果一個一個查，查到的明明是4號坑。哈哈，出問題了吧，我們退回第一步，10→8＝2那里，結果雖然正確，但實際上省略了兩個步驟——我們沒有考慮從哪個人開始查。我們從第一個人開始查，查“到”第10個，所以實際經過了9個，是（1+10－1）→8＝2，所以第一輪結果雖然是正確的，但用做通項就不行了。這個問題雖然簡單，但確實有很多人查數時會犯這種錯誤。

所以第二輪正確的式子應該是 (2＋10－1)→7＝4。

4號坑，栽的是5號蘿卜。

這時你會發現，我們數的不是蘿卜號，而是填滿的坑；算式里說的也不是蘿卜號，而是填滿的坑號。有時候結果會出現0，但聰明的你應該會知道，余0就是整除，那么坑號當然就是該輪的倒數第一個坑。

剩下的6個人再重新排序——1號不變；3號進2坑；4號進3坑；6號進4坑；7號進5坑；8號進6坑。第三輪從4號坑開始數，得出的算式是（4＋10－1）→6＝1，1號坑，是原裝的1號蘿卜，那么1號又被挑了出去。

接下來，剩了5個人，分別是3號、4號、6號、7號、8號。重新排序，不難算出，先后出局的分別是8、4、6、3，剩下的是7號。

當骰子擲出10的時候，7號被“證明”是清白的。

還要繼續用這個方法找出其他的“約瑟夫斯”嗎？不必了吧，因為你也該發現了，重新排序是多么讓人抓狂的事。這是電腦的算法，因為在電腦計算中，給坑里插蘿卜卻是最簡單不過的——電腦的儲存空間和計算頻率要遠遠大于人腦，而且電腦不會因重復同樣的過程而感到厭煩。

人腦的優勢就完全不同。人腦適合于直觀的感覺，并且富于創造性——至今都沒有哪臺電腦能下好圍棋，也沒有哪臺電腦能聽出什么叫諷刺。

這里有種更適合人腦的求值方法：拿一張紙，畫上8×20的格子，每行保證8個格，行數則多多益善，如果20行不夠，還可以繼續添加。然后一行一行往里填數，比如1、2、3……填到10的時候，把這個格子涂黑，這個格子對應的是2號，那么把2號這一豎列都涂黑【圖1】，然后繼續填，1、2、3、4……遇到黑格子就跳過去，又數到10，再涂黑【圖2】，然后把這一列也都涂黑；重復這個過程，最后當你發現只剩一列格子沒有涂黑了，恭喜你，這列格子的號碼就是你要的答案！【圖3】

這種方法直觀得令人發指，不需要計算，也不需要公式，直接拿眼睛看就行了。雖說這種涂格子要比計算機算法計算量大，但它卻絕對比計算機算法容易理解。

越好學的方法越難用，越難理解的方法計算越方便！這種現象已經滲透到生活的各個領域，比如五筆和拼音輸入法之爭，蘇式武器和美式武器之爭。雙方各有各的優勢，當你要采集你所需的復雜信息時，總不可能一切如你所愿，不是把成本花在學習方法上，就是把成本花在煩瑣的計算上。

死亡游戲已經開始，你能幫瓊斯隊長把那個嫌疑人找出來嗎？